Elektromagnetisme: Laplaces lov - udledning og eftervisning

Side 1

Side 1 af 8

ELEKTROMAGNETISME

LAPLACES LOV

Uddannelsessted: Frederiksberg teknisk gymnasium

Klasse 3.B

Fag: Fysik A

HTX 3. år

HTX 3. år

Rapport lavet af: Ayse Dogan

Underskrift: ___________

Side 2

Side 2 af 8

Formål:

Formålet med denne øvelse er at undersøge ”laplace lov”, dvs. hvilken sammenhæng der er mellem magnetfeltet B lederens længde l og vinklerne mellem disse.

Teori:

Magnetiske felt;

Vi ved i overensstemmelse med Coulombs lov om elektostatisstikken at:

4 r^{2}

1 ⋅ qq_{21}

0

F_{C} = *

πε må gælde for stilstående ladninger, og hvis vi derfor har ledere med bevægelse vil vi opnå den magnetiske kraft der på vektor form kan skrives som;

F ⋅⋅    ⋅= )(           exvv
                         rB
            2

4 r

⋅ qq_{21}

21

0 π µ tegning 1; ladninger der påvirker hinanden

Antages det hernæst, at den elektriske leder har en konstant strømstyrke og derfor også konstant ladningshastighed, kan udtrykket forkortes til;

×⋅= BvqF

B hvor det magnetiske felt er;

      0
B ⋅⋅⋅=        ev
               r

4 r^{2}

q π µ

Laplaces lov; vi benytter os af

= I og = v

dt dt dq dl hvorefter dt isoleres i begge udtryk og v bestemmes;

Side 3

Side 3 af 8 dl dq

⎪ dl

Iv ⋅=⇒

v ⎭

dt =

I dq

dt =

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

Nu substituere vi i formlen for magnetisk kraft;

×⋅= BvdqdF

B og vi får at

IdF ×⋅=⇒×⋅= BIlFBdq

dq dl

BB vi får endeligt lapaces lov

×⋅= BIlF

B

Som må være lig;

⋅⋅⋅= BIlF)sin(

ϕ

B

Laplaces lov er netop sammenhængen mellem strømstyrken, fluxtætheden, lederens længde og vinklen mellem strømretningen og fluxtætheden.

Bevægelse i B-felt;

Vi kan prøve at undersøge hvordan en ladet partikels bane ser ud når det skydes vinkelret ind på en magnetfelt.

Når partiklen skydes vinkelret ind i magnetfeltet får vi;

×⋅= BveF det kan omskrives til_{B} ⋅⋅= BveF da v⊥B

B desuden ved vi at krydsproduktet vil være vinkelret på såvel v som B. det betyder at kraften F B er vinkelret på v. Det kender vi jo allerede fra jævn cirkelbevægelsen, hvor centripetalkraften er vinkelret på hastigheden. Derfor kan vi gø brug af vores viden af den jævne cirkelbevægelse.

Derfor kan vi skrive; r

v^{2}
a =
Den kraft som B-feltet giver anledning til var_{B} ×⋅= BveF så må den acceleration som

partiklen får være;

m m_{ee}

F_{B} ×⋅ Bve
a ==

vi sammensætning af de to udtryk får vi

r m_{e}

 2
v ×⋅      Bve

= så isolerer vi r og får^{e}_{⋅}_{Be}^{⋅}^{vm} r =

Dette er radius i den jævne cirkelbevægelse som elektronen følger. Vi ved at ligningen for en

cirkel ser således ud; X^{2} + y^{2} = r^{2}. Det er så banekurven for den ladet partikel som skydes

vinkelret i et magnetfelt

Side 4

Side 4 af 8

Fremgangsmåde:

Vi undersøger 4 forskellige sammenhænge. Vi undersøger sammenhængen mellem:

1. Kraften og strømstyrken

2. Kraften og lederens længde

3. Kraften og magnetfeltets styrke

4. Og vinklen mellem magnetfelt og ledere

Opstillingen kan se sådan ud; tegning 2; opstilling af eksperiment

I deleksperiment 1 anbringes en permanent magnet på en vægt som nulstilles. Vinkelret på magnetens B-felt anbringes en vilkårlig leder, som så forbindes til en strømforsyning der kan yde 0-5A.strømstyrken varieres nu i passende små intervaller og vægten aflæses. Når man har nået en passende antal målinger plottes de ind i en (F,I)-diagram og korrelationen undersøges.

I deleksperiment 2 anbringes en permanent magnet på en vægt som nulstilles. Vinkelret på magnetens B-felt anbringes en vilkårlig leder, som så forbindes til en strømforsyning der kan yde 0-5A. Strømstyrken fastholdes nu men man varierer nu lederstykkerne og vægten aflæses.

Når man har nået en passende antal målinger plottes de i et (F,l)-diagram og korrelationen undersøges.

I deleksperiment 3 anbringes en permanent magnet på en vægt som nulstilles. Vinkelret på magnetens B-felt anbringes en vilkårlig leder, som så forbindes til en strømforsyning der kan yde 0-5A. Strømstyrken fastholdes nu men man varierer lederens vinkel og vægten aflæses.

Når man har nået en passende antal målinger plottes de i et (F,ϕ)-diagram og korrelationen undersøges.

I deleksperiment 4 anbringes en permanent magnet på en vægt som nulstilles. Man varierer nu B-feltet ved at fjerne en enkelt af magneterne, hvorefter vægten nulstilles. Der sendes nu en konstant strøm igennem systemet.

Når man har nået en passende antal målinger plottes de i et (F,B)-diagram og korrelationen undersøges.

Side 5

Side 5 af 8

Apparatur;

• Vægt

• Magneter

• Forskellige ledere

• Strømforsyning

• Amperemeter

• lineal

Resultater:

Ved målingerne påvirker magneterne hinanden med kræfter. Disse kræfter giver et udslag på vægten m.

Størrelsen af kraftpåvirkningen mellem leder og magnet F mag er ligeså stor som tyngdekraften på massen m.

⋅= gmF

B målingerne fra de 4 eksperimenter følger her.

1. Variabel strømstyrke I

I dette deleksperiment varieres kun strømstyrken I, hvor wirelængden l og magnetfluxtætheden

B betragtes som konstanter. Her er virelængden 64*10^{−3} m.

Den lineære regression for punktmængden kan da beskrives;

Figur 1; magnetisk kraft F

B som funktion af strømstyrken I

Side 6

Side 6 af 8

Det ses at punkterne ligger på en ret linie gennem (0,0), hvilket vil sige at magnetkraften F er B proportional med strømstyrken I, gennem lederen ved konstant antal magneter og lederlængde.

⋅= IkF

B 1

2. Variabel lederlængde l

I dette deleksperiment varieres virelængden, hvorfor strømstyrken I og magnetfluxtætheheden B betragtes som konstanter. Her er strømstyrken 2,0A.

Den lineære regression for punktmængden kan da beskrives;

Figur 2; magnetisk kraft F

B som funktion af virelængden l

Det ses at punkterne ligger på en ret linie gennem (0,0), hvilket vil sige at magnetkraften F er B proportional med virelængden I, gennem lederen ved konstant antal magneter og strømstyrke.

⋅= lkF

B 2

Side 7

Side 7 af 8

3. Variabel projektionsvinkel ϕ

I dette deleksperiment varieres projektionsvinklen, hvorfor strømstyrken I og virelængden l betragtes som konstanter. Her er strømstyrken 3,0A.

Den lineære regression for punktmængden kan da beskrives;

Figur 3; magnetisk kraft F

B som funktion af projektionsvinklen ϕ

Det ses at punkterne ligger på en ret linie gennem (0,0), hvilket vil sige at magnetkraften F er B proportional med sinus til vinklen ϕ mellem magnetfeltets og lederens retning ved konstant magnetfelt, lederlængde og strømstyrke.

⋅= kF)sin(

B 3 ϕ

4. Variabel magnetfluxtæthed B

I dette deleksperiment varieres kun magnetfluxtætheden, hvorfor strømstyrken I og

                                                                       −3
virelængden l betragtes som konstanter. Her er strømstyrken 2,0A og virelængden 64*10 m.

Den lineære regression for punktmængden kan da beskrives;

Side 8

Side 8 af 8

Figur 4; magnetisk kraft F

B som funktion af magnetfluxtætheden B

Det ses at punkterne ligger på en ret linie gennem (0,0), hvilket vil sige at magnetkraften F er B proportional med antallet af magneter ved konstant lederlængde og strømstyrke.

Vi antager at den magnetiskefluxtæthed er proportional med antallet af magneter og at

kF_{4} ⋅= antallet af magneter. Dvs._{B}_{4} ⋅= BkF

B

Sammenfattes de 4 proportionaliteter vi der blev vist i de 4 deleksperimenter fås følgende;

⋅⋅⋅= IltalmagneF)sin(tan

ϕ

B

Da vi netop har antaget at den magnetiske fluxtæthed B er proportional med antallet af magneter, får sammenhængen; (proportionalitetsfaktoren er defineret som k)

⋅⋅⋅= IlBF)sin(

ϕ

B

Dette er netop Laplaces lov

Konklusion:

Laplaces lov er hermed eksperimentelt eftervist. I 4 mindre forsøg er følgende vist;

1. ⋅= IkF

B | 1

2. ⋅= lkF

B | 2

3. ⋅= kF)sin(

B | 3

ϕ

4. kF_{4} ⋅= antallet af magneter. Dvs._{B}_{4} ⋅= BkF

B

Dette sammenfattes til_{B} ⋅⋅⋅= IlBF)sin( som netop er Laplaces lov.

ϕ