SOP om sandsynlighedsregning i Matematik A og Idéhistorie B

Side 1

LUDOMANI

19. december

2008

Rikke Sønderup CPR-nr:45

Hovedfag: Matematik A,

Bifag: Idéhistorie B

Vejleder: Erik Alleslev Rasmussen

HTX 3. år

HTX Sukkertoppen, 3. B

Studieretnings-projekt.

“Problemet med gambling er, at ingen kan konsekvent vinde, men alle tror, at de kan„

»Pittsburg Phil«, legendarisk gambler.

Side 2

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

2

INDHOLDSFORTEGNELSE

Abstract ....................................................................................................................................................................................................................... 3 Indledning .................................................................................................................................................................................................................. 3 Ludomani.................................................................................................................................................................................................................... 4 Hvad er ludomani? ............................................................................................................................................................................................ 4 Behaviorisme. ..................................................................................................................................................................................................... 4 Eksistens Psykologi. ......................................................................................................................................................................................... 5 Fysiologi. ............................................................................................................................................................................................................... 6 Begreber om sandsynlighedsregning. ........................................................................................................................................................... 7 De store tals lov .................................................................................................................................................................................................. 7 Symmetriske & Asymmetriske Sandsynlighedsfelter ...................................................................................................................... 7 Udfaldsrum & Hændelser .............................................................................................................................................................................. 9 Kombinatorik. .................................................................................................................................................................................................. 10 Stokastisk Variabel. ....................................................................................................................................................................................... 11 Uafhængige Hændelser. ............................................................................................................................................................................... 12 Tilbagelægning ................................................................................................................................................................................................ 12 Spillet Halv 12. ...................................................................................................................................................................................................... 12 Definition på spillet halv 12. ...................................................................................................................................................................... 12 Sandsynligheder. ............................................................................................................................................................................................ 13 Empirisk eksempel. ....................................................................................................................................................................................... 14 Ludomanis Konsekvenser. ............................................................................................................................................................................... 15 Fokus på børnene. .......................................................................................................................................................................................... 16 Konklusion. ............................................................................................................................................................................................................. 16 Kildeliste. ................................................................................................................................................................................................................. 17 Bilag. .......................................................................................................................................................................................................................... 18 Bilag 1 .................................................................................................................................................................................................................. 18 Bilag 2. ................................................................................................................................................................................................................. 19 Bilag 3 .................................................................................................................................................................................................................. 21

Side 3

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

3

ABSTRACT

My project is about pathological gambling. It is an important issue, since it is a growing problem in Denmark. It is so easy to access games online. First I found the relevant literature. Once that was read, I was in the process of writing the assignment.

I have examined the causes of pathological gambling, in various topics: Existence psychology, Behaviourism and biology. I have also tried to make healing-proposals for pathological gambling: I

can conclude that it would be good to mix, Existence psychology (make your own choice = to stop
pathological gambling), Behaviourism (to encourage the right behavior = being with the family) and

biological (some have to get pills). I had examined the moral consequences with pathological gambling. It would may lead to divorce and traumatic children. There are some risk factors that make some people more easily become addicted than others, ex. if the addicted have won big in the early stage.

I have completed a game, called half 12, where I have calculated the probability that the next card will help me win the game. In mathematics, I have studied the basics of probabilities, from what I have discharged a general formula to calculate the probability that the next card provides 11 ½ or below. I can conclude that it is very random what the next card is, you cannot always count on the probabilities.

INDLEDNING

I denne opgave vil jeg sætte fokus på ludomani. Dette emne er valgt på baggrund af at, ludomani er et voksende problem i Danmark. Det er nemmere end nogensinde før, at få adgang til spillene, ikke mindst på nettet.

Inden for naturvidenskaben, har jeg valgt at belyse de forskellige matematiske aspekter i sandsynlighedsregning, da dette har relevans for at være en god spiller. Ud fra det vil jeg udlede en generel formel, som jeg kan bruge til at beregne sandsynligheden for at det næste kort vil hjælpe mig, i et spil halv 12.

På det humanistisk og samfundsvidenskabelige plan vil jeg forsøge at redegøre for årsager til ludomani, inden for behaviorismen, eksistens psykologi og fysiologi, samt de moralske konsekvenser og helbredelsesmetoder.

Side 4

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

4

Jeg har brugt en kvalitativ tilgang til at gennemspille, kortspillet halv 12. Min kilde til matematikken er valgt på baggrund af bogens formidling af stoffet, og dets sværhedsgrad (Matematik B). Konkret om ludomani har jeg brugt den nyeste kilde der har været tilgængelig.

LUDOMANI.

HVAD ER LUDOMANI?^{1}

”På Sundhedsstyrelsens diagnoseliste (WHO ICD-10) er spillelidenskab defineret som en afhængighedstilstand, der er „karakteriseret ved hyppigt gentagne episoder af spillelidenskab, som dominerer personens liv på bekostning af sociale, arbejdsmæssige og familiemæssige værdier og forpligtelser"”

BEHAVIORISME.

De fleste vil nok komme til at tænke på Skinner eller Pavlov når der bliver nævnt behaviorismen.

Pavlov beviste at hunde er præget af betingede reaktioner, dette gælder også for mennesker. Dette kan knyttes til ludomani. Der tages udgangspunkt i

                                                                         2
effektloven, reaktioner som efterfølges af belønning (forstærkning) befæstes og indlæres . Så en person

der spiler på et kasino, for første gang i sit liv, bliver ikke nødvendigvis ludoman. Det er forskellige hændelser der påvirker forskellige person. F.eks. hvis en person vinder ”stort” første gang personen spiller, er der større sandsynlighed for at personen kommer tilbage, og bliver mere og mere afhængig af spillet. Hvorimod en person der har tabt den første gang, vil have mindre lyst til at vende tilbage, og spille igen.

Eksemplerne med de to personer der henholdsvis vinder og taber, er en god afspejling af effektloven.

Personen som vinder, har lært at personen får en gevinst (belønning) ved at spille. Denne situation indlæres og afprøves igen og igen. På et tidspunkt vil personen tabe, men viser sin adfærd, ud fra hvad

han/hun har tidligere har oplevet (altså at vinde). Derfor forsætter personen sit spil. Det er

sandsynligt at personen der har tabt en stor gevinst, mener den eneste løsning for at få det hele tilbage, er ved at vinde det tabte tilbage.

En heldbredningsmetode, set med behavioristiske synspunkter, kunne være at belønne den ønskede adfærd. Altså der skal ikke straffes, i form af negativitet og skænderi. Dog vil det være nødvendigt at

1

http://www.ludomani.dk/cms/index.php?hvad_er_ludomani_

2

http://www.psykologihuset.dk/behaviorisme.html

Side 5

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

5 trappe ned med spillet. Men set ud fra behavioristiske værdier, burde det være nok at værdsætte en anden adfærd. F.eks. kunne ludomanens kone værdsætte ludomanen, for at tilbringe tid sammen med hans familie.

EKSISTENS PSYKOLOGI.

Det primære hos eksistenspsykologien er at alle mennesker har friheden til at vælge sit eget liv. Derfor har de også muligheden for at præge sit eget livsindhold. Når man træffer et valg, tager man ansvar for sit liv og derved også sine handlinger. Dog kan det være angstfremkaldende at træffe valg og tage ansvar eftersom når man vælger, vælger man samtidig noget andet fra. Men hvis man indser dette ansvar, er man i stand til at skabe sit eget liv.

Hvis man derimod ikke vælger, vælger omgivelserne for os, og vi flyder bare med strømmen

(eksistentielt selvmord). Dette kan give en følelse af tomhed og meningsløshed, men også en snert af skyld og bitterhed over ikke at have valgt.

Dette kan have stor indflydelse på ludomaner. Set med eksistens psykologiens grundprincip, kan en

ludoman stoppe sin afhængighed lige når han/hun vil. Det kræver ”bare” at ludomanen træffer valget

om at stoppe. Hvis personen ikke tager dette valg, ønsker personen enten ikke at stoppe, eller vælger ikke at tage valget. Derfor kan der opstå denne tomhed, som kan føre problemet til at nyt stadie. Nogle

risikofaktorer hos ludomaner er nemlig tomhed/meningsløshed.^{3}

Men allerede før det har personen truffet et valg (bevidst valg), nemlig om at spille. Det er taget på godt og på ondt (det sociale aspekt og gevinst kontra afhængighed og tab). Når personen selv vælger at spille, er der en mulighed for at blive afhængig og at tabe, og der er ingen fortrydelse hvis dette

indtræffer - da personen allerede har gjort klart at han/hun har en mulighed for at blive afhængig og

tabe.

Nu er det jo ikke kun personens eget valg der har indflydelse på om personen udvikler ludomani,

                                                                    4
fortiden har også betydning. Nogle af risikofaktorerne for at udvikle ludomani er :

♠ En familiehistorie med problemer med alkohol, andre stemningsændrende midler, gambling eller overforbrug.

♥ Er blevet misbrugt som barn.

♦ Har lidt tab eller været udsat for større personlige ændringer (f.eks. dødsfald i familien, skilsmisse ect.)

3

Når spillet bliver alvor, Magnus Larusson, side 14, Risikofaktorer

Side 6

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

6

♣ Blevet påvirket af deres forældre som barn (f.eks. siddet på skødet af far, når han har haft pokeraften med vennerne)

Eksistens psykologien udelukker ikke at fortiden har indflydelse på personen. Men personen bestemmer selv, om fortiden skal bibeholde ”dens” magt, og stadig have indflydelse på personens liv.

Det er endnu et valg, der ”bare” skal tages.

Eksistens psykologiens bud på en helbredsmetode er enkelt ”bare” at træffe valget om at stoppe med spillet (acceptere sit problem).

FYSIOLOGI.

Den bio-fysiologiske forklaring på ludomani er at der en afhængighedssygdom, ligesom alkoholmisbrug. En del ludomaner har følelsen af at være to personer: Dr. Jekyll og Mr. Hyde.

Ludomanen kan nå til et stadie hvor han/hun ikke er klar over hvem der er den ”rigtige” personlighed

mere. Før i tiden har forskere været fokuseret på uhyret Mr. Hyde, som en ”ægte” person. Altså at Mr.

Hyde bryder frem engang i mellem, og gør alle de adfærdsforstyrrede hændelser som en ludoman gør.

Men tilhængere af ludomani som en sygdom, mener at Dr. Jekyll er den ”rigtige” personlighed, og Mr.

Hyde blot er en forvrængningsperson^{4}.

Uanset hvilken personlighed der er den ”ægte”, er forskerne enige om en ting: Når ludomanen vinder, sker der påvirkninger i hjernen. Det giver ligesom et ”kick”. Rent biologisk sker der det, at hjernen

                                                                             5
udløser dopamin (som er en neurotransmitter), dette stof kaldes også for belønningsstoffet . Det

bliver også udløst af andre ting, f.eks. sex, sport og indtagelse af alkohol – dog i mindre mængder.

Mængden af dopamin, der udløses hos en ludoman, er faktisk så kraftigt at det kan sammenlignes med den rus der kan fås af at tage kokain. Ludomanen bliver derfor ved med at opsøge det kick. Og ligesom narkomaner, skal der mere og mere til for at opleve samme rus. Ludomanen satser altså flere og flere

penge. Inden længe er kroppen og sjælen blevet så biologisk svækket, at de ”tjener” afhængigheden^{6}.

Ludomani som en sygdom svækker altså hjernen, det går ud over ludomanens:

♣ Motivation

♦ Beslutningstagen

♥ Selvbeherskelse

♠ Bearbejdelse af information

4

Når spillet bliver alvor, Magnus Larusson, side 20

5

http://ing.dk/artikel/77277-hjernen-vil-have--dopamin

6

Når spillet bliver alvor, Magnus Larusson, side 21

Side 7

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

7

♣ Indlæringen

Grunden til denne forskning i hjernen skyldes af forskerne ønsker at finde et middel eller en pille, som

                                   7                                              8
kan afvende folk med deres afhængighed. Lige nu findes der lykkepiller, som gives til afhængige.

BEGREBER OM SANDSYNLIGHEDSREGNING.

Vores hverdage er fuldt af tilfældigheder. Vi vil i de fleste tilfælde kunne beregne en sandsynlighed for en tilfældig hændelse, men vi kan ikke sige hvornår denne hændelse indtræffer:

F.eks. En terning har 6 sider. Disse sider er symmetriske, så alle udfaldene er lige sandsynlige, altså der

er en^{1}_{6} chance for at slå en femmer. Det betyder ikke at når tegningen er kastet 6 gange, så er der

indtruffet en femmer. Det er muligt at vi skal kaste tegningen 12 gange, men at der så indtræffer 2 femmer lige efter hinanden.

DE STORE TALS LOV

Til eksempelet ovenfor kan der tilføjes ”De store tals lov”:

”Jo flere gange, man udfører et eksperiment, desto mere nærmer den målte

                               9
frekvens sig udfaldets sandsynlighed.”

Hvilket vil sige: Jo flere gange et eksperiment er gennemført, jo tættere kommer det på den opstillede sandsynlighed, og jo mere troværdigt er det.

Hvis der skulle undersøges om terningen var asymmetrisk, altså at den f.eks. slog færre femmer end en

1

6

, skulle der bruges ”De store tals lov”. For at forsøget er gyldigt, skal terningen kastes optil 1000

gange (gerne flere). Hvis fordelingen af slagene ikke passer med ca.^{1}_{6}, vil der kunne konkluderes at

terningen er asymmetrisk.

SYMMETRISKE & ASYMMETRISKE SANDSYNLIGHEDSFELTER

I en roulette er der 37 felter, fra 0 til 36. Udover talværdierne, er felterne farvet i forskellige farver. Et er grønt, de resterende 36 felter, er skiftevis sort og rød (18 af hver).

7

Når spillet bliver alvor, Magnus Larusson, side 21

8

http://www.ugeskriftet.dk/portal/page/portal/LAEGERDK/UGESKRIFT_FOR_LAEGER/TIDLIGERE_NUMRE/20
02/UFL_2002_02/UFL__2002_02_38696

9

Vejen til Matematik B2, Knud Erik Hansen & Esper Fogh, side 127, sætning 1.5

Side 8

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

8

Tabel 1 kaldes også for et asymmetrisk sandsynlighedsfelt, da det viser sammenhængen mellem nogle udfald og deres sandsynlighed. Det er asymmetrisk eftersom de tre farver ikke har lige stor sandsynlighed. Læg mærke til at summen af alle sandsynlighederne er lig 1.

Tabel 1

Hvis der derimod tages udgangspunkt i roulettens tal, i stedet for farverne, kan der fremstilles et symmetrisk sandsynlighedsfelt (Tabel 2):

Udfald 1 2 3 … 37

Sandsynlighed …

1 1 1 1

37 37 37 37

Procent 2,7 % 2,7% 2,7% … 2,7%

Tabel 2

Som der kan ses ud fra tabellen, der er lige stort sandsynlighed for at kuglen lader på nr. 3 som der er for at den lader på nr. 37. Dette sandsynlighedsfelt er symmetrisk, eftersom alle udfaldene har lige stor sandsynlighed. Den generelle regel for symmetriske sandsynlighedsfelter er:

                                          1
n (antal) udfald, har hvert udfald sandsynligheden .
                                          𝑛

F.eks. i et symmetrisk kortspil er der 52 kort uden joker, der er chancen for at trække hjerter 5, er lige

så stor, som det er for at trække spar dame, nemlig_{52}^{1}.

Udfald Grøn Rød Sort

Sandsynlighed

1 18 18

37 37 37

Procent (sandsynligheden * 2,7% 48,6% 48,6%

100 %)

Side 9

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

9

UDFALDSRUM & HÆNDELSER

Antallet af alle udfald kaldes for udfaldsrummet, f.eks. for en terning er udfaldsrummet således:

𝑈={𝑢_{1},𝑢_{2},𝑢_{3},𝑢_{4},𝑢_{5},𝑢_{6}} da den har 6 mulige sider. Altså et sandsynlighedsfelt består af et

udfaldsrum U. Men det består også af en sandsynlighedsfunktion P:

P(u) har en værdi i mellem 0 og 1, i hvert af udfaldene. Tallet fortæller hvor sandsynligt udfaldet er.

Alle sandsynlighedsfunktionerne giver tilsammen 1: 𝑃 + 𝑃 + 𝑃 + ⋯+ 𝑃 =1
                                            1    2   3       𝑛

F.eks. der tages udgangspunkt i terningen igen, udfaldsrummet U blev defineret ovenover.

Sandsynlighedsfunktionen vil være:

     1             1                1
𝑃 =   =0,166,𝑃   =  =0,166,…,𝑃    =  =0,166 Alle sandsynlighederne til giver tilsammen 1.
 1             2                 6
     6             6                6

En hændelse er når et (eller flere) bestemte udfaldsrum indtræffer. F.eks. hvis der kastes med en

terningen, og lige øjne giver gevinst. Vi er altså interesseret i 𝑢 ,𝑢 ,𝑢 . Disse udfald kaldes en
                                                     2  4 6

hændelse H.

H er en delmængde af U. 𝐻={𝑢_{𝑝},𝑢_{𝑞},…𝑢_{𝑡}}. Sandsynligheden for at H

indtræffer, er summen af sandsynlighedsfunktionerne for u:

𝑃 ( 𝐻) =𝑃 ( 𝑢_{𝑝}),+ 𝑃 ( 𝑢_{𝑞}) + …+ 𝑃(𝑢_{𝑡})

For at vende tilbage til eksempelet med de lige antal øjne, så er H =𝑢_{2},𝑢_{4},𝑢_{6}. Sandsynligheden for at H

                                              1     1     1
indtræffer, er: 𝑃(𝐻) = 𝑃(𝑢 ) + 𝑃(𝑢 ) + 𝑃(𝑢 ) ≫ 𝑃( ) + 𝑃( ) + 𝑃( ) ≫ 0,5. Det er altså 0,5 eller
                        2      4       6
                                              6     6     6

50 % chance for at slå en 2’er, 4’er eller 6’er.

                                                                          1
Så i et symmetrisk sandsynlighedsfelt U, ved vi at n udfald vil have sandsynligheden P ( ). Samtidig vil
                                                                          𝑛

                                        𝑝
hændelsen H med p udfald, altså være 𝑃(𝐻) = . Dette udtryk kan omskrives til:
                                        𝑛

𝑃 ( 𝐻) =

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑

Med antal gunstige udfald menes der, de udfald hvor hændelsen H indtræffer.

Side 10

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

10

KOMBINATORIK.

Kombinatorik er en vigtig del af sandsynlighedsregning. Der tages udgangspunkt i et eksempel: Der er

6 hunde, der løber om kap. På hvor mange forskellige måder kan hundene komme i mål? Der vil være

6 hunde til at besætte 1 pladsen, derefter vil der kun være 5 hunde til 2. pladsen, 4 hunde til 3. pladsen o.s.v. Det kan skrives på denne måde:

6 ∗ 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1=720 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔ℎ𝑒𝑑𝑒𝑟

Denne formel er forholdsvis overskuelig, hvis der kun er så få tal. Men hvis der opereres med større tal, kan dette nemt blive besværligt at opskrive. Derfor er skrives det tit på denne måde: 6!

Men nu er det ikke i alle tilfælde der skal bruges alle deltagerne. Det kan f.eks. være vi skal tage 9 kort ud af en bunke på 52 kort. Dertil kan der bruges denne formel:

                                                          10
Antallet af r-mængder, der kan udtages fra en n-mængde, er givet ved:

𝐾 ( 𝑛,𝑟) =

𝑛!

𝑟! ∗ ( 𝑛 − 𝑟)!

Så n vil være den mængde vi tager noget (r) ud af, altså de 52 kort. n = 52. r er så den del vi tager ud af
mængden, altså 9. r = 9.

          52!
                         9
𝐾 ( 52,9 ) =  =3,679 ∗ 10 Så hvis der skal udtages 9 kort, fra en bunke på 52 kort, er der over 3,6
         9!∗43!

milliarder måde at gøre det på.

For at beregne sandsynligheder er formlen givet ved: 𝑃 ( 𝐻) =. Den formel kan tit

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 kombineres med K(n,r)-formlen:

F.eks. Hvis man spiller whist er det godt at have så mange klør på hånden som muligt. Hvad er

                                                      52!
                                                                    11
sandsynligheden for at få alle 13? Først beregnes 𝐾 ( 52,13 ) = =6,35 ∗ 10 . Nu kan
                                                    13!∗39!

                                                    −12
sandsynligheden udregnes: 𝑃 ( 13𝑘𝑙ø𝑟 ) =  =1,57∗ 10    . Så sandsynligheden for at få alle 13
                                    𝐾(52,13)

1 klør er altså 1,57 billiontedele.

Et andet tilfælde kan også være at kugletrækning. Der er 15 kugler i en pose, 9 røde og 6 blå, og der trækkes 5 kugler. Hvad er sandsynligheden for at der er trukket 3 røde og 2 blå?

10

Vejen til Matematik B2, Knud Erik Hansen & Esper Fogh, side 132, sætning 1.14

Side 11

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

11

                                                                        15!
Først regnes kombinationsmulighederne for at trække 5 kugler ud af 15, 𝐾 ( 15,5 ) = =3003.
                                                                       5!∗10!

Derefter regnes K(9,3) (der trækkes 3 røde ud af 9) og K(6,2) (der trækkes 2 blå ud af 6). Eftersom vi både skal have tre røde og to blå, skal K(9,3) og K(6,2) multipliceres med hinanden:

          9!
𝐾 ( 9,3 ) = =84,   𝐾 ( 6,2 ) = =15 𝐾   ( 9,3 ) ∗ 𝐾 ( 6,2 ) = 1260
         3!∗6!              2!∗4!

6!

Eftersom alle udfald er lige sandsynlige, kan formlen 𝑃 ( 𝐻) = bruges:

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑

       1260
𝑃 ( 𝐻 ) =  =0,41 Altså er der 41 % chance for at trække 3 røde og 2 blå kugler, ud af en pose
       3003

med 9 røde og 6 blå kugler.

STOKASTISK VARIABEL.

For en stokastisk variabel X, der kan antage n værdier t, t, t, …, t, med

1 2 3 n

                11
sandsynlighederne:

𝑃 ( 𝑋=𝑡_{1}) + 𝑃 ( 𝑋=𝑡_{2}) + 𝑃 ( 𝑋=𝑡_{3}) + ⋯+ 𝑃 ( 𝑋=𝑡_{𝑛})

er middelværdien defineret som vægtet gennemsnit af t-værdierne:

𝜇=𝐸 ( 𝑋) =∑𝑡 ∗ 𝑃 ( 𝑋=𝑡_{𝑖})

1 𝑛

𝑖=1

Der kan tages udgangspunkt i et eksempel: I et spil gives der gevinst alt efter hvilken slags kulør der trækkes. Gevinst kaldes for den stokastiske variabel. Værdierne ses på tabel 3.

Kulør Hjerter ♥ Klør ♣ Ruder ♦ Spar ♠

Gevinst (Stokastiske variabel) 40 20 5 10

Tabel 3

X, Y & Z bliver brugt som betegnelser for den stokastiske variabel. Hvis der trækkes en hjerter har den

                                                         1
værdien 40, og hvad er sandsynligheden så for det? : 𝑃 ( 𝑋=40 ) =
                                                         4

Så sandsynligheden for at X tager værdien 40, er en^{1}_{4}. Der kan også findes middelværdien (eller

gennemsnittet) for den stokastiske variabel:

𝜇 ( 𝑔𝑒𝑛𝑛𝑒𝑚𝑠𝑛𝑖𝑡) = 40 ∗^{1}_{4} + 20 ∗^{1}_{4} + 5 ∗^{1}_{4} + 10 ∗^{1}_{4} =18,75

11

Vejen til Matematik B2, Knud Erik Hansen & Esper Fogh, side 136, definition 2,4

Side 12

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

12

Så hvis indsatsen er på 20 kr., vil personen i gennemsnit tabe 1,25 kr. pr. spil.

UAFHÆNGIGE HÆNDELSER.

Som sagt er der^{1}_{6} sandsynlighed for at slå en femmer, med en terning. Men terninger kan ikke huske,

derfor er vore slag, ud af uafhængige hændelser.

Sandsynligheden for en kombination af uafhængige hændelser fås ved at gange

sandsynlighederne for de enkelte hændelser med hinanden^{12}

F.eks. Hvis der kastes med en terning og en mønt, hvad er sandsynligheden så for at slå en femmer

                             1 1   1
med terningen, og plat med mønten: ∗ =
                             6 2   12

TILBAGELÆGNING

Med tilbagelægning menes der at elementerne kan bruges igen og igen. F.eks. I et kortspil trækkes et kort, og kortet noteres, derefter lægges kortet tilbage i bunken igen, og bunken blandes. Det betyder at kortet stadig kan blive trukket.

Hvis der derimod spilles hjerterfri, hvor der gives kort ud til spillerne, når runden er færdig lægges, rundens kort væk. Dette spil er derfor uden tilbagelægning. Når kortene først er blevet brugt, kan de ikke blive trukket igen.

SPILLET HALV 12.

                        13
DEFINITION PÅ SPILLET HALV 12.

Der spilles med et kortspil med 52 kort – uden joker. 2-10 har samme værdi som kortet, billedekort har værdien ½, og es kan enten være 1 eller 11 (op til spilleren). Det glæder om at få 11½ eller komme så tæt på som muligt. 5 kort, der giver under 11½ betragtes automatisk som 11½. Hvis spiller eller dealer kommer over 11½ har personen tabt.

Dealeren giver spilleren 1 kort, det kan kun spilleren se. Nu er det op til spilleren om han/hun vil

vælge at stoppe eller fået et kort mere. Når spilleren vælger at stoppe, er det dealerens tur til at få kort.

Dealerens kort bliver lagt åbent på bordet. Hvis dealer og spillers kort har samme sum, vinder dealer automatisk.

12

Vejen til Matematik B2, Knud Erik Hansen & Esper Fogh, side 137, sætning 3,1

13

http://users.cybercity.dk/~bbb2011/spil/halv_12.htm

Side 13

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

13

Der spilles uden tilbagelægning. Spilleren får altid kort først. Så hvis spiller kommer over 11½, vinder dealer – uden at have fået nogle kort. De gamle kort bliver fjernet, og der gives kort igen til spiller.

Kulør har ingen betydning i dette spil. Hvis bunken når at blive opbrugt inden dealer har fået sin sidste tur, blandes kortene igen.

SANDSYNLIGHEDER.

Sandsynligheden for at få 11½, med to kort, i starten af et spil (52 kort), er 3,62 %:

Først beregnes der hvor mange kombinationer der kan udtrækkes 2 kort, fra et kortspil på 52 kort.

          52!
𝐾 ( 52,2 ) =  =1326 For at få 11½ med 2 kort, skal det ene kort være et billedekort og det
         2!∗50!

andet et es. Der beregnes hvor mange kombinationer der er for at trække et es ud af 4 kort (der er 4

                          4!
esser med i spillet). 𝐾 ( 4,1 ) = =4. Det andet kort skulle være et billedekort, der er 12 billedekort i
                         1!∗3!

                                                      12!
et spil (knægt, dame, konge i 4 forskellige kulører): 𝐾 ( 12,1 ) = =12. K(4,1) og K(12,1)
                                                     1!∗11!

multipliceres 𝐾=12 ∗ 4≫48. Sandsynlighedens beregnes: 𝑃 ( 11½ ) =  ≫     ≫0,0362 eller
                                                             𝐾(52,2) 1326

𝐾 48

3,62%.

Hvis der mere generelt skal regnes på sandsynlighederne, kan det være kompliceret at opstille en formel, da sandsynlighederne, afhænger af forskellige hændelser:

♣ Hvilke kort der er udgået

♠ Hvilket kort man sidder med på hånden

♥ Hvilket kort der ønskes for at opnå en hvis sum (enten 11 eller 11½)

Der gives et eksempel: Spiller sidder med hjerter 2, i starten af spillet. Der er altså 51 kort, der ikke er

                                                51!
blevet set, ud af de 51 skal der tages et kort: 𝐾 ( 52,1 ) = =51. For at få summen 11 (da det vil
                                               1!∗50!

kræve 3 kort at få 11½), skal spiller have en 9’er (den stokastiske variabel X). Der er 4 nier tilbage i

                                                4!
spillet, og ud af de 4 nier skal der trækkes en: 𝐾 ( 4,1 ) = =4. Sandsynligheden for at trække en 9’er
                                               1!∗3!

             51
er: 𝑃 ( 𝑋=9 ) = =0,078 ≫7,8 %
              4

Som der kan ses, er der ingen grund til at bruge K-formelen så længde det er et kort der tages ud af en

mængde. Der bruges i stedet for formelen: 𝑃 ( 𝐻) =.

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑

Så det er ikke sandsynligt at trække en 9’er, men det ville være uklogt ikke at få det næste kort. Derfor kan sandsynligheden for at få 11 eller under beregnes:

𝑃 ( 𝑋≤11) =𝑃 ( 2) + 𝑃 ( 3) + 𝑃 ( 4) + 𝑃 ( 5) + 𝑃 ( 6) + 𝑃 ( 7) + 𝑃 ( 8) + 𝑃 ( 9) + 𝑃 ( 𝑒𝑠) + 𝑃 ( 𝑏𝑖𝑙𝑙𝑒𝑑𝑒𝑘𝑜𝑟𝑡)

Side 14

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

14

𝑃 ( 𝑋≤11) = + + + + + + + + + =0,92≫92%

3 4 4 4 4 4 4 4 4 12

51 51 51 51 51 51 51 51 51 51

Der er 92% chance for at trække et kort, der sammen med 2’eren ikke giver over 11. Så længde der

ikke er udgået nogen kort, vil sandsynlighederne være_{52}^{4} da der er 4 af hvert tal, og 52 kort.

                                  12
Billedkortene er den eneste undtagelse:
                                  52

. Men lige så snart et kort er udgået, skal de 52 kort ændres til 51,50,49…, 1. Og hver talværdi ændres, hvis en 8’er udgår, er der kun tre 8’er tilbage i spillet.

Der kan til dels opstilles en generel formel:

Antal resterende kort:

2’er = a 5’er = d 8’er = g es = j
3’er = b 6’er = e 9’er = h billedekort = k
4’er = c 7’er = f 10’er = i kort = n

Tabel 4

𝑃 ( 𝑋≤11½) = () ∗ 100

𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃() +

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃()

𝑔 ℎ 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛

Se talværdierne i tabel 4. Formlen skal stadig vurderes, om der kan bruges hvilket som helst kort for at opnå halv 12. Hvis spiller sidder med en 5’er på hånden, skal der bruges 6 eller derunder for at få under 11.

EMPIRISK EKSEMPEL.

Se bilag 1, for resultaterne af spillet halv 12. Spiller og dealer har valgt at stoppe, hvis sandsynligheden var under 50 %, for at næste kort gav 11½ eller under. Sandsynlighederne kort for kort er beregnet, både for spiller og dealer, se bilag 2 og bilag 3. Der tages et eksempel ud, Runde 5:

Spiller har fået et billedekort (værdi = ½). For at spiller kan opnå 11½, skal spiller få et es. Der er

udgået to 2’er, en 3’er, en 4’er, tre 5’er, to 6’er, en 8’er, en 9’er, en 10’er, to esser, og tre billedekort

(inkl. det billedekort spiller selv sidder med), i alt er der 17 kort udgået, så der er 35 kort tilbage. To af esserne er udgået. Sandsynligheden for at trækkes et es er altså:

𝑃 ( 𝑋=𝑒𝑠) = ∗ 100=5,7%

2

35

Chancen for at trække et kort der sammen med billedkortet giver 11½ eller mindre:

Side 15

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

15

𝑃 ( 𝑋≤11½) = () ∗ 100=100%

𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃() +

2 3 3 1 2 4

35 35 35 35 35 35

𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃() + 𝑃()

3 3 3 2 9

35 35 35 35 35

Resultatet stemmer overens med praksis, det er nemlig lige meget hvilket kort der bliver trukket så vil

det sammen med billedkortet, give ≤11½.

Næste kort spiller trækker er en 10’er. Spiller har nu 10½, det eneste kort der skal trækkes er et es.

                                                     2
Der er nu 34 kort tilbage i bunken og stadig 2 esser: 𝑃 ( 𝑋=𝑒𝑠 ) = =5,88%
                                                    34

Hvis der derimod skal trækkes et kort som giver ≤ 11½, skal det være et billedekort eller et es:

𝑃 ( 𝑋≤11½) = ( 𝑃(𝑒𝑠)() + 𝑃(𝑏.𝑘𝑜𝑟𝑡)()) ∗ 100=29,41%

2 8

34 34

Det er under de 50% som var tommelfingerreglen. Spiller vælger derfor at stoppe. Dealer får en 8’er.

                                                                              3
For at få 11, skal dealer få en 3’er. Der er tre 3’er tilbage i bunken med 33 kort: 𝑃 ( 𝑋=3 ) = =9,09%
                                                                             33

Chancen for at dealer for et kort der tilsammen med 8’eren, giver ≤ 11½ er:

𝑃 ( 𝑋≤11½) = ( 𝑃(2′𝑒𝑟)() + 𝑃(3′𝑒𝑟)() + 𝑃(𝑒𝑠)() + 𝑃(𝑏.𝑘𝑜𝑟𝑡)()) ∗ 100=48,48%

3 3 2 8

33 33 33 33

Da det er under de 50%, vælger dealer at stoppe. Spiller havde 10½ og dealer 8, så spiller vinder.

Eftersom hele spillet er baseret på tilfældigheder kan det være svært at sige om spiller og dealer vinder over tid. Men eftersom spiller får kort først, har spiller altså flere kort der ikke kendes. Hvis spiller kommer over halv 12, har dealer vundet – det betyder at dealer altid har den fordel.

LUDOMANIS KONSEKVENSER.

Ud over de økonomiske konsekvenser, er der også nogle andre aspekter. Ludomanien går ikke kun ud over ludomanen selv, men også de pårørende. Tilliden til ludomanen brister. Hvis ludomanen har spillet mange penge væk, inden familien får kendskab til problemet, kommer det tit som et kæmpe chok for familien, som mister tilliden til ludomanen. Det kan ende i skilsmisse, salg af hus og endda kriminalitet i sidste ende.

Ludomanen selv kan blive vred og frustreret over hans/hendes opførelse, ikke mindst over for familie,

men også for venner og kollegaer. Det er muligt at ludomanen ikke kun har brugt familiens penge, men

Side 16

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

16 også har lånt af venner. Derved er der endnu flere mennesker i ludomanens liv, der ikke har tillid til

ham/hende.

Ludomanen kan få en angsttilstand, hvor han/hun begynder at tvivle på sin egen sunde fornuft. Det
kan faktisk blive så alvorligt at ludomanen, begynder at hade sig selv, og hvis han/hende har lavt
selvværd, kan det til sidst, ende med i selvmord.^{14}^{,}^{15}

FOKUS PÅ BØRNENE.

Hvis der er børn i ludomanens liv, kan det påvirke børnene på en lidt anden måde en de andre

pårørende. Børnene kan blive nedtrykt og føle sig forsømt. De tror selv at de er skyld i faren/morens

spille-problemer – og at problemerne er opstået fordi barnet ikke har været ”god nok”. Med det ansvar børnene tillægger sig selv, opstår der meget nemt stress. Nogle børn vælger at flytte fokus fra forældrenes problemer, ved selv at blive afhængige, hvad enten om det er alkohol, cigaretter eller spil.

KONKLUSION.

Jeg har undersøgt årsagerne for ludomani og fundet ud af der er nogle bestemte risikofaktorer, f.eks.

hvis ludomanen har vundet stort i starten af sit misbrug. Jeg kan konkludere en god helbredelsesmetode vil være en kombination af eksistens psykologien, behaviorismen og fysiologien.

Hvis eksistens psykologien bruges til at træffe valget om at stoppe ludomanien, kan behaviorismen bruges til at fremme den ønskede adfærd. F.eks. konen til ludomanien, fortæller ludomanen at det er rart at han ikke bruger penge på spillet mere, eller hun siger der er rart han bruger tid sammen med familien. Så hun fremmer den ønskede adfærd. For nogle mennesker er dette dog ikke nok, derfor skal fysiologien bruges. Der kan tages lykkepiller imod afhængighedsproblemet.

Jeg har desuden undersøgt de matematiske aspekter i sandsynlighedsregning. Ud fra denne viden jeg har opstillet en generelt formel. Denne formel kan beregne sandsynligheden for at næste kort, i et spil kort giver 11½ eller der under. Jeg har gennemspillet kortspillet halv 12 og beregnet sandsynlighederne for at næste kort vil give 11½ eller der under. På trods af de beregnede resultater er intet sikkert. Det er ikke altid sandsynligheden stemmer over ens med praksis.

Jeg kan konkludere at ludomani ikke kun påvirker ludomanen selv, men også de pårørende og ikke mindst børnene, som kan få evige mén.

14

Når spillet bliver alvor, Magnus Larusson, side 96-97.

15

http://www.ludomani.dk/cms/index.php?id=48,0,0,1,0,0 , punkt 5

Side 17

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

17

KILDELISTE.

Ludomani. http://www.ludomani.dk/cms/index.php?hvad_er_ludomani

Behaviorisme: http://www.psykologihuset.dk/behaviorisme.html

Eksistens Psykologi: http://www.liv.dk/under/index.asp?tID=54

http://www.liv.dk/under/psyk/pdf/psy16.pdf

Fysiologi: Når spillet bliver alvor, Magnus Larusson, side 19-21

http://ing.dk/artikel/77277-hjernen-vil-have--dopamin

http://www.ugeskriftet.dk/portal/page/portal/LAEGERDK/
UGESKRIFT_FOR_LAEGER/TIDLIGERE_NUMRE/2002/UFL_2
002_02/UFL__2002_02_38696

Begreber om sandsynlighedsregning. Vejen til Matematik B2, Knud Erik Nielsen, Esper Fogh, side 123-137

Ludomanis Konsekvenser Når spillet bliver alvor, Magnus Larusson.

http://www.ludomani.dk/cms/index.php?id=48,0,0,1,0,0

Fokus på børnene Når spillet bliver alvor, Magnus Larusson, side 67

Side 18

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

18

BILAG.

BILAG 1

Spiller Dealer Spiller Dealer

1.Runde es knægt 9.runde knægt es

5 | dame
5 | 3

vinder | knægt

2.Runde 3 4 6 es 9 vinder dame 10.runde 7

5 | dame
vinder | 5

3.Runde 6 vinder

8 11.runde 4

vinder | konge

4.runde 10 6 8 konge vinder

2 12.

runde vinder 9 konge

5.runde konge 8 9

10 vinder vinder 13.runde 6 8

6.runde 3 knægt

10 | 2

vinder | vinder

7.runde es 10 14.runde 4

vinder | 9

8.runde 3 7 vinder

7 2 15. 7 dame runde vinder 4 2

9 vinder

Side 19

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

19

BILAG 2.

Spillers sandsynligheder:

SPILLER

CHANCE FOR AT FÅ 11 / 11½ CHANCE FOR AT FÅ ≤ 11½

1.Runde es 23,5% for et billedekort 23,5% for et billedekort

2.runde

3

8,5 % for at få 8

82,97% for at få 2-8, es eller billedekort es

8,7% for at få 7

73,9 for at få 2-7, es eller billedekort dame

8,8% for at få 7

73,3 % for at få 2-7, es eller billedekort

5

9,09 for at få 2

36,36% for at få 2, es eller billedekort

3. runde

6

2,4% for at få 5

56,0% for at få 2-5, es eller billedekort

8 Spiller har tabt

4. runde

10

5,12% for at få es

30,76% for at få es eller billedekort

5. runde konge

5,7% for at få es

100% for at få 2-10, es eller billedekort

10

5,88% for at få es

29,41% for at få es eller billedekort

6. runde

3

6,25% for at få 8

84,37% for at få 2-8, es eller billedekort

10 Spiller har tabt

7. runde es

26,66% for at få billedekort

26,66% for at få billedekort

8. runde

3

7,14% for at få 8

89,28% for at få 2-8, es eller billedekort

7

3,7% for at få es

33,33% for at få es eller billedekort

Side 20

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

20

9. runde knægt

4,1% for at få es

100% for at få 2-10, es eller billedekort

dame 0% for at få 10 / 13 % for at 100% for at få 2-10, es eller billedekort

få 9

3

9,09% for at få 7

77,27% for at få 2-7, es eller billedekort knægt

9,52% for at få 7

76,19% for at få 2-7, es eller billedekort

6

5% for at få es

30% for at få es eller billedekort

10 runde

7

16,6% for at få 4

55,56% for at få 2-4, es eller billedekort dame

17,64% for at få 4

52,94% for at få 2-4, es eller billedekort

5 | Spiller har tabt

11 runde

4

6,6% for at få 7

66,67% for at få 2-7, es eller billedekort konge

7,14% for at få 7

64,28% for at få 2-7, es eller billedekort

8 | Spiller har tabt

12 runde

9

16,6% for at få 2

41,66% for for at få 2, es eller billedekort

13. runde

6 0% for 5 / 22,22% for at få 66,66% for at få 2-5, es eller billedekort

4

knægt 0% for 5 / 25% for at få 4 62,5% for at få 2-5, es eller billedekort
2 0% for 3 / 14,28% for at få 28,57% for at få 2, es eller billedekort

2

14. runde

4

20% for at få 7

80% for at få 2-7, es eller billedekort

9 | Spiller har tabt

15. runde

7

33,33% for at få 4

100% for at få 2-4, es eller billedekort

4

50% for at få billedekort

50% for at få billedekort

Side 21

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

21

BILAG 3

DEALER

CHANCE FOR AT FÅ 11 / 11½ CHANCE FOR AT FÅ ≤ 11½

1.

runde knægt

6% for at få es

100% for at få 2-10, es eller billedekort

5

8,16 % chance for at få 6

61,225% for at få 2-5, es eller billedekort

5

6,25 % for at få es

6,47% for at få es eller billedekort

2.

runde

4

9,3 % for at få 7

72,09% for at få 2-7, es eller billedekort

9 Dealer har tabt

3.

runde

Spiller kom over 11½

4.

runde

6

2,63 % for at få 5

60,52% for at få 2-5, es eller billedekort konge

2,7 % for at få 5

59,45% for at få 2-5, es eller billedekort

2

8,33% for at få 3

44,44% for at få 2-3, es eller billedekort

5.

runde

8

9,09 % for at få 3

48,48% for at få 2,3, es eller billedekort

6.

runde

Spiller kom over 11½

7.

runde

10

3,4% for at få es

31,03 % for at få es eller billedekort

8.

Side 22

LUDOMANI

Rikke

Sønderup

22 runde

7

11,53% for at få 4

61,53% for at få 2-4, es eller billedekort

2

8% for at få 2

44% for at få 2, es eller billedekort

9.

runde es

26,31% for at få billedekort

26,31% for at få billedekort

10. runde

Spiller kom over 11½

11. runde

Spiller kom over 11½

12. runde

konge 0% for at få es & 10 / 18,18% for at 100% for at få 2-10, es eller billedekort

få 9

9

20% for at få 2

40% for at få for at få 2, es eller billedekort

13. runde

8 0% for at få 3 / 16,66% for at få 2 33,33% for at få 2, es eller billedekort

14. runde

Spiller kom over 11½

15. runde dame

100% for at få 2

100 % for at få 2

2

8% for at få 9

92 % for at få 2-9, es eller billedekort

9

Grunden til at der er 8 % chance for at få 9, og 92 % for at trække 2-9, es eller billedekort, er at kortene er blandet igen.