Hookes lov - Rapport i Fysik

Side 1

Hookes lov for en fjeder

Udførelsesdato: x/x-2011

STX 2.g

Gruppemedlemmer: xxxxxxx

Rapport skrevet af: xxxxx xxxxx Gymnasium

Side 2

xxxx Fysik x/x-2011

xxx Hookes lov for en fjeder xxx Gymnasium

2

Hookes lov for en fjeder

Formål

Formålet med forsøget er at finde eksperimentelt udtryk for, hvordan kraften fra en fjeder afhænger af fjederforlængelsen. Derudover vil jeg undersøge hvordan dette udtryk hænger sammen med svingningstiden for et lod, der svinger i fjederen.

Teori

Harmonisk bevægelse

En svingning, hvor udsvinget y(t) fra ligevægtsstillingen som funktion af tiden t kan skrives på formen:

𝑦 ( 𝑡) =𝐴 ∙ sin (𝜔 ∙ 𝑡)

Dette kaldes en harmonisk bevægelse.

Her er beskrives A som værende amplituden, og 𝜔 er vinkelfrekvensen, som kan udtrykkes ved svingningstiden T med denne formel:

𝜔=

2𝜋

𝑇

Hvis man har en resulterende kraft på en genstand (i vores tilfælde et lod) med massen m, som udfører en harmonisk bevægelse, kan man beskrive det vha. følgende formler.

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =−𝑘∙ 𝑦 ( 𝑡) 𝑚𝑒𝑑 𝑘=𝑚∙ 𝜔

2 k er en positiv konstant, og kaldes fjederkonstanten.

Hookes lov

Fjederkraften |F | er proportional med y. Da vi ved at fjederkraften altid vil være negativ, kan man
             fjeder

beskrive den på formen:

𝐹_{𝑓𝑗𝑒𝑑𝑒𝑟} =−𝑘∙ 𝑦

Denne formel beskriver sammenhængen mellem fjederkraften og fjederens forlængelse. En større fjederkonstant vil altså gøre fjederkraften større, ved en bestemt fjederforlængelse. Altså hænger fjederkonstanten k sammen med fjederens stivhed. Desto mere k stiger, desto stivere bliver vores fjeder.

Dette er Hookes lov for en fjeder.

I vores forsøg hang vi et lod op i en fjeder med massen m. Når vores lod er i hvile, er den resulterende kraft på loddet lig 0. I hviletilstanden er loddet kun påvirket af tyngdekraften og fjederkraften. Derfor gælder at fjederkraften er ligeså stor som den modsatrettede kraft på loddet. Dette kan skrives på formen:

Side 3

xxxx Fysik x/x-2011

xxx Hookes lov for en fjeder xxx Gymnasium

3

𝐹_{𝑓𝑗𝑒𝑑𝑒𝑟} =−𝐹_{𝑡}

Da vi grundet Newtons 2. lov om tyngdeaccelerationen ved at 𝐹_{𝑡} =𝑚 ∙ 𝑔 kan vi blot indsætte denne formel
i stedet for 𝐹_{𝑡} i vores formel for fjederkraften.

𝐹_{𝑓𝑗𝑒𝑑𝑒𝑟} =−𝑚 ∙ 𝑔

I det vi hænger et lod op i vores stativ og sætter det i svingninger, vil der gælde følgende:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =𝐹_{𝑓𝑗𝑒𝑑𝑒𝑟} − 𝐹_{𝑓𝑗𝑒𝑑𝑒𝑟0}

Altså er den resulterende kraft på vores lod lig med tyngdekraften ved fjederforlængelsen y fratrukket

tyngdekraften ved ligevægtsstillingen, nemlig udgangspunktet y
                                                    0

. Hvis vi indsætter Hookes lov i denne formel, får vi:

𝐹_{𝑟𝑒𝑠} =−𝑘∙ (𝑦 −𝑦_{0})

Den resulterende kraft er proportional med differensen mellem de to fjederforlængelser fra ligevægtsstillingen.

Som før beskrevet kan vores fjederkonstant k defineres som 𝑘=𝑚_{0} ∙ 𝜔^{2}

For at udregne svingningstiden T vha. en beregnet værdi af vores fjederkonstant, kan man isolere T i den tidligere formel for vinkelfrekvensen og få formlen:

𝑇=2𝜋∙ √

𝑚_{0}

𝑘

Altså kan vi se at svingningstiden T bliver større når massen øges og at svingningstiden formindskes, når fjederkonstanten k bliver større – dvs. når fjederen bliver mere stiv.

Side 4

xxxx Fysik x/x-2011

xxx Hookes lov for en fjeder xxx Gymnasium

4

Materialeliste

Stativ

Vægt

Lineal

Stopur (iPhone)

Fjeder

Elektronisk vægt

Fremgangsmåde

I vores gruppe stillede vi et stativ op og hang en fjeder samt en lineal op. Vi målte en række sammenhørende værdier af fjederens forlængelse ud fra ligevægten, ved at hænge lodder med forskellig vægt fast i fjederen. Disse resultater indsatte vi i et skema og derefter udregnede vi fjederkræften vha.

Hookes lov. Vi lavede derefter en graf over fjederkræften som funktion af fjederens udstrækning vha. excel.

Vi lavede lineær regression på vores punkter, fik en ret linje og fandt hældningen, som er vores fjederkonstant.

Efterfølgende hængte vi et lod med massen m_{0} =0,05 kg op i vores fjeder og satte det i svingninger. Vi talte

hvor mange svingninger der kom hvert tiende sekund. Dette gentog vi 4 gange – for derefter at udregne gennemsnittet for svingningstiden T.

m_{lod} = 0,0994 kg
Ligevægtsposition = 72 cm – 45 cm = 27 cm

Vi afmålte vores ligevægtsposition ved at måle længden fra stativet til bordets kant(stativets fod), dette afmålte vi til at være 72 cm. Dette tal trak vi så fra længden af vores lineal for at finde ud af hvor vores ligevægtsposition var. Dette gjorde vi for at få det mest præcise tal for ligevægtspositionen.

Forsøgsopstilling, indeholdende de forskellige materialer

Side 5

xxxx Fysik x/x-2011

xxx Hookes lov for en fjeder xxx Gymnasium

5

Resultater og databehandling

Masse [kg] [m] F [N] [m] |F| [N] [s] [s]

Y (udstrækning) y (uden ligevægt) svingninger stid

Tid for 10 svingning-

0,0199 0,025 -0,195 0,725 0,195

0,0299 | 0,030 | -0,294 | 0,73 | 0,294

0,0398 0,045 -0,391 0,745 0,391

0,0500 | 0,050 | -0,491 | 0,75 | 0,491
0,0761 | 0,080 | -0,747 | 0,78 | 0,747

0,0994 0,105 -0,976 0,805 0,976 6,4 0,64

0,116 0,115 -1,14 0,815 1,140

0,149 0,150 -1,47 0,85 1,467

Her har vi udregnet vores hældning til værende 9,977. Altså er vores fjederkonstant 9,977. Da

                2
forklaringsgraden 𝑟 i vores ligning er over 0,95, nemlig 0,997 betyder det at modellen kan forklare 99,7 %

af alle variationerne. Hermed kan vi konstatere at vores model kan benyttes som en pålidelig lineær funktion.

Ved hjælp af min beregnede fjederkonstant kan jeg også udregne en svingningstid for det selv samme lod.

Jeg vil nu beregne svingningstiden T og bagefter vil jeg vha. den målte værdi T finde ud af hvor meget den afviger fra den beregnede værdi T.

Jeg benytter følgende formel til at beregne fjederkonstanten for min fjeder med et lod der vejer 0,0994 kg.

𝑇=2𝜋∙ √

𝑚_{0}

𝑘

2𝜋∙ √ =0,627

0,0994

9,977

y = 9,977x - 0,036
R² = 0,997

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160

Fjederkraften,målt i Newton (N)

Udstrækningen, målt i meter (m)

Hookes lov for en fjeder

Side 6

xxxx Fysik x/x-2011

xxx Hookes lov for en fjeder xxx Gymnasium

6

Altså har jeg beregnet svingningstiden til værende 0,627 sekunder.

I vores andet forsøg, fandt vi ud af hvor mange svingninger der var på 10 sekunder. Ud fra dette fandt vi i gruppen en svingningstid, som set i skemaet på foregående side.

𝑇= =0,64 𝑠𝑒𝑘𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟

6,4

10

Jeg beregner nu den procentvise afvigelse.

𝑇_{𝑚å𝑙𝑡} − 𝑇_{𝑏𝑒𝑟𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡}
𝑇_{𝑏𝑒𝑟𝑒𝑔𝑛𝑒𝑡}

∙ 100=𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑣𝑖𝑠 𝑎𝑓𝑣𝑖𝑔𝑒𝑙𝑠𝑒
0,640−0,627

0,627

∙ 100=2,050 %

Fejlkilder og usikkerheder

− Vi afmålte udstrækningen af fjederen ved at aflæse med en kuglepen på en lineal. Da linealen også

var ca. 5 cm fra fjederen, har der været en del usikkerheder ved at aflæse præcist nok. Derfor målte vi også i 0,5 cm intervaller.

− Fjederen kunne blive forstrukket og derved mister den noget af sin fjederkraft og

ligevægtspositionen ville være ændret. Dette vil resultere i forkerte målinger og give os en anden fjederkonstant.

− Fjederen bevæger sig ikke lige op og ned når den bliver sat i svingninger, den bevæger sig også til

siderne.

Diskussion

Grafen skærer ikke i (0,0)

Grafen skærer ikke i (0,0). Dette er ikke naturligt, da dette ville resultere i en kraft uden årsag. Dette udtrykker usikkerheden i mit forsøg. Denne usikkerhed kan stamme fra måleunøjagtigheder i afmålingen af ligevægtsstillingen, svingningstiderne og at loddets bevægelse varierer fra lodret.

Konklusion

Ud fra forsøget og mine efterfølgende udregninger af hhv. fjederkonstanten og svingningstiden for vores fjeder kan jeg konkludere at den ligefremme sammenhæng mellem fjederkraften og fjederens forlængelse som Hookes lov siger, findes. Vi udregnede i vores gruppe en fjederkonstant til værende: 9,977. Ud fra denne fjederkonstant udregnede vi en svingningstid på 0,627 sekunder for et lod med massen 0,0994 kg. I vores andet forsøg målte vi en svingningstid for det samme lod og fik en svingningstid på 0,64 sekunder. Vi udregnede den procentvise afvigelse til at være ca. 2 % - hvilket er et nogenlunde resultat.