SRP om bayes formel og retsgenetik i Matematik A og Bioteknologi A

Side 1

[navn fjernet] 3.z

Roskilde Katedralskole 2015/16

Brug af bayesiansk sandsynlighedsregning til bedømmelse af DNA‒materiales vægt i retssager

Studieretningsprojekt i fagene bioteknologi A og matematik A

Vejledere

Bioteknologi A

Matematik A

Opgaveformulering. Hvordan kan statistiske tests bruges i retsvidenskab?

I forbindelse med retssager bliver begrebet DNA-test ofte nævnt som metode til at afsløre eller frifinde en potentiel gerningsmand. Grundet populationsvariationer kan bevisførelsen være behæftet med en usikkerhed, som man via statistiske tests prøver at eliminere.

Introducer sandsynlighedsfelt, sandsynlighedsberegninger samt betinget sandsynlighed. Gør rede for Bayes formel. Giv en detaljeret beskrivelse af hvilke bioteknologiske tests der kan benyttes. Forklar metoden ved den mest anvendte test, gør herunder rede for fordele og ulemper du ser ved metoden.

Vurder betydningen af sammenkædningen af sandsynlighedsberegninger og bioteknologiske tests, for den retslige bevisførelse. Inddrag herunder gerne konkrete eksempler.

Side 2

[navn fjernet] 3.z

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 2 af 25

Abstract

This paper examines the use of Bayesian probability as a tool to estimate the weight of DNA-profiles as evidence in legal cases. The purpose of the paper is to investigate different aspects of Bayes theorem, as well as how Bayesian statistics can be used to avoid judgemental errors in court. Knowledge of fre-quently used methods for forensic DNA-analysis, as well as considerable sources of error involved with these methods, is used when applying Bayes theorem to case examples, in order to show how the sources of error can be diminished with probability calculus. Likelihood ratios and Bayes theorem on odds form are applied to a case example to show how the evidence for and against the guilt of a suspect can be weighed against one another. The paper discusses how incorrect use of conditional probability calculus can dramatically affect the fate of the accused in a legal case, the degree to which probability calculus can be used responsibly in legal cases, and how probability calculus used in forensic work is able to nuance the information extracted from DNA-material. It is concluded that statistical tests can be used in forensics as long as they include both conditional and unconditional probabilities, as well as that it is important to use the statistical tests with care. This can be done by maintaining an objective stand-point, and by including all evidence as well as the possible errors surrounding it, in the calculations.

Side 3

[navn fjernet] 3.z

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 3 af 25

Indholdsfortegnelse

Abstract .............................................................................................................................................................................................. 2 Indholdsfortegnelse ...................................................................................................................................................................... 3 Indledning ......................................................................................................................................................................................... 4 DNA ...................................................................................................................................................................................................... 5 Retsgenetisk DNA-analyse ................................................................................................................................................ 6 Short Tandem Repeat og PCR .......................................................................................................................................... 7 Kilder til arvemateriale på et gerningssted ............................................................................................................... 8 Populationsvariationer ...................................................................................................................................................... 9 Sandsynlighed ............................................................................................................................................................................... 10 Uafhængige hændelser .................................................................................................................................................... 10 Betinget sandsynlighed ................................................................................................................................................... 11 Bayes formel ........................................................................................................................................................................ 11 Totalsandsynligheden og Bayes udvidede formel ............................................................................................... 12 A priori og a posteriori sandsynligheder ................................................................................................................. 13 Anvendelse i retslig bevisførelse ................................................................................................................................. 14 Sandsynlighedsforhold .................................................................................................................................................... 16 Fejlslutninger i retssager ......................................................................................................................................................... 18 The prosecutor’s fallacy .................................................................................................................................................. 18 The defendant’s fallacy .................................................................................................................................................... 19 The uniqueness fallacy .................................................................................................................................................... 19 Retssagen mod Denis Adams i 1996 .......................................................................................................................... 19 Sandsynlighedsberegningers påvirkning af DNA-materialets vægt i retssager ...................................... 20 Konklusion ..................................................................................................................................................................................... 22 Referencer ...................................................................................................................................................................................... 23 Bilag .................................................................................................................................................................................................. 25 Bilag 1 – STR-analyse ....................................................................................................................................................... 25

Side 4

[navn fjernet] 3.z

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 4 af 25

Indledning

DNA-materiale fundet i forbindelse med forbrydelser gjorde sit indtog som bevismateriale i retssager i

1980’erne, og har siden da ofte været ”tungen på vægtskålen” i sager, hvor få eller ingen beviser ellers

har peget på den tiltalte som værende skyldig i forbrydelsen^{1}. Dette hænger sammen med den sikker-

hed, som DNA-profiler menes at besidde. Det er almen viden, at det menneskelige genom er lige så unikt som vores fingeraftryk, og at kun en håndfuld personer i verden deler selv en DNA-profil, der er baseret på en sammensætning af få alleler. Når disse dogmer runger er det klart, at fundet af en DNA-profil i forbindelse med en forbrydelse gør, at personen, hvis DNA-profil matcher denne, ofte bliver dømt skyl-dig.

Det faktum, der ikke overvejes lige så grundigt som den tiltaltes skyldighed, er, at rigtig mange ting kan gå galt i DNA-analyse, og som resultat kan påvirke DNA-materialets vægt i retssager. Vægten af DNA-profiler baseres på øvrige beviser – beviser, der modsiger DNA-materialet skal naturligvis tillægges modvægt til dette - samt matchfrekvensen, som er den frekvens, hvormed DNA-profilen menes at kunne findes i den relevante population. En forkert matchfrekvens og en forkert vægt tillagt de øvrige beviser kan føre til en alvorlig fejlbedømmelse af den mistænktes skyldighed.

Sandsynlighedsregning er et værktøj, som kan anvendes til at mindske denne fejlbedømmelse. Med betingede sandsynligheder kan den mistænktes skyldighed revideres efter fund af DNA-materiale i forbindelse med forbrydelsen, eller ved medtagelse af øvrige beviser, og således forhindre at mistænk-tes skyldighed bliver fejlvurderet. Jeg har valgt at arbejde med, hvordan sandsynlighedsregning kan og bør anvendes i retslig bevisførelse, fordi jeg gerne vil belyse, hvordan sandsynlighedsregning kan tyde-liggøre de logiske konklusioner, som mennesket selv gør sig når præsenteret med bevismateriale i form af tal, samt hvordan en nuanceret behandling af disse tal kan hjælpe med at undgå, at logiske fejlslutninger bliver begået i situationer, som et menneskes fremtid kan afhænge af.

Indledningsvist vil jeg beskrive DNA’s sammensætning samt de metoder, der anvendes til DNA-analyse.

Her belyses også fejlkilder i forbindelse med metoderne, da disse spiller en central rolle i fejlvurderingen af den mistænktes skyldighed. Jeg introducerer derefter centrale begreber i forbindelse med sand-synlighed, og Bayes formel præsenteres som værktøj til revidering af vægten af et DNA-match mellem den mistænkte og DNA-materiale fundet i forbindelse med forbrydelsen. Afslutningsvist vurderes sandsynlighedsberegningers påvirkning af DNA-materiales vægt i retssager. Herunder sammenlignes forskellige typer logiske fejlslutninger, som kan forekomme når sandsynlighed bliver formidlet med ord i stedet for tal, og bayesiansk sandsynlighedsregning anvendes til at eksemplificere den påvirkning, beregningerne kan have på opfattelsen af den mistænktes skyldighed.

1

Morling (2010)

Side 5

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 5 af 25

DNA

DNA er en forkortelse af deoxyribonucleic acid, og indeholder cellens genetiske kode. I menneskekrop-pens celler findes DNA derfor i kromosomerne i nucleus. DNA-molekylet er opbygget af to lange strenge, som skiftevis består af deoxyribose og phosphat. På carbonatom nr. 1 på deoxyribosemolekylerne er der bundet en af de fire nitrogenholdige baser adenin, thymin, guanin og cytosin. En enhed bestående af deoxyribose, en phosphatgruppe og en base kaldes et nucleotid, og der findes fire af disse i overensstem-melse med det antal baser, der kan varieres i nucleotidet. De fem carbonatomer i deoxyribose navngives sådan, at 1’ er det, hvorpå basen sidder. Phosphatgrupperne er bundet til 3’ og 5’ carbonatomerne i deoxyribose. Enderne i DNA-molekylets strenge benævnes derfor 5’- og 3’-enden. De to DNA-strenge er antiparallelle, hvilket betyder at den ene DNA-streng løber fra 5’- til 3’-enden, mens den komple-

mentære streng løber fra 3’- til 5’-enden^{2}.

Figur 1^{3}: opbygningen af et DNA-

molekyle samt nucleotider.

Den genotypiske information i DNA-molekylet er opdelt i locus, som er specifikke steder på DNA-mole-kylet, hvor basesekvenserne hver især koder for et RNA-molekyle. Bortset fra de kodende dele af DNA-molekylet findes der også sekvenser, der kontrollerer aflæsningen af de kodende sekvenser. Disse sekvenser kaldes promotorer og terminatorer, og giver information til tre enzymer under det fælles menneskets DNA menes at bestå af kodende sekvenser. Den resterende del består af repeterede

sekvenser af varierende længde. Disse sekvenser varierer hos mennesker i både sekvens og længde^{4}.

Mikrosatellitter er DNA-sekvenser karakteriseret ved flere gentagelser af en bestemt basesekvens, ofte bestående af 2-4 basepar. Disse sekvenser betegnes også STR-sekvenser, hvor STR står for Short Tandem Repeat. De befinder sig oftest i den ikke-kodende del af DNA-molekylets basesekvens. Da antal gentagelser af basesekvenserne varierer hos mennesker, karakteriserer STR-sekvenserne en bestemt

persons arvemasse meget nøjagtigt^{5}.

2

Bruun m.fl. (2011)

3

Steffensen (2014)

4

Nielsen m.fl. (2013)

5

Nørby (2015)

Side 6

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 6 af 25

Retsgenetisk DNA-analyse

Når en gerningsmand skal findes til en forbrydelse, hvor der findes DNA-materiale på gerningsstedet eller objekter forbundet til forbrydelsen, kan DNA-analyse bruges til at finde ud af, hvem der har afgivet DNA-materialet på gerningsstedet eller objektet. Dette er nyttigt da sandsynligheden for, at en mistænkt er gerningsmanden, forøges markant hvis den mistænkte har befundet sig på gerningsstedet omkring tidspunktet for forbrydelsen, eller haft kontakt til et objekt forbundet til forbrydelsen. DNA-materialet kan sammenlignes med den mistænktes DNA-materiale eller med DNA-materiale i en database. Hvis et match forekommer, vurderes vægten af dette med en matchfrekvens, som er frekvensen, hvormed DNA-profilen forventes at forekomme i populationen. Fundet af personens DNA på gerningsstedet eller objektet gør, at sandsynligheden for personen som værende skyldig i forbrydelsen kan stige markant.

Stigningen er også afhængig af andet bevismateriale, samt personens alibi.

Der findes flere metoder til DNA-analyse. I metoden kaldet Restriction Fragment Length Polymorphism, forkortet RFLP, anvendes restriktionsenzymer til at klippe DNA-molekylet de steder, hvor bestemte basesekvenser forekommer. Længderne af de klippede DNA-fragmenter, kaldet variable number tandem repeat (VNTR)-sekvenser, fra den mistænkte, sammenlignes med VNTR-sekvenserne fra det DNA, der findes på gerningsstedet eller objektet. VNTR-sekvenser varierer meget i den menneskelige population, og bruges derfor til identifikation. Den mistænktes DNA og DNA-materialet fra gernings-stedet eller objektet klippes med samme restriktionsenzymer. Hvis den mistænktes DNA og DNA-materialet fra gerningsstedet eller objektet stammer fra samme person, vil enzymerne klippe DNA-sekvensen på samme måde. Ved gelelektroforese fordeler DNA-fragmenterne sig på gelen efter stør-relse. DNA-fragmenterne vises som pletter på gelen, synliggjort med prober. Hvis VNTR-sekvenserne fra den mistænkte og DNA-materialet fra gerningsstedet eller objektet fordeles ens på gelen, stammer

prøverne fra samme person^{6}. RFLP-metoden tager lang tid og kræver store mængder DNA-materiale,

da metodens sikkerhed afhænger af antal VNTR-sekvenser. Metoden er i dag erstattet af andre metoder.

Single nucleotide polymorphism (SNP) er enkelte basepar i genomet, der varierer inden for en popu-lation. SNP skal som en regel forekomme i mindst 1% af populationen. På grund af, at SNP kun består af et enkelt basepar, forekommer der utrolig mange i genomet [7]. En SNP-analyse foregår ved, at prober blandes i opløsninger med de DNA-sekvenser, man undersøger. Proben, der binder til DNA-sekvensen, har den komplementære basesekvens. Hvis to prober, hvor en af baserne er adenin i en probe og cytosin i den anden, binder til samme loci i

DNA-materiale fra forskellige personer bety-der det, at en base i den undersøgte sekvens fra de to personer varierer, og dermed er en SNP.

Figur 2^{7}: skematisk repræsentation af SNP analyse fore-

taget på DNA chip. Hver kolonne på DNA chippen tilsættes et sæt med fire prober, der kun differerer med én base.

Kun én af proberne i hver kolonne kan altså påsætte sig

DNA-sekvensen, der undersøges. I A. kortlægges to baser, mens i der B. undersøges SNP på basen, som er ændret fra thymin til cytosin.

6

EDVOTEK (2014)

7

Jehan (2006)

Side 7

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 7 af 25

Short Tandem Repeat og PCR

Den mest brugte metode til analyse af DNA-materiale i retsgenetisk arbejde er STR-metoden^{8}. Prin-

cippet i metoden er at sammenligne specifikke loci på DNA fra forskellige prøver. Et short tandem repeat

(STR) er en mikrosatellit, som består af en sekvens på mellem to og syv basepar, der er gentaget mange gange i træk. I en STR-analyse undersøges det eksakte antal gentage basesekvenser i STR-sekvensen.

Det menneskelige genom indeholder mange STR-sekvenser, men kun en lille mængde loci er blevet udvalgt specifikt til brug i retsgenetisk DNA-analyse. Ved at alle DNA-analyser foretages på samme loci, er det let at sammenligne informationer om frekvensen hvormed forskellige STR-sekvenser forekom-mer. I bilag 1 vises det, hvordan den mistænktes DNA sammenlignes med DNA fra gerningsstedet ved STR-analyse. Metoden adskiller sig fra RFLP-analyse ved, at man ved STR-analyse ikke klipper DNA-materialet med restriktionsenzymer. I stedet sættes der prober på DNA-molekylet, der markerer valgte

loci, og disse sekvenser opformeres med PCR^{9}.

En ulempe ved STR-metoden er, at der på elektroferogrammer fra analyserne ofte forekommer stutter peaks, der som navnet antyder danner ”ekko” omkring faktiske peaks, der repræsenterer mængden af en replikeret STR-sekvens. Stutter peaks dannes ved replikation af en STR-sekvens, der er få basepar anderledes end den STR-sekvens, der danner den rigtige peak. Replikationen af denne kan skyldes, at

der er sket en fejl i DNA-polymerases aflæsning af STR-sekvensen når replikationen har fundet sted^{10}.

Figur 3^{11}: viser stutter

peaks på elektroferog-ram.

En low copy number (LCN) DNA-analyse forløber på samme måde som STR-metoden, men i LCN er antal PCR cyklusser højere. Metoden kan benyttes til analyse af meget mindre mængder DNA-materiale end STR. Dette er en fordel i retssager, hvor bevismaterialet består af delvist nedbrudt eller små mængder DNA. Det betyder dog også, at metoden er mere usikker end STR, da der ved analyse af mindre mængder DNA-materiale er større sandsynlighed for, at kontamination af materialet påvirker resultatet af analy-sen. Opformeringen af DNA-materialet med PCR bevirker, at kontamination, enten i form af arvema-teriale fra andre end den formodede gerningsmand eller i form af replikationsfejl i PCR-cyklusserne, også bliver opformeret. Hvis kontamination i form af arvemateriale fra andre end den formodede gerningsmand forekommer, vil sandsynligheden for false-positives forøges markant, da den færdige

                                          12
DNA-profil vil være fra flere forskellige personer

. Kontaminationen vil udgøre en større andel af det opformerede materiale end ved STR, siden mængden af DNA-materiale fra gerningsmanden er mindre.

Stutter peaks vil desuden være større på et LCN-elektroferogram end på et STR-elektroferogram. Når den oprindelige mængde af arvemateriale er meget lille, og replikationsfejl forekommer i de tidlige PCR cyklusser, vil fejl-sekvenserne udgøre en stor del af det materiale, der replikeres i de næste cyklusser.

Stutter peaks kan på denne måde blive lige så høje som de rigtige peaks.

8

Cowell m.fl. (2014)

9

Butler (2007)

10

Walsh (1996)

11

Forensic Bioinformatics (2015)

12

McCartney (2008)

Side 8

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 8 af 25

SNP-analysen tidligere beskrevet eliminerer fejlkilden med stutter peaks^{13}. Her er størrelsesbaseret

differentiering af DNA-stykker ikke nødvendig. Til gengæld påvirkes SNP-analyse mere end STR ved kontamination. Her kan man ikke på samme måde se forskel på kontamination og det DNA-materiale, der ønskes undersøgt, da samme SNP med høj sandsynlighed forekommer både i det oprindelige DNA-materiale og i kontaminationsmaterialet. Dette hænger sammen med, at en SNP minimum forekommer i 1% af populationen. På et STR-elektroferogram kan man estimere antallet af personer, som DNA-sek-venserne stammer fra, og nogle gange kan man se forskel på kontamination og de ønskede amplif-

ikationer ved, at peaks fra kontaminationerne ikke er lige så høje som de andre peaks^{14}.

Kilder til arvemateriale på et gerningssted

Man kan tilskrive de måder, hvorpå arvemateriale efterlades på et gerningssted, til syv store kilder: blod, cigaretskodder, spyt, tyggegummi, hår, sæd og celler. Den sidste kilde indbefatter arvemateriale, ofte fra hudens overflade, der ikke passer ind under de andre kategorier – dette materiale kunne eksistere på overflader, som man mener, at gerningsmanden har haft hudkontakt med, men hvor dette ikke kan ses [15].

Blod som kilde til DNA-materiale vægter naturligvis tungere end de andre kilder, når kilden findes alene

(som den eneste kilde til DNA-materiale) på gerningsstedet, da blod anses som den efterladenskab, der med mindst sandsynlighed ender på gerningsstedet ved et tilfælde. Hvis tyggegummi med arvemateriale fra den mistænkte findes alene på et gerningssted kan der argumenteres for, at den mistænkte tilfæl-digvis spyttede tyggegummiet ud, da personen gik forbi gerningsstedet. Cigaretskodder med arvemate-riale, der matcher den mistænktes, vægter heller ikke tungt, da kilden nemt kan være blæst til gernings-stedet fra en anden lokation. Det giver i overensstemmelse med dette mening, at alle ovenstående kilder vægter tungere hvis gerningsstedet ikke er offentligt eller udendørs. Jo sværere det er, at kilderne kan være endt på gerningsstedet ved en tilfældighed, jo tungere vægter de.

Figur 4^{15}: venstre diagram viser procentdelen af fundne DNA-kilder, der førte til en mistænkt alt efter, om kilderne blev fundet

på eller uden for gerningsstedet. Højre diagram viser procentdelen af fundne DNA-kilder, der førte til en mistænkt, alt efter hvor mange DNA-kilder, der blev fundet på gerningsstedet.

13

Balding (2005)

14

Houck (2015)

15

Bond (2007)

Side 9

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 9 af 25

Populationsvariationer

I en DNA-analyse undersøger man ikke hele individets genom. Det er blot en eksamination af bestemte locis længde og basesammensætning, og derfor vil et match mellem to DNA-prøver altid være baseret på sandsynlighed. For at bestemme sandsynligheden for, at en bestemt genotype forekommer tilfældigt i en population, benytter man sig af data fra populationen vedrørende frekvensen af genotypen. Man kan ud fra disse data estimere chancen for, at der tilfældigt eksisterer andre individer end den, det undersøgte DNA-materiale stammer fra, med den samme basesammensætning eller længde af de loci, man undersøger i DNA-analysen.

Vægten af et match ved en DNA-analyse findes normalt ved at gange frekvensen, hvormed hver sekvens forekommer i en referencedatabase. Jo mindre frekvens sekvenserne forekommer med, jo større vægter et eventuelt DNA-match. Følgende er et eksempel på bestemmelse ved STR-analyse af sandsynligheden for, at den samme DNA-profil ved som den, der er fundet på et gerningssted, tilfældigt forekommer i en population. Etniske undergrupper i populationen medtages ikke i beregningerne. DNA-profilen i eksem-plet er baseret på syv loci, som den undersøgte DNA-profil har. De versioner, som DNA-profilen her, er repræsenteret i henholdsvis 7,00 procent, 10,0 procent, 4,00 procent, 5,00 procent, 1,00 procent, 8,00 procent og 9,00 procent af populationen iflg. referencedatabasen.

𝑝 ( 𝐴) = 0,0700∙ 0,100 ∙ 0,0400 ∙ 0,0500 ∙ 0,0100 ∙ 0,0800∙ 0,0900 = 0,000000001008

Sandsynligheden for, at en tilfældig person i populationen besidder alle syv alleler er 1,01 ud af en milli-

ard^{16}. Denne metode til beregning af bevismaterialets vægt kan være en betydelig fejlkilde, da der er

store variationer i frekvensen af bestemte basesekvenser på et loci i forskellige etniske grupper. En sekvens kan være normal i en etnisk gruppe og sjælden i en anden. Derfor vil vægten af et match afhænge af de etniske grupper, som den mistænktes DNA, det fundne DNA, og DNA-materialet i reference-

databasen tilhører^{17}. Omvendt kan denne variation mellem etniske grupper også være en fordel, da man

ved at udregne vægten af et match, givet at gerningsmanden tilhører en bestemt etnisk gruppe, kan finde ud af, hvilken etnisk gruppe det er mest sandsynligt, at gerningsmanden tilhører.

16

Panneerchelvam (2003)

17

Lewontin (1991)

Side 10

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 10 af 25

Sandsynlighed

Tilfældige hændelser opfattes ofte som uforudsigelige, men det er muligt at angive sandsynligheden for et bestemt udfald. Sandsynlighedsregning er nøglen, der kan give os information om det umiddelbart tilfældige. Sandsynlighed er et mål fra graden af tilfældighed på den måde, at jo mindre tilfældigt et

udfald er, jo større er dets sandsynlighed^{18}.

Sandsynlighedsberegninger drejer sig om egenskaber ved modeller af stokastiske eksperimenter, ek-sperimenter med tilfældigt udfald. Man kan således beregne sandsynligheden for, at et bestemt udfald i et stokastisk eksperiment vil indtræffe. Det er ikke muligt præcist at beregne hvilket udfald, der vil indtræffe, men man kan finde det udfald, der med størst sandsynlighed vil indtræffe hvis en række individuelle udfald er påvirket af forskellige faktorer. For eksempel påvirker sammensætningen af etni-ske grupper i en population hvor sandsynligt det er, at en bestemt STR-sekvens forekommer i et til-fældigt individ i populationen. Sandsynlighedsberegning er en del af mængdelæren, idet at antal mulige udfald betegner en samlet mængde kaldet sandsynlighedsfeltet. Den mængde af udfald, som sandsyn-lighedsfeltet består af, kaldes udfaldsrummet, og betegnes U:

𝑈 = {𝑢_{1},𝑢_{2},𝑢_{3},…,𝑢_{𝑛}}

Til hvert udfald er der knyttet sandsynligheden 𝑝(𝑢). Alle sandsynlighederne er positive tal, og summen af sandsynlighederne for de mulige udfald i udfaldsrummet U er 1. Sandsynligheden 0 repræsenterer det umulige – udfaldet kan aldrig indtræffe. Omvendt repræsenterer sandsynligheden 1 det sikre. Når summen af sandsynlighederne for udfaldene i U giver 1, betyder det at en af udfaldene altid må ske, og

                                    19
at sandsynlighedsfeltet dermed er endeligt

. I tilfældet af et endeligt sandsynlighedsfelt kan der opstil-les en model, som beskriver alle de mulige udfalds sandsynligheder. Ved et endeligt sandsynlighedsfelt forstås en endelig mængde U, samt en funktion 𝑝 fra U i intervallet [0,1], som opfylder følgende:

∑ 𝑝_{𝑛=1} ( 𝑢_{𝑛}) = 1

𝑘

Elementerne i U kaldes udfald, mens en delmængde af U kaldes en hændelse. Funktionen 𝑝 kaldes sand-

synlighedsfunktionen. Dens værdi i 𝑢_{𝑛}, altså 𝑝(𝑢_{𝑛}), er derfor sandsynligheden for udfaldet 𝑢_{𝑛}. Man kal-
der denne sandsynlighed for punktsandsynligheden i 𝑢_{𝑛}^{20}. Det er her muligt at fremstille et koordinat-
system med udfaldene 𝑢_{𝑗} ud af x-aksen og deres tilhørende sandsynligheder op ad y-aksen.

Uafhængige hændelser

Man kan bruge en betinget sandsynlighed til at undersøge en hændelses afhængighed af en anden. En hændelse 𝐴 er uafhængig af hændelse 𝐵 hvis det gælder, at:

𝑝 ( 𝐴) = 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵)

Sætning 1 (definition på uafhængig hændelse)

Da en sandsynlighed 𝑝(𝐴) naturligvis er uafhængig af 𝑝(𝐵) i det tilfælde, at sandsynligheden for 𝐴 givet 𝐵 er uændret i forhold til den ubetingede sandsynlighed 𝑝(𝐴).

18

Clausen (1990)

19

Jessen (1999)

20

Sørensen (2003)

Side 11

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 11 af 25

Betinget sandsynlighed

Man kan udtrykke en betinget sandsynlighed med ubetingede sandsynligheder. En betinget sandsyn-lighed er en sandsynlighed for hændelse 𝐵, givet hændelsen 𝐴. Hændelsen 𝐴 kunne være sandsyn-ligheden for, at en tilfældig person på en ø med 1000 beboere har en hvid varevogn, mens 𝐵 kunne være hændelsen, at en personen har en plettet straffeattest. Umiddelbart er sandsynligheden for 𝐵 en tusindedel, da alle på øen som udgangspunkt er lige skyldige. Sandsynligheden for, at en person er skyldig i forbrydelsen forøges dog hvis det er givet, at personen må eje en hvid varevogn, da udfalds-mængden formindskes.

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) =

𝑝 ( 𝐴⋂𝐵) 𝑝 ( 𝐴)

                                         21
Sætning 2 (definition på betinget sandsynlighed)

50 af øens beboere har en plettet straffeattest. Hvis 100 af øens beboere ejer en hvid varevogn, og 39 af disse har en plettet straffeattest, må sandsynligheden for, at en person på øen har en plettet straffeattest, givet at personen ejer en hvid varevogn, være:

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) = = = 39%

39

1000

100

1000

39

100

Sandsynligheden for, at en person har en plettet straffeattest forøges altså med 680% hvis det er givet, at personen ejer en hvid varevogn. Reglen om betinget sandsynlighed kan omskrives:

𝑝 ( 𝐴⋂𝐵) = 𝑝 ( 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴)

Sætning 3 (definition på fællesmængden af to sandsynligheder)

Når 𝐴 og 𝐵 er uafhængige af hinanden, kan sætning 3 omskrives i overensstemmelse med sætning 1:

𝑝 ( 𝐴⋂𝐵) = 𝑝 ( 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐵)

Sætning 4 (definition på fællesmængden af to uafhængige sandsynligheder)

Bayes formel

Definitionen på den betingede sandsynlighed, sætning 2, viser, at den betingede sandsynlighed 𝐴 kan udtrykkes ved sandsynligheden for fællesmængden mellem 𝐴 og 𝐵 samt sandsynligheden for, at hæn-delsen 𝐵 indtræffer:

𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) =

𝑝(𝐵⋂𝐴) 𝑝(𝐵)

Heraf følger med sætning 3, at:

𝑝 ( 𝐴⋂𝐵) = 𝑝 ( 𝐵) ∙ 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵)
𝑝 ( 𝐵⋂𝐴) = 𝑝 ( 𝐴) ∙ 𝑝(𝐵|𝐴)
Siden 𝑝 ( 𝐴⋂𝐵) = 𝑝(𝐵⋂𝐴), kan man sætte følgende udtryk, der udtrykker hinandens inverse betingede

sandsynligheder, lig hinanden, og udlede Bayes formel heraf:

𝑝 ( 𝐵) ∙ 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) = 𝑝 ( 𝐴) ∙ 𝑝(𝐵|𝐴)

21

Baktoft (2010)

Side 12

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 12 af 25

𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) =

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) ∙ 𝑝(𝐴) 𝑝(𝐵)

Sætning 5 (Bayes formel)

Bayes formel hjælper brugeren med at modificere sandsynligheden for en given hændelse, 𝐴, i lyset af nye informationer, 𝐵. Dette gør Bayes formel nyttig i sammenhænge, hvor sandsynligheden for, at en mistænkt i en retssag er skyldig, skal ændres i overensstemmelse med nye informationer, for eksempel i form af bevismateriale, der gradvist opdages.

Totalsandsynligheden og Bayes udvidede formel

Som optakt til udledningen af Bayes udvidede formel, kan totalsandsynligheden passende introduceres.

Hændelserne 𝐴_{1},𝐴_{2},… ,𝐴_{𝑛} kan siges at være udtømmende, hvis mindst en af dem altid vil ske. Et

eksempel på udtømmende hændelser kunne være, at mn i forbindelse med en forbrydelse har 𝑛 mistænkte, hvor man ved at mindst én af de mistænkte er skyldig i forbrydelsen. Her beskriver

hændelsene 𝐴_{1},𝐴_{2},… ,𝐴_{𝑛}, at den givne mistænkte er gerningsmanden. Mindst én af hændelserne vil

altså ske lige meget hvad. Hvis man ydermere vidste, at forbrydelsen kun havde én gerningsmand, ville

hændelserne 𝐴_{1},𝐴_{2},… ,𝐴_{𝑛} være både udtømmende og disjunkte. Det sidstnævnte betyder, at kun én

hændelse kan ske, da de andre hændelser ved forekomst af hændelsen bliver umulige. Dette vises grafisk i figur 5, hvor mængderne 𝐴 ikke overlapper hinanden.

Lad hændelserne 𝐴_{1},𝐴_{2} og 𝐴_{3} være de disjunkte og udtømmende hændelser, at enten mistænkt 1, 2 eller

3 er gerningsmanden til en forbrydelse. Lad hændelse 𝐵 være, at arvemateriale fra gerningsmanden findes på gerningsstedet. På figur 5 vises dette eksempel. Det skraverede område angiver hændelsen 𝐵, som kun kan forekomme hvis en af hændelserne 𝐴 forekommer ‒ hvis en gerningsmand ikke eksisterer, vil arvemateriale fra denne naturligvis ikke kunne findes på gerningsstedet. Hændelsen, at der ikke findes arvemateriale fra gerningsmanden på gerningsstedet, kan passende kaldes 𝐵. Hændelserne 𝐵 og

̅

𝐵 er ligesom hændelserne 𝐴 udtømmende og disjunkte.

̅

Figur 5: hændelsen 𝐵 forekommer i det skraverede område, og hændel-

serne 𝐴_{𝑛} forekommer i hver deres rektangulære felt. I forbindelse med

en forbrydelse, hvor der er tre mistænkte og det vides, at en ad disse er

skyldige, kan både 𝐵 og 𝐵 forekomme. Hændelserne 𝐴_{𝑛} og 𝐵 er

̅ afhængige af hinanden, da sandsynlighederne for disse ændres hvis det

er givet (for 𝐴_{𝑛}), at 𝐵 sker, eller (for 𝐵) at en af de tre hændelser 𝐴_{𝑛}

sker.

På figur 5 repræsenterer hele den stribede mængde 𝑝(𝐵), og de tre stribede mængder, delt af felterne

hvori 𝐴_{𝑛} hænder, repræsenterer 𝑝(𝐴_{1} ⋂𝐵), 𝑝(𝐴_{2} ⋂𝐵) og 𝑝(𝐴_{3} ⋂𝐵). Disse hændelser er disjunkte, og den

totale stribede mængde er lig summen af de tre stribede mængder. Heraf udtrykket for 𝑝(𝐵):

𝑝 ( 𝐵) = 𝑝 ( 𝐴_{1} ⋂𝐵) + 𝑝 ( 𝐴_{2} ⋂𝐵) + 𝑝(𝐴_{3} ⋂𝐵)

𝑝 ( 𝐵) = ∑ 𝑝(𝐴_{𝑛} ⋂𝐵)

𝑘

𝑛=1

Side 13

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 13 af 25

Som med sætning 4 kan omskrives til:

𝑝 ( 𝐵) = ∑ 𝑝 ( 𝐴_{𝑛}) ∙ 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑛})

𝑘

𝑛=1

                          22
Sætning 6 (totalsandsynlighed)

Bayes formel kan omskrives, så man i beregningen af den betingede sandsynlighed kan medtage flere inverse betingede sandsynligheder. Den marginale sandsynlighed 𝑝(𝐵) er summen af sandsynlighe-derne for 𝐵 givet alle de mulige hændelser 𝐴 i udfaldsrummet. Dette eksemplificeres i figur 5, hvor den marginale sandsynlighed 𝑝(𝐵) ifølge sætning 6 kan skrives som:

𝑝 ( 𝐵) = 𝑝 ( 𝐴_{1} ⋂𝐵) + 𝑝 ( 𝐴_{2} ⋂𝐵) + 𝑝 ( 𝐴_{3} ⋂𝐵) = ∑ 𝑝 ( 𝐴_{𝑛}) ∙ 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑛})

𝑘

𝑛=1

Omskrivningen gælder naturligvis også for den marginale sandsynlighed 𝑝(𝐴). Denne omskrivning gør det muligt at udvide Bayes formel. Omskrivningen kaldes derfor for Bayes udvidede formel, og her gæl-der at:

𝑝 ( 𝐴_{𝑖} | 𝐵) =

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑖}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑖})
∑^{𝑘}_{𝑛=1} 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑛}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑛})
Sætning 7 (Bayes udvidede formel)^{22}
Her er hændelserne 𝐴_{1},𝐴_{2},𝐴_{3},…,𝐴_{𝑘} både disjunkte og udtømmende, da der i omskrivningen af Bayes

formel gælder, at 𝑝(𝐵) er totalsandsynligheden (sætning 6).

A priori og a posteriori sandsynligheder

Sandsynligheden for, at en hændelse 𝐵 vil ske, ændres hvis en anden hændelse 𝐴 er givet, og hvis disse

to hændelser er afhængige af hinanden^{22}, dvs. hvis:
𝑃(𝐵) ≠ 𝑝(𝐵|𝐴)
Hvis man antager, at sandsynligheden for hændelsen 𝐵_{1}, at en tilfældig person på en ø med 100 beboere

bor under 5 km fra et gerningssted, er 0,08, ændres denne sandsynlighed hvis man medtager en anden hændelse 𝐴, som er hvorvidt denne person er skyldig i forbrydelsen begået på gerningsstedet.

𝑝 ( 𝐴) = 0,01
𝑝 ( 𝐵) = 0,08
𝑝 ( 𝐵) = 1 − 𝑝 ( 𝐵) = 1 − 0,08 = 0,92

̅

Sandsynligheden for, at en tilfældig person er skyldig i forbrydelsen, hvis det er givet, at personen bor under 5 km fra gerningsstedet, eller hvis det er givet, at personen bor over 5 km fra gerningsstedet, kan udregnes:

𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) = = 0,125

1

8

22

Weiss (2012)

Side 14

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 14 af 25

𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) = = 0,011

̅

1

92

Disse sandsynligheder kan anvendes i Bayes udvidede formel til at udregne den betingede sandsyn-lighed for, at gerningsmanden bor under 5 km fra gerningsstedet:

𝑝 ( 𝐵_{𝑖} | 𝐴) = = =

𝑝 ( 𝐴 | 𝐵_{𝑖}) ∙ 𝑝 ( 𝐵_{𝑖}) 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) ∙ 𝑝 ( 𝐵) 0,125 ∙ 0,08
∑^{𝑘}_{𝑛=1} 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵_{𝑛}) ∙ 𝑝 ( 𝐵_{𝑛}) 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) ∙ 𝑝 ( 𝐵) + 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) ∙ 𝑝 ( 𝐵) 0,125 ∙ 0,08 + 0,011 ∙ 0,92

̅ ̅

= 0,497 = 49,7%

På grund af forskellen mellem antal beboere på øen, der bor under og over 5 km fra gerningsstedet, kan sandsynligheden for hvor personen bor altså ændres hvis det er givet, at personen er gerningsmanden.

Anvendelse i retslig bevisførelse

Som beskrevet i afsnittet ”Populationsvariationer” eksisterer der en alvorlig fejlkilde ved den måde, hvorpå vægten af DNA-materiale i retssager beregnes. Man kan fjerne denne fejlkilde ved at anvende det faktum, at sekvenser forekommer med forskellig frekvens i de forskellige etniske grupper i en population. Følgende tænkte retssag eksemplificerer forskellen på a priori og a posteriori sandsynlig-heder, samt de resultater, som brugen af Bayesiansk sandsynlighedsregning kan generere.

I en population forekommer en kombination af syv alleler i 2,60 ∙ 10^{−9} procent af populationen iflg. en

referencedatabase. Dette svarer til ca. en ud af fire milliarder mennesker. Her er der ikke taget hensyn til de forskellige etniske grupper i populationen. Sandsynligheden beskrevet kalder jeg 𝑝(𝐵), og det er sandsynligheden for, at den undersøgte DNA-profil forekommer tilfældigt i populationen. I en efter-forskning er DNA-materiale, hvori syv loci undersøges, fundet på gerningsstedet. 𝑝(𝐵) bruges i ankla-gerens bevisførelse. 𝑝(𝐵) giver dog et unuanceret billede af forekomsten af de syv specifikke loci i populationen, siden forekomsten i de etniske undergrupper ikke anvendes.

Jeg vil nu undersøge sandsynlighederne for, at personen, som DNA-profilen stammer fra, tilhører hver af populationens fire etniske grundergrupper; den blå, som udgør 41,0 procent af populationen, den røde, som udfør 34,0 procent af populationen, den orange, som udgør 20,0 procent af populationen, og

den grønne, som udgør 5,00 procent af populationen. Jeg finder først 𝑝(𝐵|𝐴_{𝑘}), som er chancen for at

DNA-profilen forekommer i den givne etniske undergruppe. Denne sandsynlighed findes ved at gange forekomsten i de etniske grupper af de syv loci, der blev undersøgt i STR-analysen.

Sandsynligheden for forekomst af DNA-profilen når det er givet, at den tilhører et individ fra den blå etniske gruppe, beregnes til:

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑏}) = 0,0600 ∙ 0,120 ∙ 0,0300∙ 0,0400 ∙ 0,0200 ∙ 0,0300 ∙ 0,100 = 0,0000000005184
≈ 5,18∙ 10^{−10}

Sandsynligheden for forekomst af DNA-profilen når det er givet, at den tilhører et individ fra den røde etniske gruppe, beregnes til:

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑟}) = 0,0700 ∙ 0,0100 ∙ 0,0500 ∙ 0,0600 ∙ 0,0800 ∙ 0,0900 ∙ 0,0100 = 0,0000000001512
≈ 1,51∙ 10^{−10}

Sandsynligheden for forekomst af DNA-profilen når det er givet, at den tilhører et individ fra den orange etniske gruppe, beregnes til:

Side 15

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 15 af 25

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑜}) = 0,100∙ 0,0200 ∙ 0,0600 ∙ 0,0800 ∙ 0,0400∙ 0,0300 ∙ 0,0100 = 0,0000000001152
≈ 1,15∙ 10^{−10}

Sandsynligheden for forekomst af DNA-profilen når det er givet, at den tilhører et individ fra den grønne etniske gruppe, beregnes til:

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑔}) = 0,110 ∙ 0,0200 ∙ 0,130 ∙ 0,0900∙ 0,100 ∙ 0,150 ∙ 0,120 = 0,000000046332 ≈ 4,63 ∙ 10^{−8}

Disse sandsynligheder er eksempler på, hvad der sker med a priori sandsynligheder når der medtages information i bestemmelsen af sandsynligheden. Sandsynlighederne a posteriori er mere nuancerede end den ene information 𝑝(𝐵), som blev anvendt i den tænkte retssag.

Jeg vil nu indsætte disse sandsynligheder i Bayes udvidede formel for at nuancere den information, som

medtages i bevisførelsen, yderligere. Jeg finder 𝑝 ( 𝐴_{𝑛} | 𝐵), som er sandsynligheden for at en person

tilhører en af de fire etniske grupper i populationen, givet at personens DNA-profil matcher den under-søgte DNA-profil. Sandsynligheden for, at en person tilhører den blå etniske gruppe, givet at personens DNA-profil matcher den undersøgte DNA-profil er:

𝑝 ( 𝐴_{𝑏} | 𝐵) =

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑏}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑏})
∑^{𝑘}_{𝑛=1} 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑛}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑛})

=

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑏}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑏})
𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑏}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑏}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑟}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑟}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑜}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑜}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑔}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑔})

= = 0,081634910538978

0,0000000005184∙ 0,41

0,0000000005184∙ 0,410 + 0,0000000001512 ∙ 0,340+
0,0000000001152∙ 0,200 + 0,000000046332 ∙ 0,0500
≈ 8,16∙ 10^{−2} = 8,16%

Sandsynligheden for, at en person tilhører den røde etniske gruppe, givet at personens DNA-profil mat-cher den undersøgte DNA-profil er:

𝑝 ( 𝐴_{𝑟} | 𝐵) =

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑟}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑟})
∑^{𝑘}_{𝑛=1} 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑛}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑛})

=

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑟}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑟})
𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑏}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑏}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑟}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑟}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑜}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑜}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑔}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑔})

= = 0,019745029175078

0,0000000001512∙ 0,34

0,0000000005184∙ 0,410 + 0,0000000001512 ∙ 0,340+
0,0000000001152∙ 0,200 + 0,000000046332 ∙ 0,0500
≈ 1,97∙ 10^{−2} = 1,97%

Sandsynligheden for, at en person tilhører den orange etniske gruppe, givet at personens DNA-profil matcher den undersøgte DNA-profil er:

Side 16

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 16 af 25

𝑝 ( 𝐴_{𝑜} | 𝐵) =

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑜}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑜})
∑^{𝑘}_{𝑛=1} 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑛}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑛})

=

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑜}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑜})
𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑏}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑏}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑟}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑟}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑜}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑜}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑔}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑔})

= = 0,0088493127955532

0,0000000001152∙ 0,20

0,0000000005184∙ 0,410 + 0,0000000001512 ∙ 0,340+
0,0000000001152∙ 0,200 + 0,000000046332 ∙ 0,0500
≈ 8,85∙ 10^{−3} = 0,895%

Sandsynligheden for, at en person tilhører den grønne etniske gruppe, givet at personens DNA-profil matcher den undersøgte DNA-profil er:

𝑝 ( 𝐴_{𝑔} | 𝐵) =

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑔}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑔})
∑^{𝑘}_{𝑛=1} 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑛}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑛})

=

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑔}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑔})
𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑏}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑏}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑟}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑟}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑜}) ∙ 𝑝 ( 𝐴_{𝑜}) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴_{𝑔}) ∙ 𝑝(𝐴_{𝑔})

= = 0,88977074749039

0,000000046332∙ 0,0500

0,0000000005184∙ 0,410 + 0,0000000001512 ∙ 0,340+
0,0000000001152∙ 0,200 + 0,000000046332 ∙ 0,0500
≈ 9,00∙ 10^{−1} = 90,0%

Informationen, som fås ved at anvende Bayes udvidede formel viser et andet billede end udregningen af 𝑝(𝐵) alene. Informationen kan vise sig at få afgørende betydning i retssagen. Det både kan styrke forsva-rets sag markant, hvis den anklagede fx tilhører den orange etniske gruppe, eller det kan styrke sagen mod den anklagede, hvis den anklagede tilhører den grønne etniske gruppe. Der er nemlig kun ca. 0,9 procent sandsynlighed for, at DNA-profilen tilhører en person fra den orange etniske gruppe, mens der er næsten 90 procent sandsynlighed for, at den tilhører en person fra den grønne etniske undergruppe, fordi forekomsten af de syv alleler samlet set er meget mere normal i den grønne etniske gruppe and i den orange.

Sandsynlighedsforhold

En tredje udgave af Bayes formel er Bayes formel på odds form. Her kan man test hvilken af to mod-stridende hændelser er mest sandsynlig givet hændelse D. Ved at anvende sætning 2 og 3 kan forholdet mellem de modstridende sandsynligheder givet hændelse D omskrives: 𝑝 ( 𝐴 | 𝐷) 𝑝 ( 𝐴) ∙ 𝑝(𝐷|𝐴) 𝑝(𝐷|𝐴) 𝑝 ( 𝐴) 𝑝 ( 𝐴 | 𝐷) 𝑝 ( 𝐴 ⋂𝐷) 𝑝 ( 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 𝑝 ( 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 𝑝 ( 𝐴)

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

= = = = ∙

𝑝 ( 𝐴⋂𝐷) 𝑝 ( 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 𝑝 ( 𝐷) 𝑝 ( 𝐷) 𝑝 ( 𝐷) 𝑝 ( 𝐷)

Lad A og D være to hændelser i et endeligt sandsynlighedsfelt. Da hælder: 𝑝 ( 𝐴 | 𝐷) 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 𝑝(𝐴) 𝑝 ( 𝐴 | 𝐷) 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 𝑝 ( 𝐴)

̅ ̅ ̅

= ∙

Sætning 8 (Bayes form på odds form)

Side 17

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 17 af 25

𝐷 kunne for eksempel være informationen, at den mistænktes DNA-profil matchede en DNA-profil fundet på gerningsstedet. Hændelsen 𝐴 kunne være, at den mistænkte var skyldig. Er tælleren større end nævneren ved beregning af sandsynlighedsforholdet, er hændelsen 𝐴 mere sandsynlig end 𝐴 givet

̅

𝐷. Dette er blot en anden måde at anskue Bayes formel, men den er nyttig hvis beregningerne skal være

                     23
letforståelige i retssager .

En anden måde at anskue Bayes formel på odds form er med hvad der på engelsk kaldes en likelihood ratio, på dansk et sandsynlighedsforhold. I bevisførelsen er data, kaldet 𝐷, potentielt informativt om de to disjunkte hypoteser 𝐴 og 𝐴

̅

. Der kan findes et forhold for sandsynligheden af data 𝐷 givet de to hypoteser:

𝐹_{𝐴,𝐴} ( 𝐷) =

̅ 𝑝(𝐷|𝐴) 𝑝(𝐷|𝐴)

̅

Sætning 9 (sandsynlighedsforhold)^{24}

Den undersøgte data kan både være beviser eller information. Selv mangel på beviser kan være data, som kan påvirke sandsynlighedsforholdet mellem de to hypoteser. I modsætning til Bayes form på odds form er det her sandsynligheden af informationen 𝐷 givet de to hændelser 𝐴 og 𝐴, som sammenlignes,

̅ men princippet i sammenligningen af to betingede sandsynligheder er det samme. Følgende er et eksem-pel, hvor den mistænktes DNA matcher DNA-materialet fundet på gerningsstedet i en efterforskning.

Sandsynligheden for et false-positive, altså sandsynligheden for at et DNA-match forekommer selvom den mistænkte ikke er gerningsmanden, sættes til 0,001. Et false-positive kan for eksempel forekomme ved kontamination af DNA-materialet på gerningsstedet, eller ved tekniske fejl under DNA-analysen. 𝐴 beskriver hændelsen, at den mistænkte er skyldig, og 𝐴

̅ beskriver hændelsen, at den mistænkte er uskyldig. 𝐷 beskriver informationen, at den mistænktes DNA-profil matcher det fundne DNA:

𝐹_{𝐴,𝐵} ( 𝐷) = = = 999

𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 0,999 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 0,001

̅

Da sandsynlighedsforholdet er over 1, betyder det at sandsynligheden for 𝐷 givet 𝐴 er større end sand-synligheden for 𝐷 givet 𝐴

̅

. Her medtages dog ikke den afgørende faktor, at 𝐴 a priori er meget mere usandsynlig end 𝐴 a priori – her er det Bayes form på odds form, der skal bruges. 𝐴 er som udgangspunkt

̅ mindre sandsynlig end 𝐴, da DNA-profilen kun forekommer tilfældigt i omkring en ud af fire milliarder

̅ mennesker. Dette faktum giver anledning til kontemplation på den måde, at 𝐷 ikke nødvendigvis gør

den meget usandsynlige hændelse 𝐴 mere sandsynlig end 𝐴^{24}. Sandsynligheden for hændelsen 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴)

̅

”udlignes” ved at blive ganget med den a priori sandsynlighed 𝑝(𝐴), når de to brøker på højre side af lighedstegnet ganges sammen i odds formen af Bayes formel. Matematisk set forklares dette ved, at forholdet mellem de to modstridende sandsynligheder givet data D i Bayes form på odds form stadig kan have en tæller, der er mindre end nævneren, hvis forholdet mellem 𝑝(𝐴) og 𝑝(𝐴

̅

) er ekstremt nok. I følgende eksempel vides det, at gerningsmanden findes i en population på 100.000 individer: 𝑝 ( 𝐴 | 𝐷) 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 𝑝 ( 𝐴) 0,999 1 999 𝑝 ( 𝐴 | 𝐷) 𝑝 ( 𝐷 | 𝐴) 𝑝 ( 𝐴) 0,001 100000 100000

̅ ̅ ̅

= ∙ = ∙ =

Givet data D er den mistænktes sandsynlighed for at være skyldig blevet 999 gange større, men er stadig for alt lille til, at man med sikkerhed kan kalde den mistænkte for gerningsmanden.

23

Vestergaard (2015)

24

Balding (2005)

Side 18

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 18 af 25

Fejlslutninger i retssager

DNA-analyser, ud over hvorvidt den mistænktes DNA matcher med DNA-materiale fundet på gernings-stedet eller ej, fremlægges i retssager i form af tal. Frekvensen, hvormed DNA-match forventes at fore-komme i populationen ifølge referencedatabasen, er et tal. Tal kan let misforstås, som det tidligere i opgaven blev vist i afsnittet ”Populationsvariationer”. En matchfrekvens er et resultat, men et resultat, som let kan føre til de forkerte konklusioner. Følgende fejlslutninger eksemplificerer sådanne konklu-sioner.

The prosecutor’s fallacy

En ofte begået logisk fejlslutning er, at det faktum, at 𝐴 indebærer 𝐵 betyder, at 𝐵 indebærer 𝐴. Når man oversætter denne logiske fejlslutning til sandsynligheder, opstår en procecutor’s fallacy, hvor 𝑝(𝐴|𝐵)

forveksles med 𝑝(𝐵|𝐴)^{25}. I en tænkt population eksisterer der 10 millioner individer. Der foretages en

DNA-analyse på en mistænkt i en forbrydelse, og det viser sig, at den mistænktes DNA-profil matcher den, der blev fundet på gerningsstedet. På grund af denne information forekommer det næsten sikkert, at den mistænkte er gerningsmanden, men en sådan konklusion ville være en fejlslutning, da man ikke tager hensyn til matchfrekvensen. DNA-profilen fundet på gerningsstedet forventes at forekomme i

populationen med en frekvens på 1,0 ∙ 10^{−6}. Den korrekte måde at udlede 𝑝(𝐵|𝐴) fra 𝑝(𝐴|𝐵) er med

Bayes formel. Lad 𝐴 være hændelsen, hvor den mistænktes DNA-profil matcher DNA-profilen fundet på gerningsstedet, og 𝐵 hændelsen, hvor den mistænkte er gerningsmanden. False-positive frekvensen er

0,002. Et false-positive er her et resultat af DNA-analysen, der angiver et match mellem de to DNA-profiler, når det faktisk ikke er tilfældet, at de to DNA-profiler matcher. Et false-positive kan forekomme på grund af tekniske fejl eller kontamination, som blev omtalt i afsnittet ”Short Tandem Repeat og PCR”.

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) = = = 0,0998 ≈ 0,10

𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) ∙ 𝑝(𝐵) 0,998 ∙ 1,0 ∙ 10^{−7}
𝑝(𝐴) 1,0 ∙ 10^{−6}

Chancen for, at den mistænkte er gerningsmanden, givet at den mistænktes DNA-profil matcher den

                                                                                      5
fundet på gerningsstedet, er ifølge Bayes formel stadig lille, selvom sandsynligheden er blevet 1,0 ∙ 10

gange højere. En procecutor’s fallacy i dette eksempel forekommer i, at man kan havde anset sandsyn-ligheden for, at den mistænkte var gerningsmanden, til meget højere end den reelt var, fordi man forvekslede 𝑝(𝐵|𝐴) med 𝑝(𝐴|𝐵). Her er 𝑝(𝐴|𝐵) sandsynligheden for, at den mistænktes DNA-profil matcher den fundet på gerningsstedet, givet at den mistænkte er gerningsmanden. Der medtages dermed ikke de faktorer, der har gjort, at individet er blevet mistænkt til at starte med, som for eksempel individets forbindelse til forbrydelsen.

Den eneste situation, hvor 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) = 𝑝(𝐵|𝐴), forekommer når de to hændelser 𝐴 og 𝐵 er uafhængige af

hinanden, samt når sandsynligheden for, at de to hændelser indtræffer, er den samme. Da vil følgende gælde i overensstemmelse med sætning 1:

𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) = 𝑝 ( 𝐴) = 𝑝 ( 𝐵) = 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴)

25

Buchanan (2007)

Side 19

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 19 af 25

The defendant’s fallacy

For at undgå en defendant’s fallacy, er det netop andre faktorer, som den mistænktes forbindelse til forbrydelsen, som skal inkluderes. Det ville nemlig være fejlagtigt at sige, at de 10 individer, hvis’ DNA-profil teoretisk set ville matche den, som blev fundet på gerningsstedet, som udgangspunkt har lige stor

sandsynlighed for at være skyldige^{26}. Hvis man antager, at de 10 individer bor spredt ud over et stort

område, er det logisk at formode, at jo tættere på gerningsstedet individerne bor, jo større er sand-synligheden for, at de er gerningsmanden.

The uniqueness fallacy

En forbrydelse er blevet begået i en population med 𝑛 individer, og en funden DNA-profil på gernings-

stedet er beregnet til at forekomme med en frekvens, der er mindre end 𝑛^{−1}. Ved at ignorere slægtninge

samt andet bevismateriale end DNA-profilen, antyder DNA-profilens frekvens, at der er under ét antal individer, hvis’ DNA-profil matcher den, som blev fundet på gerningsstedet. Fejlslutningen består i at tro, at en sandsynlighed på under ét antal individer, der matcher DNA-profilen fra gerningsstedet bety-

der, at et sådan individ ikke eksisterer i populationen^{27}. Der er ved udregning af matchfrekvensen tale

om en forventet værdi, hvorfor store afvigelser nemt kan eksistere, især når der er tale om et meget lille antal forventede personer, der matcher DNA-profilen fra gerningsstedet.

Retssagen mod Denis Adams i 1996^{28}

I dette eksempel undlader jeg med vilje at nævne resultatet af retssagen, da eksemplet skal fungere som et billede på, hvor mange faktorer der har kunnet ændre vægten af bevismaterialet for Adams’ skyldighed betydeligt. For at kunne diskutere grundene til at medtage forskellige faktorer i vurderingen af Adams’ skyldighed, som fx det fundne DNA-materiales art, er det gunstigt at undlade at medtage retssagens resultat. Adams blev i 1996 arresteret for voldtægt. Bevismateriale i form af sæd, der mat-chede Denis Adams’ DNA-profil, samt det faktum at han boede i området hvor forbrydelsen blev begået, forbandt ham med forbrydelsen. Alle andre beviser kom den tiltalte til gode - ofret genkendte ikke Adams da han skulle identificeres blandt en række andre individer, og Adams havde et alibi.

Det blev fastsat at der var ca. 150.000 mænd i området som, uden andet bevis, kunne have begået forbrydelsen. Sammen med sandsynligheden for, at gerningsmanden kunne komme uden for området, blev den a priori sandsynlighed 𝑝(𝐴) for, at Adams var skyldig, sat til én ud af 200.000. Sandsyn-lighedsforholdet mellem 𝑝(𝐴) og dens komplementære sandsynlighed 𝑝(𝐴) er dermed:

̅ 𝑝 ( 𝐴) 1 𝑝 ( 𝐴) 200000

̅

=

Siden ofret ikke kunne genkende Adams, blev den betingede sandsynlighed for at dette var tilfældet hvis

Adams var skyldig, 𝑝(𝐵|𝐴), sat til 0,10. 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) = 1 − 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) = 0,90. Sandsynlighedsforholdet mellem

̅ disse to betingede sandsynligheder er:

𝐹_{𝐴,𝐴} ( 𝐵) = = =

̅ 𝑝(𝐵|𝐴) 0,10 1 𝑝(𝐵|𝐴) 0,90 9

̅

26

Croucher (2003)

27

Balding (2005)

28

BAILII (1996)

Side 20

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 20 af 25

Hvilket betyder, at informationen 𝐵 i retssagen umiddelbart støttede hændelsen, at Adams var uskyldig..

På baggrund af alibiet fastsatte juryen et sandsynlighedsforhold på 1 2

⁄

– de mente, at alibiet støttede hændelsen 𝐴, at Adams var uskyldig, dobbelt så meget som 𝐴. Ved at gange de to omtalte sandsynlig-

̅ hedsforhold sammen, ved antagelsen at disse to informationer i retssagen blev behandlet separat, fås:

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) 𝑝(𝐵_{1} |𝐴) 𝑝 ( 𝐵_{2} | 𝐴) 1 1 1
𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) 𝑝(𝐵_{1} |𝐴) 𝑝 ( 𝐵_{2} | 𝐴) 9 2 18

̅ ̅ ̅

= ∙ = ∙ =

Bevismaterialet, når man ser bort fra DNA-materialet, støtter altså hændelsen, at Adams var uskyldig,

18 gange mere end hændelsen, at Adams var skyldig. Ifølge Bayes formel på odds form, når a priori sandsynlighedsforholdet for, at Adams var skyldig medtages, fås sandsynlighedsforholdet: 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) 𝑝 ( 𝐴) 1 1 1 𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) 𝑝 ( 𝐴) 18 200000 3600000

̅ ̅ ̅

= ∙ = ∙ =

Der var i sagen stor usikkerhed om, hvor unikt DNA-materialet fra gerningsstedet var. Man mente at frekvensen, hvormed DNA-profilen forekom i populationen, lå mellem én ud af to millioner og én ud af

200 millioner^{29}. DNA-bevismaterialet støttede hændelsen, at Adams var skyldig, mellem to og 200

millioner gange mere end hændelsen, at Adams var uskyldig. Dette forhold virker overvældende, men sammen med det øvrige bevismateriale kan man med Bayes udvidede formel finde sandsynligeden for at Adams var skyldig, når det var givet at DNA-materialet fra ofret matchede Adams’ DNA-profil:

𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) = = = 0,357 ≈ 0,36

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐴)

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐴) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐴)

̅ ̅ 1 1 1

1 ∙

1

3600000

1 ∙ + (1 −) ∙

3600000 3600000 2000000

Da det vigtigste når sandsynligheden for, at den mistænkte er skyldig, fastsættes, er den nedre grænse på denne sandsynlighed – altså hvor stor sandsynligeden for skyldighed er, hvis alle usikkerheder kom-mer den anklagede til gode, vælger jeg at anvende den højest mulige matchfrekvens i mine udregninger.

Ifølge Bayes formel er det altså muligt, at sandsynligheden for Adams’ skyldighed kun var 36%. Fore-tagelse af samme beregning med en matchfrekvens på en ud af 200 millioner giver 0,98.

Sandsynlighedsberegningers påvirkning af DNA-materialets vægt i retssager

Konsekvenserne ved fejlagtig brug af sandsynlighedsregning kan være store, da man når argumenterne fremføres ofte oversætter informationen, givet i tal, til ord. I denne oversættelse kan det både frem-komme fejl ved et uheld, og fejl der bygger på en manglende forståelse af, hvad sandsynlighederne bety-der. Et eksempel er her den såkaldte procecutor’s fallacy, som netop bygger på manglende forståelse.

En anden betydelig fejlkilde ved bryg af sandsynlighedsregning i retsvidenskab er, at mange af sandsyn-lighederne fastsættes af en for eksempel jury, som ikke har den fuldstændige viden om forbrydelsen. En retssag bygger jo netop på det faktum, at man ikke har den fuldendte viden, og derfor må finde frem til mere i sådan en grad, at den anklagede kan dømmes skyldig eller uskyldig. Derfor er det muligt, at sand-synligheden for den anklagedes skyldighed ville variere meget hvis jurysammensætningen blev ændret.

Det vil sige, at chancen for den mistænktes skyldighed her kan variere lige så meget som den usikre matchfrekvens i sagen mod Denis Adams i 1996. Hvis de to sandsynlighedsforhold, der beskrev vægten

29

Dawid (2001)

Side 21

[navn fjernet] 3.z Hoveddel

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 21 af 25 af Adams’ alibi samt det faktum, at ofte ikke kunne genkende Adams, sammen havde givet en tyvendedel, ville regnestykket for 𝑝(𝐴|𝐵) se således ud:

𝑝 ( 𝐴 | 𝐵) = = = 0,333 ≈ 0,33

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐴)

𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐴) + 𝑝 ( 𝐵 | 𝐴) ∙ 𝑝 ( 𝐴)

̅ ̅ 1 1 1

1 ∙

1

4000000

1 ∙ + (1 −) ∙

4000000 4000000 2000000

Denne lille ændring gør altså, at Adams’ beregnede skyldighed givet beviserne for og imod hans skyldig-hed bliver tre procentpoint mindre sandsynlig.

På trods af denne store usikkerhed vedrørende fastsættelsen af sandsynligheder, som indgår i Bayes formel, er det dog tydeligt, ligeledes i retssagen mod Denis Adams i 1996, at sandsynlighedsregningen i princippet kan illustrere hvor tungt bevismaterialet bør vægte. Ved at anvende Bayes formel på odds form ses det, at et bevis må vægte tungere, jo større forskellen mellem tæller og nævner i sandsyn-lighedsforholdet er, da denne forskel angiver hvor tungt bevismaterialet støtter den ene hændelse frem for den anden. Odds formen er nem at forstå for folk uden særlig kendskab til sandsynlighedsregning, og brugen af denne må derfor siges at mindske omfanget og forekomsten af fejlslutninger i retssager.

Denne tydeliggørelse af bevisernes vægt i forhold til hinanden mener jeg, kan være fordelagtig og bidrage til mere retfærdige afgørelser i retssager.

Medtagen af DNA-materiales art og placering i forhold til gerningsstedet kan være gunstigt hvis der eksisterer tvivl om, hvor tungt bevismateriale i form af en DNA-analyse bør vægte. Som i retssagen mod Adams i 1996, hvor der herskede stor tvivl om Adams’ skyldighed, kunne en eventuel dom retfær-diggøres yderligere ved at medtage det faktum, at sæd som arvemateriale med lille sandsynlighed forekommer tilfældigt på gerningssted eller offer. Hvis arvematerialet var fundet i form af hår, burde Adams’ eventuelle dom derimod overvejes grundigere, da hår let ville kunne forekomme på gernings-stedet uden grund – for eksempel hvis Adams var stødt ind i offeret, som derefter fik hans hår på hendes jakke. I sådan et tilfælde ville det virke direkte absurd, at Adams blev dømt skyldig – her ville det eneste bevis nemlig være, at hans hår blev fundet på gerningsstedet. Naturligvis vægter bevismateriale i form af sæd her tungere.

Som vist i afsnittet ”Anvendelse i retslig bevisførelse” er det muligt ud fra allelsammensætningen i den DNA-profil, der findes i forbindelse med en forbrydelse, at bestemme sandsynligheden for, at afgiveren af DNA-materialet tilhører en bestemt etnisk gruppe i en population. Denne måde at ”vende rundt” på de betingede sandsynligheder kan kun lade sig gøre med bayesiansk sandsynlighedsregning, som er unikt på den måde, at man finder en betinget sandsynlighed 𝑝(𝐵|𝐴) ud fra den inverse betingede sand-synlighed 𝑝(𝐴|𝐵). På Retsmedicinsk Institut på KU forsker man ud fra samme princip, men hvor matematik ikke indgår. Her undersøger man gener og epigenetiske markører med det mål, at kunne

forudsige gerningsmandens udseende, særligt med hensyn til pigmentering^{30}.

Forskningen på Retsmedicinsk Institut på KU er et andet eksempel på, hvordan man kan nuancere de informationer, man får fra det DNA-materiale, der findes i forbindelse med forbrydelser. Både denne forskning samt brugen af bayesiansk sandsynlighedsregning henvender sig til forbrydelser uden mis-tænkte, da man tilegner sig information om afgiveren af arvematerialet, som kan mindske antallet af mulige gerningsmænd.

30

Retsgenetisk afdeling på KU (2015)

Side 22

[navn fjernet] 3.z

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 22 af 25

Konklusion

Opgaven har behandlet spørgsmålet om, hvordan statistiske tests kan bruges i retsvidenskab. Der er flere facetter til dette spørgsmål: hvordan de kan bruges, og hvordan de bør bruges, og hvordan de ikke bør bruges. Alle tre facetter er i opgaven blevet belyst, og det kan konkluderes, at mange typer statistiske tests, som bygger på betingede sandsynligheder, kan anvendes. Det, at de statistiske tests indeholder betingede sandsynligheder er vigtigt, da testene især kan bruges til at vurdere en persons skyldighed når det er givet, at bevismateriale i form af et match mellem personens DNA-profil og den, der er fundet i forbindelse med en forbrydelse, eksisterer. Her er det naturligt og logisk at anvende a posteriori og a priori sandsynligheder, hvilket gøres ved at bruge statistiske tests, der anvender betingede og ubetin-gede sandsynligheder i samspil med hinanden.

De fejlkilder, der hyppigt forekommer ved DNA-analyser, er kontamination forårsaget af enten PCR med DNA fra flere individer eller af PDR med forkert replikerede STR-sekvenser. Disse fejlkilder forårsager usikkerhed omkring den endelige DNA-profil, samt forekomst af stutter peaks på elektroferogrammer.

Betydelige fejlkilder som disse gør, at DNA-analyserne, samt de statistiske tests, der anvender DNA-analysernes resultater, ikke enerådigt bør bestemme en anklagets skyldighed. Langt mere retfærdigt er det at anvende resultaterne i samspil med øvrige beviser.

Arten af arvemateriale, der findes, bør også påvirke den vægt, man tillægger arvematerialet. Der bør tages stort hensyn til, at sandsynligheden for, at arvematerialet stammer fra flere individer varierer me-get alt efter arvematerialets art. Sandsynligheden for, at den anklagede er skyldig bør desuden justeres alt efter, om arvematerialet blev fundet på eller uden for gerningsstedet, efter gerningsstedets art, og efter sandsynligheden for, at arvematerialet forekommer på gerningsstedet ved et tilfælde.

Side 23

[navn fjernet] 3.z

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 23 af 25

Referencer

Baktoft, A. (2010). Sandsynlighedsregning og statistik (1. udg.). Forlaget Natskyggen.

Balding, D. J. (2005). Weight-of-evidence for Forensic DNA Profiles (1. udg.). Wiley.

Bond, J. W. (2007). Value of DNA Evidence in Detecting Crime. Journal of FOrensic Sciences. Hentet 7.

december 2015 fra

http://www.researchgate.net/profile/John_Bond2/publication/6591236_Value_of_DNA_evide
nce_in_detecting_crime/links/0a85e534cd9b8b960b000000.pdf

Bruun, K., Geertsen, P. B., & Helmig, K. (2011). GRUNDBOG I BIOKELNOLOGI 1 (1. udg.). Gyldendalske

Boghandel, Nordisk Forlag A/S.

Buchanan, M. (2007). The Procecutor's Fallacy. The New York Times. Hentet 7. december 2015 fra

http://www.columbia.edu/~dj114/prosec-01.doc

Butler, J. M. (2007). Short tandem repeat typing technologies used in human identity testing.

BioTechniques. Hentet 3. december 2015 fra

http://cstl.nist.gov/strbase/pub_pres/Butler_BiotechniquesSuppl_Oct2007.pdf

Clausen, F., Printz, P., & Schomacker, G. (1990). Sandsynlighedsregning og statistik (1. udg.).

Munksgaard.

Cowell, R. G., Graversen, T., Lauritzen, S. L., & Mortera, J. (2014). Analysis of forensic DNA mixtures with artefacts. Journal of the Royal Statistical Society: Series C (Applied Statistics). Hentet 3.

december 2015 fra http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/rssc.12071/epdf

Croucher, J. S. (2003). Assessing the statistical reliability of witness evidence. Australian Bar Review.

Hentet 7. december 2015 fra

https://www.researchonline.mq.edu.au/vital/access/services/Download/mq:6683/DS01

Dawid, A. P. (2001). Bayes’s Theorem And Weighing Evidence by Juries. Hentet 8. december 2015 fra

University College London: https://www.ucl.ac.uk/silva/jdi/research/evidence-
network/docs/dawid-paper.pdf

EDVOTEK. (2014). 109 - DNA Fingerprinting by Restriction Enzyme Patterns. Hentet 3. december 2015

fra EDVOTEK: http://www.edvotek.com/site/pdf/109.pdf

Forensic Bioinformatics. (2015). DNA Testing Issues. Hentet 4. december 2015 fra Forensic

Bioinformatics: http://www.bioforensics.com/dna-testing-issues/
Houck, M. M. (2015). Forensic Biology (1 udg.). Academic Press/Elsiever.

Jehan, T., & Lakhanpaul, S. (2006). Single nucleotide polymorphism (SNP)-Methods and applications in plant genetics: A review. Indian Journal of Biotechnology. Hentet 4. december 2015 fra

http://nopr.niscair.res.in/bitstream/9/5608/1/IJBT%205(4)%pdf

Jessen, C., Møller, P., & Mørk, F. (1999). Integralregning og sandsynlighedsregning (1. udg.).

Gyldendalske Boghandel, Nordisk Forlag A/S.

Lewontin, R. C., & Hartl, D. L. (1991). Population genetics in forensic DNA typing. Science Magazine.

Hentet 3. december 2015 fra http://www.sciencemag.org/content/254/5039/1745.short

McCartney, C. (2008). LCN DNA: proof beyond reasonable doubt? Nature Reviews Genetics. Hentet 16.

oktober 2015

Morling, N. (2010). Retsgenetiske undersøgelser. Hentet 9. december 2015 fra Gyldendal - Den Store Danske:

http://www.denstoredanske.dk/Krop,_psyke_og_sundhed/Sundhedsvidenskab/Retsmedicin/

retsgenetiske_unders%C3%B8gelser

Side 24

[navn fjernet] 3.z

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 24 af 25

Nielsen, H., & Kjems, J. (2013). DNA. Hentet 3. december 2015 fra Gyldendal - Den Store Danske:

http://www.denstoredanske.dk/Natur_og_milj%C3%B8/Biokemi_og_molekyl%C3%A6rbiolog
i/Molekyl%C3%A6rbiologi/DNA

Nørby, S. (2015). Mikrosatellit. Hentet 3. december 2015 fra Gyldendal - Den Store Danske:

http://www.denstoredanske.dk/Krop%2c_psyke_og_sundhed/Sundhedsvidenskab/B%C3%B
8rnesygdomme_og_medf%C3%B8dte_misdannelser/mikrosatellit

Panneerchelvam, S., & Norazmi, M. N. (2003). Forensic DNA Profiling and Database. The Malaysian Journal of Medical Sciences. Hentet 6. december 2015 fra

http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3561883/

Retsgenetisk afdeling på KU. (2015). The genetics and biology of pigmentation in humans. Hentet 9.

december 2015 fra Københavns Universitet:

http://retsmedicin.ku.dk/english/research/forensic_genetics/pigmentation_genes/

Smith Bernal Reporting Limited. (1996). Adams, R. v [1996] EWCA Crim 222 (26 April 1996). Hentet 8.

december 2015 fra BAILII: http://www.bailii.org/cgi-
bin/markup.cgi?doc=/ew/cases/EWCA/Crim/2006/222.html&query=bayes&method=boolea

n

Steffensen, E. (2014). DNA-dobbelthelix og udsnit af DNA-molekyle. Genetikbogen B+A. Hentet 13.
december 2015 fra http://www.nucleus.dk/butik/materiale/?id=846

Sørensen, M. (2003). En Introduktion til Sandsynlighedsregning - Institut for Matematiske Fag. Hentet

10. december 2015 fra Københavns Universitet:

http://www.math.ku.dk/~michael/stat0/ssnoter.pdf

Vestergaard, E. (2015). Bayes' fantastiske formel. LMFK-bladet.

Walsh, P. S., Fidles, N. J., & Reynolds, R. (1996). Sequence analysis and characterization of stutter products at the tetranucleotide repeat locus vWA. Oxford University Press. Hentet 4. desember

2015 fra http://nar.oxfordjournals.org/content/24/14/2807.full.pdf

Weiss, N. A. (2012). Introductory statistics (9. udg.). Pearson Education, Inc.

Bilag 1

Pearson Education, Inc. (2009). Short Tandem Repeats. Hentet 14. december 2015

Forside

May, S. (2011). Bayes Theorem. The New York Times. Hentet 4. december 2015 fra

http://www.nytimes.com/2011/08/07/books/review/the-theory-that-would-not-die-by-
sharon-bertsch-mcgrayne-book-review.html?pagewanted=all&_r=0

Side 25

[navn fjernet] 3.z

Roskilde Katedralskole 2015/16

Side 25 af 25

Bilag 1 – STR-analyse

På et elektroferogram vises længden af STR-sekvenser med såkaldte peaks, hvis’ højde korresponderer med antal replikerede STR-sekvenser med en given længde. På elektroferogrammerne for gerningssted- DNA’et og den mistænktes DNA vil den peak, der angiver antal replikerede STR-sekvenser bestående af syv AGAT-gentagelser, være lige store. Der vil forekomme en peak på elektroferogrammet for gernings-sted-DNA’et, der angiver antal replikerede STR-sekvenser med otte GATA-sekvenser. Denne peak vil ikke forekomme på elektroferogrammet for den mistænktes DNA. Her vil der i stedet forekomme en peak, der angiver antal STR-sekvenser bestående af 13 GATA-gentagelser.