STX Matematik A NET 2014 27. maj - Delprøven med autoriseret formelsamling

Side 1

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 27. maj 2014

1

STX Matematik A Netadgang

27. maj 2014

Delprøven med formelsamling

2stx151-MATn/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.

Opgave 1 a)

Der gælder, at:

𝐴 = det ( 𝑎⃗,𝑏)

⎯ ⃗

= | |

2 −1

3 1

= 2 · 1 − 3· ( −1)
= 2 + 3
= 5

Arealet af det parallelogram, som udspændes af de to vektorer 𝑎⃗ og 𝑏, er således 5, når 𝑡 =1

⎯ ⃗ b)

Skalarproduktet af et ortogonalt vektorpar er lig med nul, så:

0 = () · ()

2 −1

3 𝑡

⇕

0 = 2 · ( −1) + 3 · 𝑡

⇕

2 = 3𝑡

⇕

Side 2

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 27. maj 2014

2

𝑡 =

2

3

                              2
Når vektorerne er ortogonale, er 𝑡 =
                              3

Opgave 2 a)

Der gælder, at:

𝑦 = 𝑘· 𝑥

Andet datasæt giver:

18 = 3 · 𝑘

⇕

𝑘 = 6

Dvs.

𝑦 = 6 · 𝑥

𝑡 og 𝑠 kan nu findes vha. henholdsvis første og tredje datasæt:

𝑡 = 2 · 6
= 12

30 = 6 ·𝑠

⇕

𝑠 = 5

Vi kan konkludere, at 𝑠 = 5 og 𝑡 = 12.

Opgave 3 a)

Jf. Pythagoras kan vi skrive:

𝐴𝐶^{2} + 6^{2} = 10^{2}

Side 3

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 27. maj 2014

3

⇕

𝐴𝐶 = 10^{2} − 6^{2}

√
= √ 64
= 8

Vi har nu, at 𝐴𝐶 = 8.

      1
Da 𝑇 =  · ℎ · 𝑔, kan vi nu skrive:
      2

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · 𝐴𝐶· 𝐵𝐶

1

2

= · 6 · 8

1

2

= 24

Arealet af trekant ABC er altså lig med 24.

b)

Grundlinjen, som hører til ℎ
                      𝑐

er linjestykket AB. ℎ
                𝑐

kan så isoleres fra følgende udtryk for arealet:

𝑇_{𝐴𝐵𝐶} = · ℎ_{𝑐} · 𝐴𝐵

1

2

⇕

ℎ_{𝑐} = 2 ·

𝑇_{𝐴𝐵𝐶}

𝐴𝐵

= 2 ·

24

10

=

24

5

                      24
Vi kan konkludere, at ℎ =
                   𝑐
                      5

Opgave 4 a)

Den generelle ligning for en parabel er:

𝑦 = 𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

Da er 𝑥-koordinaten i toppunktet givet ved:

Side 4

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 27. maj 2014

4

𝑥_{𝑡𝑜𝑝} =

−𝑏

2𝑎

Det vil sige:

−2 =

−(−4)

2𝑎

⇕

−4=

4 𝑎

⇕

𝑎 = −1

Vi kan nu konkludere, at 𝑎 = −1.

Opgave 5 a) 𝑓 er voksende i hele ℝ og repræsenteres derfor af C.

𝑔 kan også skrives som:

𝑔 ( 𝑥) = 3 · (𝐼)

1

𝑥^{2}
Heraf ses, at 𝑔 ikke er ikke defineret i 𝑥 = 0. 𝑔 repræsenteres derfor af B

ℎ repræsenteres således af A.

                         1
                   −𝑛
( 𝐼 ) Potensregneregel: 𝑎 =
                         𝑛
                        𝑎

Opgave 6 a)

En formel for alle stamfunktioner til 𝑓 findes som det ubestemte integral af funktionen:

∫2𝑥^{3} + 7𝑑𝑥 = 2 · 𝑥^{4} + 7 · 𝑥+ 𝑘 (𝐼)

1

4

= 𝑥^{4} + 7𝑥+ 𝑘

1

2

Side 5

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 27. maj 2014

5

Vi ved samtidig, at 𝐹 ( 2) = 5, så:

5 = · 2^{4} + 7 · 2 + 𝑘

1

2

⇕

𝑘 = 5 − 8 − 14
= −17

Den stamfunktion, hvis graf går gennem 𝑃 er således givet ved:

𝐹 ( 𝑥) = 𝑥^{4} + 7𝑥− 17

1

2

(𝐼): Her anvendes:

Ubestemt integral hvor F(x) er stamfunktion til f(x)

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1
𝑘 𝑘· 𝑥

Opgave 7 a)

En ligning for tangenten til en funktion 𝑓 i et punkt (𝑥,(𝑓 ( 𝑥)) er givet ved:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Vi ved, at 𝑥_{0} = 2 og 𝑓 ( 𝑥_{0}) = 5

Differentialligningen kan skrives med anderledes notation:

𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑥· 𝑓 ( 𝑥) + 3𝑥

Side 6

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 27. maj 2014

6

Det vil sige:

𝑓^{′} ( 2) = 2 · 5 + 3 · 2
= 16

Ligningen bliver da:

𝑦 = 16 · ( 𝑥− 2) + 5
= 16𝑥− 32 + 5
= 16𝑥− 27

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃 er således 𝑦 = 16𝑥− 27

Opgave 8 a)

Cirklens ligning omskrives til den generelle form,

( 𝑥−𝑥_{0})^{2} + ( 𝑦− 𝑦_{0})^{2} = 𝑟^{2}

hvor (𝑥_{0},𝑦_{0}) er koordinatsættet for centrum, og 𝑟 angiver radius.

𝑥^{2} − 6𝑥+ 𝑦^{2} + 2𝑦 + 1 = 0

⇕

( 𝑥− 3)^{2} − 3^{2} + ( 𝑦 + 1)^{2} − 1^{2} + 1 = 0 (𝐼)

⇕

( 𝑥− 3)^{2} + ( 𝑦+1)^{2} = 3^{2}

Vi kan nu aflæse, at 𝑟 = 3, samt at cirklen har centrum i 𝐶(3,−1).

( 𝐼): Her anvendes en omskrevet version af første kvadratsætning:

( 𝑎 + 𝑏)^{2} = 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 2𝑎𝑏

⇕

𝑎^{2} + 2𝑎𝑏 = ( 𝑎+ 𝑏)^{2} − 𝑏^{2}

b)

Hvis linjen 𝑙 er en tangent til cirklen, skal der gælde, at 𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝐶,𝑙) = 𝑟 = 3

Dette undersøges nu vha. afstandsformlen fra punkt til linje, hvor 𝑎,𝑏 og 𝑐 er koefficienter i linjens ligning,

mens 𝑥_{1} og 𝑦_{1} er punktets koordinater:

Side 7

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 27. maj 2014

7

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑃,𝑙) =

| 𝑎· 𝑥_{1} + 𝑏 · 𝑦_{1} + 𝑐 |
√ 𝑎^{2} + 𝑏^{2}

Det vil sige:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝐶,𝑙) =

| 3 · 3 + ( −4) · (−1) + 3 |
√ 3^{2} + ( −4)^{2}
=

| 9 + 4 + 3 |
√ 9 + 16
=

| 16 |

√ 25
=

16

5

Da 𝐷𝑖𝑠𝑡 ( 𝐶,𝑙) ≠𝑟, er linjen ikke en tangent til cirklen.

Opgave 9

Følgende udledes af de givne informationer:

𝑓 er aftagende i intervallet [ −2,5]

𝑓 er voksende i intervallerne ] − ∞,−2] og [5,∞]

𝑓 har et lokalt maksimum i 𝑃_{1} (−2,𝑓 ( −2))

𝑓 har et lokalt minimum i 𝑃_{2} (5,0)

Grafen for 𝑓 går gennem punktet 𝑃_{3} (0,2)

En mulig skitse tegnes:

Side 8

Matematik A STX Netadgang – Skriftlig eksamen – 27. maj 2014

8