STX Matematik A NET 2015 22. maj - Delprøven med autoriseret formelsamling

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

1

STX Matematik A (Netadgang)

22. maj 2015

Delprøven med formelsamling

1stx151-MATn/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning. Til denne delprøve er det tilladt at anvende en autoriseret formelsamling.

Opgave 1 a)

Koordinatsættet til skæringspunktet findes ved at opstille linjernes ligninger som to ligninger med to ubekendte.

𝑦=4𝑥 − 5

−2𝑥+ 𝑦=1

Den første ligning trækkes fra den anden ligning:

−2𝑥+ 𝑦− 𝑦=1 − (4𝑥− 5)

⇕

−2𝑥=1 − 4𝑥+ 5

⇕

2𝑥=6

⇕

𝑥=3

Værdien 𝑥=3 indsættes nu i første ligning:

𝑦=4 · 3 − 5
=12 − 5
=7

Det vil sige, at koordinatsættet til skæringspunktet mellem 𝑙 og 𝑚 er (3,7)

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

2

Opgave 2 a)

Arealet af parallelogrammet kan udregnes som determinanten for vektorparret:

𝐴= | det ( 𝑎⃗,𝑏)|

⎯ ⃗

=| | | |

5 3

15 7

= | 5 · 7 − 15 · 3 |
= | 35 − 45 |
= | −10 |
=10

Vi kan nu konkludere, at arealet af parallelogrammet udspændt af 𝑎⃗ og 𝑏 er 10

⎯ ⃗

Opgave 3 a)

Den generelle form for eksponentielle modeller er 𝑦=𝑏· 𝑎^{𝑡}

Konstanten 𝑏=120 er begyndelsesværdien og fortæller os, at der er 120 mio. bakterier til tidspunktet

𝑡=0.

Konstanten 𝑎=1,043 er fremskrivningsfaktoren og fortæller os noget om vækstraten:
𝑟=𝑎− 1
=1,043 − 1
=0,043
=4,3%

Det vil sige, at antallet af bakterier vokser med 4,3% hvert døgn.

Opgave 4 a)

Kvartilsættene aflæses:

Studieretning 1:

𝑄_{1}: 6,4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛:9,8 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

3

𝑄_{3}:14 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

Studieretning 2:

𝑄_{1}: 10 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛:15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

𝑄_{3}:17 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

På studieretning 1 er 50% af eleverne på Facebook i 9,8 minutter eller mindre. På studieretning 2 er 75% af eleverne på Facebook i mere end 10 minutter.

På studieretning 2 er 50% af eleverne på Facebook mere end 15 minutter. På studieretning 1 er det ”kun”

25% af eleverne, som er på Facebook i mere end 14 minutter.

b)

Til sumkurven anvendes kvartilsættet og 2 nedenstående oplysninger, som er aflæst af boksplottet.

𝑀𝑖𝑛𝑑𝑠𝑡𝑒 𝑣æ𝑟𝑑𝑖=0 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

𝑆𝑡ø𝑟𝑠𝑡𝑒 𝑣æ𝑟𝑑𝑖=18 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑡𝑒𝑟

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

4

Opgave 5 a)

Funktionen differentieres:

𝑓^{′} ( 𝑥) = · 3𝑥^{2} + · 2𝑥− 6 ( 𝐼)

1 1

3 2

=𝑥^{2} + 𝑥− 6

                                       ′
Funktionens kritiske punkter findes ved at løse 𝑓 ( 𝑥 ) =0:

𝑥^{2} + 𝑥 − 6=0

Det ses, at der er tale om en andengradsligning. Den generelle form for er:

𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐=0

Og den generelle løsning er:

𝑥=

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

Det vil sige:

𝑥=

−1 ± √ 1^{2} − 4 · 1 · ( −6)
2 · 1
=

−1 ± √ 1 + 24

2

=

−1 ± 5

2

Der er altså to løsninger:

𝑥_{1} =2

𝑥_{2} =−3

Da 𝑓^{′} er et andengradspolynomium med 𝑎>0, er grafen en parabel med benene opad. I intervallet

                     ′                                      ′
mellem nulpunkterne vil 𝑓 <0. I intervallerne udenfor nulpunkterne vil 𝑓 >0. Vi kan nu opsummere

monotoniforholdene:

𝑓 er aftagende i intervallet [−3,2]

𝑓 er voksende i intervallerne ] − ∞,−3] og [2,∞[

( 𝐼): Her anvendes ledvis differentiation, konstant uden for parentes, differentiation af potensfunktion og differentiation af konstant:

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

5

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} =𝑘 ·𝑓^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0

Opgave 6 a)

Ligningen for en parabel kan generelt skrives som:

𝑦=𝑎𝑥^{2} + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑥-værdien i parablens toppunkt bestemmes vha. toppunktsformlen:

𝑥_{𝑡𝑜𝑝} =−

𝑏

2𝑎

=−

−6
2 · 3
=1

Nu bestemmes 𝑦_{𝑡𝑜𝑝} ved indsættelse af 𝑥=1

𝑦_{𝑡𝑜𝑝} =3 · 1^{2} − 6 · 1 + 5
=3 − 6 + 5
=2

Koordinatsættet for toppunktet er således 𝑃 (1,2)
                                    𝑡𝑜𝑝

b)

En ligning for tangenten til grafen for en given funktion 𝑓(𝑥) i et punkt 𝑃(𝑥 ,𝑓 ( 𝑥 ) ) kan bestemmes vha.
                                                             0   0

nedenstående formel:

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓(𝑥_{0})

De manglende værdier, som indgår i formlen beregnes nu:

𝑓^{′} ( 𝑥) =3 · 2𝑥− 6 (𝐼)
=6𝑥− 6

Side 6

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

6

𝑓^{′} ( 2) =6 · 2 − 6
=12 − 6
=6

𝑓 ( 2) =3 · 2^{2} − 6 · 2 + 5
=12 − 12 + 5
=5

Værdierne indsættes i ligningen:

𝑦=6 · ( 𝑥− 2) + 5
=6𝑥− 12 + 5
=6𝑥− 7

En ligning for tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(2,𝑓 ( 2)) er således 𝑦=6𝑥− 7

En skitse tegnes nu vha. punkterne 𝑃_{𝑡𝑜𝑝} (1,2) og 𝑃(2,5), 𝑃_{1} (3,𝑓 ( 3)) samt det faktum, at en parabel er

symmetrisk omkring den lodrette linje, der går gennem toppunktet.

𝑓 ( 3) =3 · 3^{2} − 6 · 3 + 5
=27 − 18 + 5
=14

Dvs. det tredje koordinatsæt er 𝑃_{1} (3,14)

Side 7

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

7

( 𝐼): Her anvendes ledvis differentiation, konstant uden for parentes, differentiation af potensfunktion og differentiation af konstant:

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} =𝑘 ·𝑓^{′} ( 𝑥)

Funktion Afledt funktion

𝑥^{𝑎} 𝑎· 𝑥

𝑎−1

𝑘 0

Opgave 7 a)

Længden af siden 𝐴𝐵 bestemmes vha. Pythagoras’ læresætning:

𝐴𝐵^{2} =𝐴𝐶^{2} + 𝐵𝐶^{2}

⇕

𝐴𝐵= 𝐴𝐶^{2} + 𝐵𝐶^{2}

√
= 3 + 4^{2}

√^{2}
= √ 9 + 16
=√25
=5

Læresætningen opskrives for trekant ACD:

𝐴𝐶^{2} =𝐴𝐷^{2} + 𝐶𝐷^{2}

⇕

𝐴𝐶^{2} = ( 𝐴𝐵− 𝐵𝐷)^{2} + 𝐶𝐷^{2} (1)

⇕

Læresætningen opskrives for trekant BCD:

𝐵𝐶^{2} =𝐶𝐷^{2} + 𝐵𝐷^{2} (2)

Ligning (1) og (2) opstilles som 2 ligninger med 2 ubekendte, og kendte sidelængder indsættes:

3^{2} = ( 5 − 𝐵𝐷)^{2} + 𝐶𝐷^{2} (1)

4^{2} =𝐶𝐷^{2} + 𝐵𝐷^{2} (2)

Side 8

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

8

Ligning (1) udvides:

3^{2} =5^{2} + 𝐵𝐷^{2} − 2 · 5 · 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷^{2} (1.1)

⇕

9=25 + 𝐵𝐷^{2} − 10𝐵𝐷+ 𝐶𝐷^{2} (1.2)

Ligning (2) trækkes nu fra ligning (1.2)

9 − 16=25 + 𝐵𝐷^{2} − 10𝐵𝐷+ 𝐶𝐷^{2} − 𝐶𝐷^{2} − 𝐵𝐷^{2}

⇕

−7=25 − 10𝐵𝐷

⇕

10𝐵𝐷=32

⇕

𝐵𝐷=

32

10

=

16

5

𝐶𝐷 isoleres nu fra ligning (2), hvorefter den fundne længde af BD indsættes:

4^{2} =𝐶𝐷^{2} + 𝐵𝐷^{2}

⇕

𝐶𝐷= 4 − 𝐵𝐷^{2}

√^{2}

= 4^{2} − ()

√

16^{2}

5

= ( 2^{2})^{2} − ( 𝐼)

√

16^{2}
5^{2}

= ( 𝐼𝐼)

√

2^{4} · 5^{2} − ( 2^{4})^{2}
5^{2}

= ( 𝐼𝐼𝐼)

√2^{4} · 5^{2} − 2^{4} · 2^{4}
√5^{2}

Side 9

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

9

=

√ 2^{4} · ( 25 − 2^{4})

5

= (𝐼𝑉)

√2^{4} · √ ( 25 − 16)

5

= (𝑉)

2^{2} · √ 9

5

=

4 · 3

5

=

12

5

Længden af siden CD er således^{12}_{5}

Længden af siden AD kan nu beregnes som:

𝐴𝐷=𝐴𝐵− 𝐵𝐷
=5 −

16

5

=

5 · 5 − 16

5

=

9

5

Længden af siden AD er således^{9}_{5}

I opgaven anvendes en række regneregler for rødder og potenser:

      𝑟    𝑟
    𝑎     𝑎
( 𝐼 ) :( ) =
           𝑟
    𝑏     𝑏

( 𝐼𝐼): ( 𝑎^{𝑟})^{𝑠} =𝑎^{𝑟·𝑠}

      𝑎    𝑎
          √
( 𝐼𝐼𝐼 ) : =
          √ 𝑏

√_{𝑏}

( 𝐼𝑉): √ 𝑎 ·𝑏= 𝑎· 𝑏
√ √

            𝑟
    𝑠      (
      𝑟
            𝑠
( 𝑉 ) : 𝑎 =𝑎

√

)

Side 10

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

10

Opgave 8 a)

Hvis 𝑓(𝑥) er en løsning, må der gælde, at:

𝑓^{′} = + 1

𝑓 𝑥 𝑓 differentieres nu:

𝑓^{′} ( 𝑥) =ln ( 𝑥) + 𝑥· + 3 · 1 (𝐼)

1 𝑥

=ln ( 𝑥) + 1 + 3
=ln ( 𝑥) + 4

Nu indsættes 𝑓 og 𝑓′ i det øverste udtryk.

ln ( 𝑥) + 4= + 1

𝑥 ·ln ( 𝑥) + 3𝑥

𝑥

⇕

ln ( 𝑥) + 4= + 1

𝑥· (𝑙𝑛 ( 𝑥) + 3)

𝑥

⇕

ln(𝑥) + 4=ln ( 𝑥) + 3 + 1

⇕

ln ( 𝑥) + 4=ln ( 𝑥) + 4

Da der står det samme på begge sider af lighedstegnet, kan vi konkludere, at 𝑓 er en løsning til differentialligningen.

(𝐼): Konstant uden for parentes, ledvis differentiation, produktreglen, differentiation af ln (𝑥) og differentiation af 𝑥

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} =𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥))^{′} =𝑓^{′} ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥) + 𝑓(𝑥)· 𝑔′(𝑥)

𝑓 ( 𝑥) =ln ( 𝑥) ⟹𝑓 ( 𝑥) =

′

1 𝑥

𝑓 ( 𝑥) =𝑥⟹𝑓 ( 𝑥) =1

′

Side 11

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

11

Opgave 9 a)

Hvis den ene snor er 4𝑐𝑚 må den anden snor være 12 − 4=8𝑐𝑚. I et kvadrat er alle 4 sider lige store. I

det mindste kvadrat er sidelængden således:

𝑙_{1} = =1𝑐𝑚

4

4

Sidelængden i det største er:

𝑙_{2} = =2𝑐𝑚

8𝑐𝑚

4

Det samlede areal af de to kvadrater udregnes nu som:

𝐴=𝐴_{1} + 𝐴_{2}
=𝑙_{1}^{2} + 𝑙_{2}^{2}
=1^{2} + 2^{2}
=5

Det samlede areal er således 5𝑐𝑚^{2}

b)

Nu er den ene snor i stedet 4𝑥 𝑐𝑚. Den anden snor får da længden 12 − 4𝑥.

Sidelængderne af de to kvadrater bliver da:

𝑙_{1} = =𝑥

4𝑥

4

𝑙_{2} =

12 − 4𝑥

4

=

4 · ( 3 − 𝑥)

4

=3 − 𝑥

Arealet kan da beregnes som:

𝐴=𝑙_{1}^{2} + 𝑙_{2}^{2}
=𝑥^{2} + ( 3 − 𝑥)^{2}
=𝑥^{2} + 3^{2} + 𝑥^{2} − 2 · 3 · 𝑥 (𝐼)
=2𝑥^{2} − 6𝑥+ 9

Det samlede areal 𝐴 af de to kvadrater som funktion af 𝑥, kan da skrives som:

𝐴 ( 𝑥) =2𝑥^{2} − 6𝑥 + 9

Side 12

Matematik A STX – Skriftlig eksamen, Netadgang – 22. maj 2015

12

(𝐼): ( 𝑎− 𝑏)^{2} =𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2 · 𝑎· 𝑏