HHX Matematik A 2011 19. december - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

1

HHX Matematik A

19. december 2011

hhx113-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgaver uden hjælpemidler .............................................................................................................................. 2 Opgaver med hjælpemidler ............................................................................................................................... 4

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx113-MAT/A-

Opgaver uden hjælpemidler - 19. december 2011

Opgave 1

Først integreres funktionen 𝑓 ved hjælp af de sædvanlige regneregler for integration af polynomier (jf. formel 190,191,188). For netop ét 𝑘 ∈ ℝ fås

F (𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −3𝑥^{2} + 2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥^{3} + 𝑥^{2} + 𝑘 .

∫ ∫

()

Konstanten 𝑘 bestemmes ved at løse ligninge F (1) = 2.

F (1) = 2 ⇔ −1^{3} + 1^{2} + 𝑘 = 2 ⇔ 1 + 1 + 𝑘 = 2 ⇔ 𝑘 = 0 .

Funktionen F er således givet ved forskriften

F (𝑥) = −𝑥^{3} + 𝑥^{2}.

Opgave 2

Tallet 4, 33 angiver at prisen på en liter benzin i år 1990 var 4,33 kroner. Tallet 0, 30 beskriver at priser på en liter benzin siden 1990 er steget med 30 øre hvert år.

Opgave 3

Funktionen 𝑓 differentieres ved hjælp af de sædvanlige regneregler for differentation af polynomier (jf. formel 105,108,106).

𝑓^{′} (𝑥) = 3𝑥^{5} + 2𝑥^{3} − 5𝑥 + 1 = 15𝑥^{4} + 6𝑥^{2} − 5 .

()_{′}

Opgave 4

At 𝑥 = −2 er en løsning kan vises ved at bestemme udtrykket på højresiden for 𝑥 = −2.

Udtrykket bestemmes.

(2 · (−2) + 4) · ((−2)^{2} − 2 · (−2)) = (−4 + 4) · (4 + 4) = 0 · 8 = 0 .

𝑥 = −2 er altså en løsning til ligningen. Samtlige tre løsninger bestemmes ved at løse

ligningen. Nulreglen anvendes.

(2𝑥 + 4) · (𝑥^{2} − 2𝑥) = 0

⇕

2𝑥 + 4 = 0 ∨ 𝑥^{2} − 2𝑥 = 0

⇕

2𝑥 = −4 ∨ 𝑥(𝑥 − 2) = 0

⇕

𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 0 ∨ 𝑥 = 2 .

De øvrige to løsninger er altså

𝑥 = 0 og 𝑥 = 2 .

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx113-MAT/A-

Opgave 5

Ligevægtsmængden bestemmes ved at løse ligningen 𝑑(𝑥) = 𝑠(𝑥) for 𝑥. Ligningen løses.

𝑑(𝑥) = 𝑠(𝑥) ⇔ 0, 09𝑥^{2} − 6𝑥 + 70 = 0, 09𝑥^{2} + 𝑥 + 7 ⇔ 7𝑥 = 63 ⇔ 𝑥 = 9 .

Ligevægtsmængden for varen er altså 9.

Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere handelseksamen fra 1997. Står der er A foran formelnummeret er formlen dog fra ap-pendikset fra april 2002.

Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.

Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

3

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

4

Opgaver med hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi tegner et trappediagram til at beskrive fordelingen af antal solgte herresko. Vi tegner trappediagrammet med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen: b)

Vi beskriver fordelingen vha. Typetal og Median.

Typetal: Skostørrelsen 42 er den hyppigst forekommende skostørrelse med en hyppighed på 183.

Median: Median er bestemt med WordMats skabelon for ugrupperede observationer, resultatet er kopieret ind i besvarelsen.

Median 42

Medianen er bestemt til 42, dvs. at 50 % af skostørrelserne er under størrelse 42, og 50 % af skostørrelserne er over størrelse 42.

0%

25%

50%

75%

100%

45

Kum. Frek.

Skostørrelse

Trappediagram

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

5

Opgave 2 a)

Vi bestemmer skalarproduktet mellem vektor 𝑎⃗ og vektor 𝑏, når t = 0:

⎯ ⃗

() · ()=−5

3 0

−1 5
Skalarproduktet, når t = 0, er bestemt til -5.

b)

Vi definerer vektorerne.

𝑎⃗ ≔()

3

−1

𝑏 ≔()

⎯ ⃗

0

5

Vi bestemmer vinklen mellem vektorerne, når t = 0.

cos ( 𝑣) =

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎⃗ | | 𝑏 |

⎯ ⃗

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=108,4349

Vinklen mellem vektorerne, når t = 0, er bestemt til 108,4° (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: c)

Vi benytter, at når determinanten mellem to vektorer er lig 0, så er vektorerne parallelle:

det ( (),()) =0

𝑡 𝑡+ 10

5 𝑡

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=−5 ∨ 𝑡=10

De to værdier af t, der gør vektor 𝑏 og vektor 𝑐⃗ parallelle, er bestemt til t = -5 og t = 10.

⎯ ⃗

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

6

Opgave 3 a)

Vi definerer forskriften for d samt definitionsmængden for x:

𝑑 ( 𝑥) ≔0,0035𝑥^{2} − 1,705𝑥 + 160

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0<𝑥<110

Vi bestemmer prisen p, der giver en efterspørgsel af varen på 50 kg, ved at bestemme d(50):

𝑑 ( 50) =83,5

Prisen p på 83,5 kr. pr. kg, giver en efterspørgsel på 50 kg af varen.

b)

Vi bestemmer arealet af det grå område som differensen mellem arealet under grafen for d i intervallet [0;

50] og arealet under grafen for linjen med ligningen y = 83,5 i intervallet [0; 50]:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑑 ( 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 83,5𝑑𝑥

50 50

0 0

≈1839,583

Comsumer Surplus for varen er bestem til 1839,6 kr. (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

7

Opgave 4 a)

Vi definerer en forskrift for R(x) og C(x) samt definitionsmængden for x:

𝑅 ( 𝑥) ≔2200𝑥

𝐶 ( 𝑥) ≔ 𝑥^{3} − 𝑥^{2} + 4900𝑥

1 13

300 2

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑥≥0

Forskriften for P er givet ved:

𝑂𝑣𝑒𝑟𝑠𝑘𝑢𝑑=𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 − 𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟

Dvs.:

𝑃 ( 𝑥) =𝑅 ( 𝑥) − 𝐶 ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑃 ( 𝑥) =− + 13 · − 2700 · 𝑥

𝑥^{3} 𝑥^{2}

300 2

Udtrykket for omsætningen P(x) er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi definerer P(x):

𝑃 ( 𝑥) ≔− + 13 · − 2700 · 𝑥

𝑥^{3} 𝑥^{2}

300 2

Vi bestemmer afsætningen, der giver størst overskud, ved at optimere P(x).

Vi bestemmer nulpunkter for den afledede funktion P’(x):

𝑃^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=259,4875 ∨ 𝑥 =1040,512

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunkterne for den afledede funktion p’(x):

𝑃^{′} ( 250) =−75

𝑃^{′} ( 260) =4

𝑃^{′} ( 1100) =−500

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

8

Vi kan konkludere at nulpunktet x = 1040,512 er et maksimum.

Den afsætning, der giver størst muligt overskud, er bestemt til 1041 stk. høreapparater (afrundet op til hel høreapparat).

c)

Vi bestemmer en forskrift for GROMK:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) =𝐶^{′} ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) =−13 · 𝑥+ 0,01 · 𝑥^{2} + 4900

Vi definerer forskriften for GROMK:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) ≔−13 · 𝑥 + 0,01 · 𝑥^{2} + 4900

Vi bestemmer den afsætning, der giver de mindst mulige grænseomkostninger, ved at optimere GROMK(x).

Vi bestemmer nulpunkter til den afledede funktion GROMK’:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=650

Vi undersøger fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet.

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾^{′} ( 600) =−1

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾^{′} ( 700) =1

Vi kan konkludere at nulpunktet er et minimum.

Den afsætning, der giver mindst mulige grænseomkostninger, er bestemt til 650 stk. høreapparater.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

9

Opgave 5 a)

Vi definerer en forskrift for p(x) og q(y) samt definitionsmængden for hhv. x og y:

𝑝 ( 𝑥) ≔−9𝑥+ 1840

𝑞 ( 𝑦) ≔−4𝑦+ 1400

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥≤150

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑦≤250

Vi har at dækningsbidraget kan bestemmes ved:

𝑑æ𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑠𝑏𝑖𝑑𝑟𝑎𝑔=𝑎𝑓𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 · ( 𝑝𝑟𝑖𝑠 𝑝𝑟. 𝑠𝑡𝑘.−𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛ℎ𝑒𝑑𝑠𝑜𝑚𝑘𝑜𝑠𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑟)

Dvs.:

𝐷𝐵=𝑥· ( 𝑝 ( 𝑥) − 400) + 𝑦 · ( 𝑞 ( 𝑦) − 200)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝐷𝐵=1200 · 𝑦 − 4 · 𝑦^{2} + 1440 · 𝑥 − 9 · 𝑥^{2}

Udtrykket for dækningsbidraget DB(x; y) er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.

b)

Niveaukurven N(57600) er en ellipse, hvis ligningen kan omskrives til den generelle formel for en ellipse:

( 𝑥− 𝑥_{0})^{2} ( 𝑦−𝑦_{0})^{2}
𝑎^{2} 𝑏^{2}

+ =1

Vi opskriver niveaukurven N(57600) og omskriver:

𝐷𝐵 ( 𝑥, 𝑦) =57600

⇕

−9𝑥^{2} + 1440𝑥 − 4𝑦^{2} + 1200𝑦=57600

⇕

9𝑥^{2} − 1440𝑥 + 4𝑦^{2} − 1200𝑦=−57600

⇕

𝑥^{2} − 160𝑥 + =−6400

4𝑦^{2} − 1200𝑦

9

⇕

𝑥^{2} − 160𝑥 𝑦^{2} − 300𝑦

4 9

+ =−1600

⇕

( 𝑥− 80)^{2} ( 𝑦 − 150)^{2} 80^{2} 150^{2}

4 9 4 9

+ =−1.600 + + =2500

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

10

⇕

( 𝑥− 80)^{2} ( 𝑦 − 150)^{2}

10.000 22.500

+ =1

Vi kan konkludere, at niveaukurven 𝑁 ( 57600) er en ellipse.

c)

Vi indtegner det polygonformede kapacitetsområde og niveaukurven N(57600) i GeoGebra. Resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Dækningsbidraget er underlagt følgende begrænsninger:

𝑥+ 𝑦≤300

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦≤−𝑥+ 300

Og:

0≤𝑥≤150

0≤𝑦≤250

Illustration fra GeoGebra:

Vi kan konkludere at ellipsernes centrum ligger inden for det polygonformede kapacitetsområde, dvs. det størst mulige dækningsbidrag skal findes i ellipsernes centrum C(80, 150).

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

11

Det størst mulige dækningsbidrag findes ved en produktion og afsætning af 80 stk. af vare A pr. uge og 150 stk. af vare B pr. uge.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

12

Opgave 6 a)

Vi bestemmer en forskrift for linjen l. Vi kender to punkter på linjen, og vi ved at linjen er lineær, vi bestemmer derfor en linjens ligning ved at løse to ligninger med to ubekendte.

2=𝑎· + 𝑏

1

2

1

2

=𝑎· 2 + 𝑏

⇕ Ligningssystemet løses for a,b vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑎=−1 ∧ 𝑏=

5

2

Vi opskriver og definerer en ligning for linjen l:

𝑙 ( 𝑥) ≔−1 · 𝑥+

5

2

En ligning for linjen l er bestemt til ovenstående udtryk.

I punktet A er x = 0:

𝑙 ( 0) =

5

2

Punktet A er bestemt til A(0, 5/2).

I punktet B er y = 0, vi løser for x:

𝑙 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=

5

2

Punktet B er bestemt til B(5/2, 0).

b)

Vi bestemmer arealet af det grå område som differensen af arealet under grafen for linjen l i intervallet [A;

B] og arealet mellem graferne for linjen l og linjen f i intervallet [P; Q]:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑙^{2^{5}} ( 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑙_{1} ( 𝑥) − 𝑑𝑥

0

1 𝑥

2

2

=2,636294

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

13

Arealet af det grå område er bestemt til 2,64 (afrundet til 2 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

14

Opgave 7 a)

Linje 1: 𝑥^{3} − 8𝑥^{2} + 16𝑥=0

Ligningen er skrevet op.

Linje 2: 𝑥⋅ ( 𝑥^{2} − 8𝑥+ 16) =0

Variablen 𝑥 trækkes uden for parentes.

Linje 3: 𝑥=0 ∨ 𝑥^{2} − 8𝑥 +16=0

Nulreglen bruges.

Linje 4: 𝑥=0 ∨ ( 𝑥− 4)^{2} =0

Kvadratsætningen ( 𝑎− 𝑏)^{2} =𝑎^{2} + 𝑏^{2} − 2𝑎𝑏 benyttes.

Linje 5: L= { 0,4}

Løsningsmængden opskrives efter at ( 𝑥− 4)^{2} =0 er løst.

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

15

Kun én af besvarelse af opgaverne 8A og 8B skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 8A a)

For et vilkårligt tal t omskriver vi ligningen f(x, y) = t:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑡

⇕

15𝑥+ 10𝑦=𝑡

⇕

𝑦=−1,5𝑥+

𝑡

10

Vi kan konkludere, at linjen har en hældning på -1,5 dvs. da -1,5 < -2 < -0,5 antager f sin mindste værdi i skæringspunktet mellem linjerne.

𝑦≥−2𝑥 + 500

𝑦≥−0,5𝑥+ 200

Vi bestemmer skæringspunktet, ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte.

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑦=100 ∧ 𝑥=200

Det punkt inden for polygonområdet, hvor f antager sin mindste værdi, er bestemt til (200, 100).

b)

Vi foretager en følsomhedsanalyse.

Vores kriteriefunktion bliver nu (i det a bliver vores variabel):

𝑓 ( 𝑥;𝑦) =𝑎· 𝑥+ 10 · 𝑦

                              𝑎
Dvs. niveaulinjen får hældningen − . Hvis minimum stadig skal findes i (x, y) = (200, 100), må hældningen
                             10000

ligge mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne.

𝑦≥−2𝑥 + 500

Og:

𝑦≥−0,5𝑥+ 200

Side 16

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

16

Det vil sige:

−2≤− ≤−0,5

𝑎

10

Vi løser de to uligheder hver for sig:

− ≤−0,5

𝑎

10

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎≥5

Og:

−2≤−

𝑎

10

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎≤20

For at hældningen af niveaukurverne bliver indenfor det ønskede interval, koefficienten for x variere i intervallet.

[5;20]

Vi kan konkludere, at koefficienten for x i forskriften for f kan variere i intervallet [5, 20], så f stadig antager sin mindsteværdi i punktet (200, 100).

Side 17

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 19. december 2011

17

Opgave 8B a)

Vi definerer kendte størrelser: 𝑟≔0,0062 𝑛≔12

Vi bestemmer den effektive rente:

𝑖= ( 1 + 𝑟)^{𝑛} − 1

≈0,07699021

Vi har bestemt den effektive rente til 7,7 % (afrundet til 1 decimal). Vi har dermed gjort rede.

b)

Vi definerer yderligere kendte størrelser:

𝐴_{0} ≔428000

𝑦≔6552,12

Vi bestemmer antallet af ydelser dvs. vi løser for n:

𝐴_{0} =𝑦·

1 − ( 1 + 𝑟)^{−𝑛}

𝑟

⇕ Ligningen løses for n vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑛=83,99992

Line skal betale 84 ydelser (afrundet op til helt ydelser).