HHX Matematik A 2011 15. august - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

1

HHX Matematik A

15. august 2011

hhx112-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 4

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx112-MAT/A-

Opgaver uden hjælpemidler - 15. august 2011

Opgave 1

To vektorer er ortogonale netop hvis deres skalarprodukt er 0, (jf. formel 164)

⃗𝑎 ⊥ 𝑏 ⇔ ⃗𝑎 · 𝑏 = 0 .

⃗ ⃗

Skalarproduktet bestemmes (jf. formel 161)

⃗𝑎 · 𝑏 = · = 3 · (−2) + 1 · 6 = −6 + 6 = 0 .

⃗

3 −2

1 6

))

Opgave 2

Kendes to siden i en trekant og vinklen imellem dem, kan trekantens areal bestemmes ved

(jf. formel 34)

    1          1
T =  𝑎𝑏 sin 𝐶 = · 4 · 5 · 0, 25 = 2, 5 .
    2          2

Trekantens areal er altså 2, 5.

Opgave 3

Da 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) for 𝑥 ∈ [0; 2] er arealet givet ved (jf. formel 201)

∫_{2} ∫_{2}

0

                            2         2    3       2  3      2   3
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 =   6𝑥 − 3𝑥   𝑑𝑥 = 3𝑥  − 𝑥   = 3·2 −2 −  3 · 0 − 0 = 12−8 = 4 .
                                             0
                  0

() []_{2} ()

Arealet af det skraverede område er altså 4.

Opgave 4

Integralet bestemmes (jf. formel 190, 188, 189)

∫
(2𝑥 − 2) 𝑑𝑥 = 𝑥^{2} − 2𝑥 + 𝑐 .

Opgave 5

Det antal maskintimer der giver den største effektivitet bestemmes ved hjælp af undersø-gelse af monotoniforhold. Først findes funktions første afledede (jf. formel 106, 105).

𝑓^{′} (𝑥) = −0, 5𝑥^{4} + 10𝑥^{3} = −2𝑥^{3} + 30𝑥^{2}.

()_{′}

For at finde eventuelle ekstrema løses ligningen 𝑓^{′} (𝑥) = 0.

𝑓^{′} (𝑥) = 0 ⇔ −2𝑥^{3} + 30𝑥^{2} = 0 ⇔ (−2𝑥 + 30) 𝑥^{2} = 0 ⇔ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 15 .

Nu bestemmes fortegnet for den afledede, i de intervaller som løsningerne inddeler defini-tionsmængden i.

𝑓^{′} (1) = −2 · 1^{3} + 30 · 1^{2} = −2 + 30 = 28
𝑓^{′} (16) = −2 · 16^{3} + 30 · 16^{2} = −8192 + 7680 = −512 .

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx112-MAT/A-

Da funktionen vokser indtil 𝑥 = 15 og aftager derefter, må funktionen antage sit maks for
𝑥 = 15. Effektiviteten er altså størst ved 15 maskintimer.

Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere handelseksamen fra 1997. Står der er A foran formelnummeret er formlen dog fra ap-pendikset fra april 2002.

Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.

Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

3

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

4

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi tegner en sumkurve til at beskrive fordelingen af kundernes telefonventetid. Vi tegner sumkurven med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen: b)

Vi beskriver fordelingen med de to statistiske deskriptorer: Typeinterval og Median.

Typeinterval: Intervallet ]0; 2] er med 31 ud af 100 kunder det hyppigst forekommende interval.

Median: Vi bestemmer medianen i WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Median 3,267

Medianen er bestemt til 3,27 (afrundet til 2 decimaler), dvs. at 50 % af telefonventetiden er under 3,27 minutter og 50 % af telefonventetiden er over 3,27 minutter.

0%

25%

50%

75%

100%

0 2 4 6 8 10

Kumm. Frek.

Ventetid i minutter

Sumkurve

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

5

Opgave 2 a)

Vi definerer vektorer.

𝑎⃗ ≔()

2

4 𝑏 ≔()

⎯ ⃗

6

2

Vi bestemmer vinklen mellem vektor 𝑎⃗ og vektor 𝑏, når t = 2.

⎯ ⃗

cos ( 𝑣) =

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎⃗ | | 𝑏 |

⎯ ⃗

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=45

Vinklen mellem vektorerne, når t = 2, er bestemt til 45°.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: b)

Vi benytter, at den numeriske værdi af determinanten mellem to vektorer svarer til arealet af parallelogrammet udspændt af de to vektorer.

𝐴_{𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚} = | det ( 𝑎⃗,𝑏)|

⎯ ⃗

⇕

|det ( (),()) |=18

2 𝑡+ 4

4 𝑡

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=−17 ∨ 𝑡=1

De to værdier af t, så arealet udspændt af vektor 𝑎⃗ og vektor 𝑏, er bestemt til t = -17 og t = 1.

⎯ ⃗

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

6

Opgave 3 a)

Vi definerer forskriften for O(x) samt definitionsmængden for x:

𝑂 ( 𝑥) ≔−0,00025𝑥^{3} + 1470𝑥 − 500000

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0<𝑥<2100

Vi bestemmer den afledede funktion O’(x):

𝑂^{′} ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑂^{′} ( 𝑥) =−0,00075 · 𝑥^{2} + 1470

En forskrift for den afledede funktion O’(x) er bestemt til ovenstående udtryk.

Vi bestemmer førstekoordinaten til punktet, der beskriver det maksimale overskud, ved at optimerer O(x).

Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion O’(x):

𝑂^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1400

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:

𝑂^{′} ( 1300) =202,5

𝑂^{′} ( 1500) =−217,5

Vi kan konkludere at punktet x = 1400 er et maksimum for O(x), dvs. at ved en afsætning på 1400 stk. af

varen opnås det maksimale overskud. Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi bestemmer funktionsværdien i polynomiets maksimum x = 1400 ved at bestemme O(1400):

𝑂 ( 1400) =872000

Vi undersøger polynomiets funktionsværdi vilkårligt tæt på de to endepunkter:

𝑂 ( 0) =−500000

𝑂 ( 2100) =271750

Vi vælger den mindste og største værdi af de 3 y-værdier. Værdimængden Vm(O) er bestemt til ]-500000;

872000].

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

7

Opgave 4 a)

Vi definerer en forskrift for s(x) og d(x) samt definitionsmængden for x:

𝑠 ( 𝑥) ≔0,03𝑥^{2} + 1300

𝑑 ( 𝑥) ≔0,03𝑥^{2} − 18𝑥 + 4000

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥≤300

Vi bestemmer førstekoordinaten til punktet, der beskriver ligevægtsprisen, som skæringen mellem grafen for s og grafen for d:

𝑠 ( 𝑥) =𝑑 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=150

Vi bestemmer ligevægtsprisen ved at bestemme s(150):

𝑠 ( 150) =1975

Ligevægtsprisen er bestemt til 1975 kr., vi har dermed gjort rede.

b)

Vi bestemmer arealet af det skraverede område som differensen mellem arealet under grafen for d og

arealet under grafen for linjen med ligningen y = 1975 i intervallet [0; 150]:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑑 ( 𝑥) − 1975𝑑𝑥

150

0

=135000

Forbrugeroverskuddet er bestemt til 135000 kr.

c)

Vi bestemmer først punktet for den nye ligevægtsmængde, ved at bestemme s(200):

𝑠 ( 200) =2500

Vi indsætter punktet (200, 2500) i forskriften for d og isolerer for k: ny

2500=0,03 · 200^{2} − 18 · 200 + 𝑘

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=4900

Tallet k er bestemt til 4900.

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

8

Opgave 5 a)

Vi definerer en forskrift p(x) og q(y):

𝑝 ( 𝑥) ≔−𝑥+ 60

𝑞 ( 𝑦) ≔−4𝑦 + 170

Vi har at dækningsbidraget er givet ved, hvor 0≤𝑥≤50 og 0≤𝑦≤40:

𝑑æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑠𝑏𝑖𝑑𝑟𝑎𝑔= ( 𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑𝑠𝑝𝑟𝑖𝑠 − 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑𝑠𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟) · 𝑎𝑓𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔

Dvs.:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) = ( 𝑝 ( 𝑥) − 10) · 𝑥+ ( 𝑞 ( 𝑦) − 10) · 𝑦

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑓 ( 𝑥;𝑦) =160 · 𝑦 − 4 · 𝑦^{2} + 50 · 𝑥− 𝑥^{2}

Et udtryk for dækningsbidraget er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.

b)

Niveaukurven N(625) er en ellipse, hvis ligningen kan omskrives til den generelle formel for en ellipse.

( 𝑥− 𝑥_{0})^{2} ( 𝑦− 𝑦_{0})^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =1

Vi omskriver ligningen N(625):

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =625

⇕

160 · 𝑦 − 4 · 𝑦^{2} + 50 · 𝑥− 𝑥^{2} =625

⇕

4 ( 𝑦 − 20)^{2} + ( 𝑥− 25)^{2} =−625 + 4 · 20^{2} + 25^{2}

⇕

4 ( 𝑦 − 20)^{2} ( 𝑥− 25)^{2} 1600

1600 1600 1600

+ =

⇕

( 𝑦 − 20)^{2} ( 𝑥− 25)^{2}

400 1600

+ =1

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

9

Vi kan konkludere, at niveaukurven N(625) er en ellipse. Vi har dermed gjort rede.

c)

Vi indtegner niveaukurven N(625) og begrænsninger for dækningsbidraget i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Dækningsbidraget er underlagt begrænsningerne:

𝑥+ 𝑦≤50

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦≤−𝑥 + 50

Samt:

0≤𝑥≤50

0≤𝑦≤40

Vi indtegner det polygonformede kapacitetsområde i GeoGebra:

Da ellipsernes centrum ligger inden for det polygonformede kapacitetsområde, kan vi konkludere at det størst mulige dækningsbidrag opnås i ellipsernes centrum C(25, 20).

Der skal produceres 25 enheder af vare A pr. uge og 20 enheder af vare B pr. uge for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag.

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

10

Opgave 6 a)

Linje 1: Ligningen løses for x > 0, da ln(x) kun er defineret for positive værdier.

Linje 2: Nulreglen anvendes, 𝑎 ⋅ 𝑏=0⇔𝑎=0 ∨ 𝑏=0.

Linje 3: Udtrykkene kvadreres (venstre), eksponentialfunktionen benyttes (højre)

Linje 4: 10 trækkes fra og der deles med 2 (venstre).

Linje 5: Da 𝑥>0 er kun 𝑥=1 en løsning.

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

11

Opgave 7 a)

Vi definerer kendte størrelser: 𝑟≔0,04

𝐴_{0} ≔800000

𝑛≔15

Vi bestemmer den faste årlige ydelse:

𝑦=𝐴_{0} ·

𝑟

1 − ( 𝑟 + 1)^{−𝑛}

≈71952,88

Den faste årlige ydelse er bestemt til 71952,88 kr., vi har dermed gjort rede.

b)

Vi definerer yderligere kendte størrelser: 𝑡≔10 𝑦≔71952,88

Vi bestemmer restgælden umiddelbart efter d. 10 ydelse:

𝑅_{𝑡} =𝐴_{0} · ( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 𝑦 ·

( 1 + 𝑟)^{𝑡} − 1

𝑟

≈320321,4

Umiddelbart efter d. 10 ydelse er betalt, er restgælden 320321 kr. (afrundet til helt tal).

c)

Vi definerer yderligere kendte størrelser. Vi har, at maskinen taber værdi med 8 % om året:

𝑟_{𝑡𝑎𝑏} ≔0,08

𝐾_{0} ≔800000

𝑛_{10} ≔10

Vi bestemmer maskinens værdi efter 10. år vha. fremskrivningsformlen:

𝐾_{10} =𝐾_{0} · ( 1 − 𝑟_{𝑡𝑎𝑏})^{𝑛_{10}}

≈347510,8

Efter 10 år er maskinens værdi faldet til 347510,8 kr., dvs. at maskinens værdi er større end restgælden efter 10 år da 347510,8 kr. > 320321,4 kr.

Vi kan konkludere, at maskinens værdi efter 10 år er stor nok til at betale restgælden tilbage.

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

12

Kun én af besvarelse af opgaverne 8A og 8B skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 8A a)

Vi har, at tangenten t til grafen for f i punktet x = 2 er givet ved:

𝑦_{𝑡} =𝑓^{′} ( 2) · ( 𝑥− 2) + 𝑓 ( 2)
=−3 · ( 𝑥− 2) + 10
=−3 · 𝑥+ 16

En ligning for tangenten t er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi har, at det bestemte integral er givet ved:

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =𝐹 ( 3) − 𝐹 ( 2)

3

2

=20,25 − 14
=6,25

Det bestemte integral er bestemt til 6,25.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

13

Opgave 8B a)

For et reelt tal t fås niveaukurven f(x, y) = t, vi omskriver ligningen, så vi kan aflæse hældningen:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑡

⇕

90𝑥 + 120𝑦=𝑡

⇕

𝑦=− 𝑥+

3 𝑡

4 120

Vi har, at hældningen for niveaukurven er bestemt til -3/4. Da -1 < -3/4 < -1/2 findes punktet, der betegner

den størst mulige omsætning, i skæringen mellem linjerne:

𝑦=− 𝑥+ 250

1

2

𝑦=−𝑥+ 400

Vi bestemmer skæringen mellem de to linjer, ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte:

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑦=100 ∧ 𝑥=300

Vi kan konkludere at, der skal produceres 300 stk. af vare A pr. uge og 100 stk. af vare B pr. uge for at opnå den størst mulige samlede omsætning.

b)

Vi foretager en følsomhedsanalyse.

Vores kriteriefunktion bliver nu (i det b bliver vores variabel):

𝑓 ( 𝑥;𝑦) =90𝑥+ 𝑏· 𝑦

                             90
Dvs. niveaulinjen får hældningen − . Hvis maksimum stadig skal findes i (x, y) = (300, 100), må
                             𝑏

hældningen for niveaulinjen ligge mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne:

𝑦=− 𝑥+ 250

1

2

Og:

𝑦=−𝑥+ 400

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 15. august 2011

14

Det vil sige:

−1≤− ≤−

90 1 𝑏 2

Vi løser de to uligheder hver for sig:

− ≤−

90 1 𝑏 2

⇕ Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏≥0 ∧ 𝑏≤180

Og:

−1≤−

90 𝑏

⇕ Uligheden løses for b vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑏≤0 ∨ 𝑏≥90

For at hældningen af niveaukurverne bliver indenfor det ønskede interval, kan koefficienten y i forskriften for f varierer i intervallet:

[ 90;180]

Vi kan konkludere at, hvis firmaet ikke skal ændre produktionen bestemt i opg a), så kan prisen for vare B maksimal stige til 180 kr.