HHX Matematik A 2011 23. maj - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

1

HHX Matematik A

23. maj 2011

hhx111-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende. Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp HHX 3. år

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 4

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx111-MAT/A-

Opgaver uden hjælpemidler - 23. maj 2011

Opgave 1

To vektorer er ortogonale hvis deres skalarprodukt er 0, formel164.

⃗𝑎 ⊥ 𝑏 ⇔ ⃗𝑎 · 𝑏 = 0 .

⃗ ⃗

Skalarproduktet bestemmes (jf. formel 161)

⃗𝑎 · 𝑏 = · = 2 · (−2) + 1 · 𝑡 = −4 + 𝑡 .

⃗

2 −2

1 𝑡

))

Endelig løses ligningen ⃗𝑎 · 𝑏 = 0 for 𝑡.

⃗

⃗𝑎 · 𝑏 = 0 ⇔ −4 + 𝑡 = 0 ⇔ 𝑡 = 4 .

⃗

For at vektorerne ⃗𝑎 og 𝑏 er ortogonale skal altså 𝑡 = 4.

⃗

Opgave 2

For at bestemme stamfunktionen F integreres først 𝑓 (jf. formel 190, 188)

F (𝑥) = 3𝑥^{2} + 2 𝑑𝑥 = 𝑥^{3} + 2𝑥 + 𝑐 .

∫

()

Nu bestemmes 𝑐 ved at løse ligningen F (1) = 1.
F (1) = 1 ⇔ 1^{3} + 2 · 1 + 𝑐 = 1 ⇔ 3 + 𝑐 = 1 ⇔ 𝑐 = −2 .

Forskriften for F er altså

F (𝑥) = 𝑥^{3} + 2𝑥 − 2 .

Opgave 3

Da der kendes to sider og vinklen imellem dem kan arealet bestemmes ved hjælp af (jf.

formel 34)

    1           1
T =   · 𝑎𝑏 sin 𝐶 = · 5 · 10 · 0, 2 = 5 .
    2           2

Arealet af trekant AB𝐶 er altså 5.

Opgave 4

Kvartilsættet aflæses på grafen.

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik HHX A hhx111-MAT/A-

Kvartilsættet aflæses til (22, 30, 50).

25% af kunder er altså 22 år eller yndre, 50% er 30 år eller yngre og 75% er 50 år eller yngre.

Opgave 5

Den inverse funktion til 𝑝 er netop den funktion 𝑝^{−1} således at

𝑝 𝑝^{−1} (𝑥) = 𝑥 .

()

                  −1       1
Det undersøges om 𝑝 (𝑥) = −  𝑥 + 5.
                           2

   −1             1
𝑝  𝑝  (𝑥) = −2  −  𝑥 + 5 + 10 = 𝑥 − 10 + 10 = 𝑥 .
                  2

() ()

                   −1       1
Der gælder altså at 𝑝 (𝑥) = − 𝑥 + 5.
                            2

Da 𝑝^{−1} er den inverse funktion til 𝑝, er 𝑝^{−1} (𝑥) antal varer der skal til for at prisen per
styks er 6 kroner. 𝑝^{−1} (𝑥) er med andre ord løsningen til 𝑝(𝑥) = 6.

Alle formlerne henviser til Formelsamling for matematik. Niveau B og A på højere handelseksamen fra 1997. Står der er A foran formelnummeret er formlen dog fra ap-pendikset fra april 2002.

Bemærk: Formelsamling må ikke anvendes til opgaver uden hjælpemidler.

Referencer til en formelsamling bør ikke medtages i en besvarelse, og formelhenvisnin-ger kan ikke erstatte formler, forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at vi medtager formelnumre i vores løsninger, er så du præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

3

Side 4

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

4

Delprøven med hjælpemidler

Opgave 1 a)

Vi tegner en sumkurve til at beskrive fordelingen i bruttoløn (i 1000 kr.). Vi tegner sumkurven med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

b)

Vi beskriver fordelingen med de to statistiske deskriptorer: Typeinterval og Median.

Typeinterval: Med 38 hyppigheder ud af 100 er intervallet ]200; 300] det mest hyppige interval.

Median: Vi bestemmer medianen med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Median 223,7

Medianen er bestemt til 223,7, dvs. 50 % af iværksætterne havde en bruttoløn på under 223,7 (målt i 1000 kr.) før start af egen virksomhed, og 50 % af iværksætterne havde en bruttoløn på over 223,7 (målt i 1000 kr.) efter start af egen virksomhed.

0%

25%

50%

75%

100%

600

Kum. Frek.

Bruttoløn målt i (1000 kr).

Sumkurve:

Side 5

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

5

Opgave 2 a)

Vi bestemmer vinklen mellem vektor 𝑎⃗ og vektor 𝑏, når t = 1:

⎯ ⃗

cos ( 𝑣) =

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎⃗ | | 𝑏 |

⎯ ⃗

⇕

cos ( 𝑣) =

(  ) · ( )
        2

1 3

12 1

| () | · | () |

1 3

12 1^{2}

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=66,80141

Vinklen mellem vektorerne er bestemt til 66,8° (afrundet til 1 decimal).

b)

Vi udnytter, at når determinanten mellem to vektorer er lig 0, så er vektorerne parallelle:

det ( 𝑎⃗,𝑏) =0, 𝑎⃗||𝑏

⎯ ⃗ ⎯ ⃗

⇕

det ( ( ),( ) ) =0
           2

1 3

12 𝑡

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=−6 ∨ 𝑡=6

De to værdier af t, der gør vektor 𝑎⃗ og 𝑏 parallelle, er bestemt til t = -6 og t = 6.

⎯ ⃗

Side 6

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

6

Opgave 3 a)

Vi definerer en forskrift for hhv. s(x) og d(x) samt definitionsmængden for x:

𝑠 ( 𝑥) ≔𝑥^{2} + 15

𝑑 ( 𝑥) ≔0,5𝑥^{2} − 16𝑥 + 175

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0<𝑥 <16

Vi har, at ligevægtsmængden for den bestemte vare er Q = 8, vi bestemmer ligevægtsprisen ved at bestemme

s(8):

𝑠 ( 8) =79

Ligevægtsprisen er bestemt til 79 pr. stk.

b)

Vi bestemmer arealet af det grå område ved:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑑 ( 𝑥) 𝑑𝑥

8

0

≈973,3333

Den samlede betalingsvillighed er bestemt til 973,3 (afrundet til 1 decimal).

c)

Vi bestemmer arealet mellem grafen for udbuddet og grafen for efterspørgslen som differensen mellem arealet under grafen for d(x) og arealet under grafen for s(x) i intervallet [0; 8]:

𝐴_{𝑔𝑟å} =∫ 𝑑 ( 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠 ( 𝑥) 𝑑𝑥

8 8

0 0

≈682,6667

Den samlede velfærdseffekt er bestemt til 682,7 (afrundet til 1 decimal).

Side 7

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

7

Opgave 4 a)

Linje 1: ( 𝑥− 5) · √ 𝑥− 2=0, 𝑥>2

f’(x) sættes lig med 0 og ligningen løses for x > 2.

Linje 2: ( 𝑥− 5) =0 ∨ √ 𝑥− 2=0

Nulreglen anvendes, 𝑎⋅ 𝑏=0⇔𝑎=0 ∨ 𝑏=0.

Linje 3: 𝑥− 5=0 ∨ 𝑥− 2=0

Parentesen hæves (venstre), udtrykkene kvadreres (højre)

Linje 4: 𝑥=5 ∨ 𝑥=2:

Ligninger løses

Linje 5: 𝐿= { 5}:

Da 2 ikke er større end 2, er 5 den eneste løsning.

b)

Sammenligner vi løsningen fundet i opg a) med grafen i opg b) kan vi opskrive monotoniforhold for f:

Monotoniforhold for f:

• 𝑓 aftager i] 2;5].

• 𝑓 vokser i [ 5;∞ [

Side 8

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

8

Opgave 5 a)

Vi har at integralet i intervallet [4; 8] er lig differensen mellem integralet i intervallet [-4;8] og integralet i intervallet [-4; 4] jf. indskudsregelen.

∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥= ∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥− ∫𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

8 8 4

4 −4 −4
=52 − 68
=−16

Integralet er bestemt til -16.

b)

Vi bestemmer tallet k så integralet er lig 112. Vi benytter reglen for integration af en sum, og deler integralet op:

∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑘𝑑𝑥 =112

8 8

−4 −4

⇕

52 + ∫ 𝑘𝑑𝑥 =112

8

−4

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=5

Tallet k, så integralet er lig 112, er bestemt til k = 5.

Side 9

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

9

Opgave 6 a)

Vi definerer forskriften for p(x) og q(y) samt definitionsmængden for x:

𝑝 ( 𝑥) ≔−0,1𝑥 + 4

𝑞 ( 𝑦) ≔−0,1𝑦 + 8

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥 ≤35

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑦≤50

Vi har, at omsætningen er givet ved:

𝑜𝑚𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔=𝑎𝑓𝑠æ𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔 · 𝑝𝑟𝑖𝑠 𝑝𝑟.𝑠𝑡𝑘.

Dvs.:

𝑅 ( 𝑥,𝑦) =𝑝 ( 𝑥) · 𝑥+ 𝑞 ( 𝑦) · 𝑦

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝑅 ( 𝑥;𝑦) =8 · 𝑦− 0,1 · 𝑦^{2} + 4 · 𝑥− 0,1 · 𝑥^{2}

Et udtryk for den samlede ugentlige omsætning er bestemt til ovenstående udtryk. Vi har dermed gjort rede.

b)

Den generelle formel for en cirkel er givet ved:

( 𝑥− 𝑥_{0})^{2} + ( 𝑦− 𝑦_{0})^{2} =𝑟^{2}

Vi omskriver niveaukurven N(110):

𝑅 ( 𝑥,𝑦) =110

⇕

−0,1𝑥^{2} + 4𝑥 − 0,1𝑦^{2} + 8𝑦=110

⇕

−𝑥^{2} + 40𝑥 + 𝑦^{2} + 80𝑦=1100

⇕

𝑥^{2} − 40𝑥 + 𝑦^{2} + 80𝑦=−1100

⇕

Side 10

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

10

( 𝑥− 20)^{2} + ( 𝑦 − 40)^{2} =−1100 + 20^{2} + 40^{2}

⇕

( 𝑥− 20)^{2} + ( 𝑦− 40)^{2} =−1100 + 400 + 1600

⇕

( 𝑥− 20)^{2} + ( 𝑦 − 40)^{2} =900=30

2

Vi kan konkludere, at niveaukurven N(110) er en cirkel. Vi har dermed gjort rede.

c)

Vi indtegner det polygonformede kapacitetsområde og niveaukurven N(110) i GeoGebra, resultatet kopieres ind i besvarelsen.

Produktionen er begrænset af:

𝑥+ 𝑦≤70

⇕ Uligheden løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦≤70 − 𝑥

Samt:

0≤𝑥 ≤35

0≤𝑦≤50

Illustration fra GeoGebra:

Side 11

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

11

Vi indser, at cirklernes centrum befinder sig inden for polygonformede kapacitetsområde, dvs. at den størst mulige ugentlige omsætning skal findes i cirklernes centrum C(20, 40).

Vi kan konkludere, at den størst mulige ugentlige omsætning findes ved en produktionssammensætning på

20 stk. af vare A pr. uge og 40 stk. af vare B pr. uge.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

12

Opgave 7 a)

Vi definerer en forskrift for C(x) og R(x) samt definitionsmængden for x:

𝐶 ( 𝑥) ≔0,04𝑥^{3} − 4,8𝑥^{2} + 229𝑥 + 5100

𝑅 ( 𝑥) ≔−4𝑥^{2} + 400𝑥

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 0≤𝑥≤100

Vi bestemmer en forskrift for GROMK. Vi har at GROMK = C’ dvs.:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) =𝐶^{′} ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) =0,12 · 𝑥^{2} − 9,6 · 𝑥+ 229

En forskrift for GROMK er bestemt til ovenstående udtryk.

Vi bestemmer en forskrift for GROMS. Vi har, at GROMS = R’ dvs.:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝑆 ( 𝑥) =𝑅^{′} ( 𝑥)

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion, Udvid,

𝐺𝑅𝑂𝑀𝑆 ( 𝑥) =400 − 8 · 𝑥

En forskrift for GROMS er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi definerer forskrifterne for GROMK og GROMS:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) ≔0,12 · 𝑥^{2} − 9,6 · 𝑥+ 229

𝐺𝑅𝑂𝑀𝑆 ( 𝑥) ≔400 − 8 · 𝑥

Vi bestemmer den afsætning, der giver største overskud, ved at bestemme skæringspunktet mellem GROMK og GROMS:

𝐺𝑅𝑂𝑀𝐾 ( 𝑥) =𝐺𝑅𝑂𝑀𝑆 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=45

Afsætningen, der giver størst muligt overskud, er bestemt til 45 stk. af en vare.

Side 13

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

13

Kun én af besvarelse af opgaverne 8A og 8B skal afleveres til bedømmelse.

Opgave 8A a)

Vi definerer kendte størrelser: 𝑟≔0,06

𝐴_{0} ≔100000

𝑛≔7

Vi bestemmer den årlige ydelse for lånetilbuddet:

𝑦=𝐴_{0} ·

𝑟

1 − ( 𝑟 + 1)^{−𝑛}

≈17913,5

Den årlige ydelse for lånetilbuddet er bestemt til 17913,5 kr.

b)

Den sidste ydelse er givet ved summen af gælden fra året før og den sidste rente. Vi kan fra tabellen i opgaveformuleringen aflæse restgælden efter 6. termin, vi definerer restgælden efter 6. termin:

𝑅_{6} ≔2345,54

Vi bestemmer det sidste års ydelse:

𝑦_{7} =𝑅_{6} · ( 1 + 𝑟)

≈2486,272

Den sidste ydelse er bestemt til 2486,27 kr. (afrundet til 2 decimaler).

Side 14

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

14

Opgave 8B a)

Vi omskriver kriteriefunktionen f(x, y) for et reelt tal t, så vi kan aflæse niveaukurvernes hældning hældningen:

𝑓 ( 𝑥,𝑦) =𝑡

⇕

1500𝑥 + 1000𝑦=𝑡

⇕

𝑦=−1,5𝑥+

𝑡

1000

Vi kan aflæse hældningen for niveaukurven til -1,5. Da - 2 < -1,5 < -1 findes det punkt, der beskriver den størst mulige samlede kapacitet i timen, i skæringspunktet mellem linjerne:

𝑦=−𝑥+ 8

𝑦=−2𝑥+ 14

Vi bestemmer skæringspunktet ved at løse ovenstående ligningssystem som to ligninger med to ubekendte:

⇕ Ligningssystemet løses for y,x vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger' funktion,

𝑦=2 ∧ 𝑥=6

Linjerne skærer hinanden i (6, 2). Vi kan konkludere, at den størst mulige kapacitet fås ved indkøb af 6 maskiner af type A og 2 maskiner af type B.

b)

Vi foretager en følsomhedsanalyse:

Vores kriteriefunktion bliver nu (i det a bliver vores variabel):

𝑓 ( 𝑥;𝑦) =𝑎𝑥+ 1000 · 𝑦

                              𝑎
Dvs. niveaulinjen får hældningen − . Hvis maksimum stadig skal findes i (x, y) = (6, 2), må hældningen for
                             1000

niveaulinjen ligge mellem hældningerne for de to rette linjer givet ved ligningerne:

𝑦=−𝑥+ 8

𝑦=−2𝑥+ 14

Det vil sige:

Side 15

Matematik A HHX – Skriftlig eksamen – 23. maj 2011

15

−2≤− ≤−1

𝑎

1000

Vi løser de to uligheder hver for sig:

− ≤−1

𝑎

1000

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎≥1000

Og:

−2≤−

𝑎

1000

⇕ Uligheden løses for a vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑎≤2000

For at hældningen for niveaukurverne bliver indenfor det ønskede interval, kan koefficienten x i forskriften for f varierer i intervallet:

[ 1000;2000]

Vi kan konkludere, at hvis f stadig skal antage sin størsteværdi i punktet bestemt i opg a) dvs. (6, 2), kan kapaciteten for type A variere i intervallet [1000; 2000]. Vi har dermed gjort rede.