SRP om Sophie Germains Sætning i Historie og Matematik

Side 1

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 1

Indholdsfortegnelse

1. Forord side 2

2. Indledning side 2

3. Kvindens stilling i det matematiske miljø side 3

4. Fermats Lille Sætning side 6

▪ 4.1 Lemma 1 side 6

▪ 4.2 Sætning side 6

▪ 4.3 Bevis for Fermats Lille Sætning side 6

5. Sophie Germains Sætning side 7

▪ 5.1 Lemma 2 side 7

▪ 5.2 Lemma 3/Euklids Lemma side 7

▪ 5.3 Lemma 4/Euklids Generealiserede Lemma side 7

▪ 5.4 Sætning side 7

▪ 5.5 Bevis for Sophie Germains Sætning side 7

6. Sophie Germains arbejde i relation til Fermats Store Sætning side 12

7. Opfattelsen af Sophie Germains arbejde side 13

8. Perspektivering af Sophie Germains arbejde til nutiden side 16

9. Konklusion side 17

Litteraturliste side 19

Side 2

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 2

1. Forord

Emnet kvinder i matematikken er valgt, da det er et interessant emne, og emnet giver mu-lighed for at blive udfordret matematisk ved at gennemarbejde Sophie Germains Sætning og Fermats Lille Sætning. Samtidig har man kunnet lave en sammenkædning til historien under den franske revolution og bruge fagets metode til at behandle emnet. Under arbej-det med opgaven får man lov til at fordybe sig i emnet, og dette er en medvirkende faktor til, at man gennem læsning og bearbejdning hele tiden øger sin forståelse inden for em-net.

2. Indledning

Emnet for denne opgave er kvinder i matematikken, hvor fokus er lagt på gennembruds-kvinden Sophie Germain, der på dette tidspunkt bl.a. arbejdede med den matematiske ulø-ste gåde Fermats Store Sætning. Først i opgaven er der givet en redegørelse for kvindens stilling i det matematiske miljø i Sophie Germains samtid. Der er dog pga. begrænset ma-teriale om det matematiske miljø også givet en redegørelse for kvindens stilling i samfun-det generelt. På baggrund heraf er der sandsynliggjort en forestilling om det matematiske miljø ud fra datidens tendenser i samfundet. Det har dog vist sig, at der er en forklaring på det manglende materiale om kvinderne under den franske revolution, da historikerne har været mere interesseret i at fokusere på kvinder som bl.a. Olympe de Gouges [1]. Det er først omkring år 1970, at der er kommet fokus på kvindernes situation under revolutionen. [2] Der ønskes en redegørelse for kvindernes stilling i det matematiske miljø for at skabe et overblik over hvilke vilkår Sophie Germain havde for at begå sig som matematiker i det mandsdominerede matematiske miljø. Herefter er der givet en redegørelse for Fermats Lil-le Sætning og bevis for denne, der leder videre til en redegørelse af Sophie Germans Sæt-ning og bevis for denne. Ydermere vurderes Sophie Germains arbejde i relation til Fermats Store Sætning, og ud fra relevante kilder fra Sophie Germains matematiske kolleger be-dømmes disse kilder, og der gives en diskussion af opfattelsen af hendes arbejde blandt hendes matematiske kolleger i samtiden. Kilderne giver indblik i, hvordan matematikere i

1 revolutionær heltinde, der var forfatter til ”Kvinders rettigheder”

2

Bjørn, Anders, ”Leve revolutionen – det revolutionære Frankrig ”, København, 1990, s 116

Side 3

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 3 samtiden opfattede Sophie Germain som person og hendes arbejde. De udvalgte kilder be-skæftiger sig med store matematikere som Augustin Cauchy, Carl Friedrich Gauss og Jean Baptiste Joseph Delambre. Dernæst gives en perspektivering af Sophie Germains arbejdes betydning for nutiden, for at kunne drage paralleller til nutiden og derved få indblik i So-phie Germains arbejdes betydning i dag. Der konkluderes dels på sammenhængen mellem samfundstendenserne om kvinders stilling i det matematiske miljø og dels på opfattelsen af hendes arbejde blandt kollegerne. Afslutningsvis konkluderes der også på Sophie Ger-mains arbejdes betydning i relation til Fermats Store Sætning og nutiden.

3. Kvindens stilling i det matematiske miljø

Frankrig var før den franske revolution, der varede fra , et patriarkalsk sam-fund, hvor manden var overhovedet i hjemmet, og kvinden var lige så umyndiggjort som sine børn. Kvindernes økonomiske vilkår var klassebestemt, og under-og mellemklassens jobs bestod hovedsageligt af ufaglærte og dårligt lønnede jobs. De økonomiske vilkår var dog anderledes for adelen og det højere borgerskab, da disse havde adgang til rimeligt gode uddannelser med privatlærere. Det var dog ikke socialt acceptabelt, hvis kvinden uddannede sig til et for højt niveau, da ingen mand ønskede at ægte en kvinde med en høj

         3
profession.

Jean-Jacques Rousseau () var en af de førende franske oplysningsfilosoffer og et af forbillederne for de revolutionære kræfter under den franske revolution, da han var fortaler for ”fælles vilje” og dermed afskaffelse af enevælden. Han fik senere hen stor be-tydning for den franske erklæring om menneskets og borgerens rettigheder, da denne til dels bygger på de franske oplysningsfilosoffers filosofier. Samtidig med Jean-Jacques Rousseau prædikede om menneskets frie vilje, havde han et markant anderledes syn på

kvinder.^{4}

Ifølge Jean-Jacques Rousseau burde kvinder opdrages med henblik på at tilfredsstille de-res mænd. Derfor skulle kvinder kun studere, hvis dette studie havde til formål at lære

3

foregående afsnit er skrevet på baggrund af Bjørn, Anders, s 116+117 og Singh, Simon, ”Fermats Store

Sætning – løsningen på den 350 år gamle matematiske gåde”, København, 1997, s 127
4

Barber, Nicola, ”Den Franske Revolution”, Holte, 2004 s 21, Larsen, Mihail, ”Samfundspagten”, Køben-havn, 1987 og Bryld, Carl-Johan, ”Verden før 1914 i dansk perspektiv”, Århus, 2008 kap. 8

Side 4

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 4 praktiske ting, da kvinder ikke besad evner til at udføre noget genialt indenfor videnska-

ben.^{5}

Enkelte kvinder brød dog samfundsnormerne og gjorde sig gældende som store matema-tikere eksempelvis: Theano, Hypatia og Maria Agnesi. De her nævnte kvinder have dog alle gode forudsætninger for at blive store matematikere, da Theano ægtede Phytagoras og Hypatia og Maria Agnesi var begge døtre af matematikere. Man troede dengang, at gode matematiske evner lå i generne, men senere fandt man ud af, at kvinder med stort matematisk potentiale ikke fik muligheden for at udfolde dette grundet diskriminationen

                            6
af kvinder i det matematiske miljø.

På trods af denne diskrimination indenfor faget matematik, var der dog én kvinde i det franske samfund, der formåede at gøre sig gældende som en stor matematiker; Sophie Germain. Sophie Germain blev født den 1. April 1776 og døde i 1831 af brystkræft. Hun levede i det mest mandchauvinistiske land i hele Europa. Frankrig var et land præget af fordomme. Den mandchauvinistiske holdning med hensyn til uddannelse var, at matema-tik var uegnet for kvinder og udenfor deres mentale rækkevidde. Man opfordrede ikke kvinder til at studere matematik, men der blev krævet af dem, at de dog alligevel havde kendskab til faget og var i stand til at diskutere emnet ved selskabelige sammenkomster.

Der blev derfor skrevet bøger, der var særligt tilegnet kvinder, så de var vidende om, hvad der rørte sig indenfor faget. Francesco Algarotti var en af forfatterne til en sådan bog. Han skrev en romantisk forklaring på Newtons opdagelser. [7]

Sophie Germains familie var forholdsvis rig og værnede om hende, så hun ikke færdedes på gaden, hvor de revolutionære demonstrerede. Dette betød, hun ofte var alene, og tiden udnyttede hun til at studere i bøgerne på hendes fars bibliotek. Hendes forældre var be-kymrede for hende, da kvinder jo på den tid ikke måtte fordybe sig i matematik, så de nægtede hende lys om natten, men Sophie Germain havde selv nogle stearinlys og derved kunne hun så studere videre i al hemmelighed. Til sidst overgav hendes forældre sig dog og støttede hende i studierne. Det var endda hendes far, der finansierede hendes senere forskning. Sophie Germain havde dog problemer, idet hun måtte studere alene, da der ik-

5

Høffding, Niels, ”Revolutionen, Napoleon og Kvinderne – Fra hofsamfund til diktatur”, København, 2001,

s 285
6

Singh, Simon, s 124-127

7

op.cit., s 124+128

Side 5

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 5 ke fandtes nogle matematikere i familiens omgangskreds, og hendes privatlærer tog hen-de ikke seriøs. Hendes liv som kvindelig matematiker ændrede sig radikalt i 1794, da en af Frankrigs mest fornemme skoler, hvor man kunne specialisere sig indenfor specifikke fag, åbnede. Skolen var École Polytechnique. En skolens første professorer var den fran-ske matematiker og videnskabsmand Lagrange. Dog var det ikke muligt for kvinder at modtage forelæsninger, så Sophie Germain påtog sig den falske identitet Monsieur Le Blanc, der var navnet på en af eleverne på skolen, hvilket desuden også holdt hende fri af fordomme på baggrund af hendes køn. Herigennem fik Sophie Germain fat i forelæs-ningsnoter og opgaver. Da Lagrange (professor på skolen) opdagede hun var en kvinde blev han forbløffet, men fortsatte sit videre arbejde med hende og blev hendes private

       8
vejleder.

Kvindernes muligheder for at begå sig i det matematiske miljø var altså meget begrænse-de, da samtidens tendenser ikke var, at kvinder tog en akademisk uddannelse, hvilket har betydet, at man ikke blev taget seriøst. Det har også været svært at komme ind på mate-matiske uddannelser, hvilket også kan ses, da Sophie Germain bliver nødt til at bruge et mandligt alias for at snyde sig til adgang til École Polytechnique. Sophie Germain har alt-så været en gennembrudskvinde i hendes tid, hvilket til dels skyldes hendes sociale sam-fundsplacering. Som nævnt tidligere kom Sophie Germain fra en forholdsvis rig familie, hvor faderen kunne finansiere hendes studie. Dette havde sandsynligvis ikke været tilfæl-det, såfremt hun var kommet fra en familie af 3. stand. [9] Den familiemæssige støtte har altså været en væsentlig faktor for, at Sophie Germain som kvinde har kunnet gøre sig gældende i det matematiske miljø. Kvindens stilling i det matematiske miljø har ikke væ-ret særlig stor, da det er meget få kvinder, der har haft støtte fra familien eller har været familiært relateret til andre matematikere, hvilket åbenbart dengang har været en forud-sætning for at kunne studere matematik.

8 op.cit., s 124-135 og Case, Bettye Anne m.fl., ”Comlexities – women in matematics”,Oxfordshire, 2005, s

68-69
9

Frankrig var et stændersamfund, hvilket betød, at befolkning var delt op i 3 stænder: 1. stand, 2.stand og 3. stand, hvor 3. stand var de dårligst stillede.

Side 6

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 6

4. Fermats Lille Sætning^{10}

For at bevise Fermats Lille Sætning er vi nødt til at have kendskab til følgende lemma

(hjælpesætning) om forkortning:

4.1 Lemma 1

Lad a, n være indbyrdes primiske hele tal så gælder

a * x ≡ a* x mod n ⟹ x ≡ x mod n

1 2 1 2

4.2 Sætning: Lad p være et primtal. For ethvert helt tal a, som ikke er et multiplum

af p, gælder at a^{p-1} ≡ 1 (mod p)

eller udtrykt ved restklasser modulo p

[ 𝒂]^{p-1} = [ 𝟏] i ℤ_{p}

4.3 Bevis:

Hvis vi har et komplet sæt rester (s), der alle er forskellige fra 0 vil sættet se således ud:

1,2, … , p-1

Multipliceres ovenstående elementerne med a fås et andet komplet sæt af rester (s) for-

1

          11
skellige fra 0

a*1, a*2, …, a*(p-1)

Rækkefølgen af elementerne kan variere; men begge komplette sæt af restklasser må in-deholde samtlige p-1 restklasser, der ikke er 0. Derfor er produktet af elementerne i s det samme som produktet af elementerne i s modulo p:

1

1*2 … (p-1) ≡ (a*1)*(a*2) … (a*(p-1)) mod p

Vi kan herefter omskrive elementerne i s og s til fakultetsfunktioner [12] og få

1

⟹ (p-1)! ≡ a^{p-1} * (p-1)! mod p

Anvender vi endnu engang tidligere nævnte korollar, kan der forkortes med (p-1)!

( 𝑝−1)! ∗ ( 𝑝−1)!
( 𝑝−1)! ( 𝑝−1)!

≡^{𝑎^{𝑝−1}} mod p ⟹ 1 ≡ a^{p-1} mod p QED.

10

Følgende beviser og sætninger er lavet med baggrundviden fra Hansen, Johan P. mfl., ”Algebra og Talteo-

ri”,København, 2002, kap. 1-4 og Landrock & Nissen, ”Kryptologi - fra viden til videnskab”, 1997, kap. 4
11

se lemma 1 om forkortning

12

Fakultet er produktet af en talrække af de positive hele tal fra 1 til og med tallet selv. Fakultetsfunkti-

oner angives med ! og tallet selv dvs. n! = n*(n-1)*(n-2) … 1

Side 7

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 7

5. Sophie Germains sætning^{13}

Hele beviset for Sophie Germains Sætning bygger på modstridsbeviser. Et modstridsbe-vis kaldes på latin reductio ad absurdum, hvilket betyder "reduktion til meningsløshed".

Dette er en bevis-metode, der foregår således, at man antager, at den sætning, man vil vi-se er sand ved at bevise, at det modsatte er falsk og på basis af dette opnå en modstrid.

Derefter kan man konkludere, at sætningen må være sand, da det modsatte er forkert.

For at kunne bevise Sophies Germains sætning har vi brug for kendskab til nogle sætnin-ger, der kan hjælpe med beviset undervejs.

5.1 Lemma 2

Hvis sfd(t,m) = t og t*m = q^{n}, så eksisterer der et v og w, således at
t = v^{n} og m = w

n

5.2 Lemma 3/Euklids Lemma

Hvis p er et primtal og p|zy så må p|z eller p|y

5.3 Lemma 4/Euklids Generaliserede Lemma

Hvis p går op i et produkt af n faktorer, dvs. a

1 2 3 n a a

...a

, så går p op i én af faktorerne.

5.4 Sætning: Hvis x^{n} + y^{n} = z^{n} og n er et primtal ≥ 3 og 2n+1 er et primtal, så må

n|xyz.

5.5 Bevis:

A Vi antager, at x,y,z er indbyrdes primiske, hvilket betyder at deres største fælles divi-sor (sfd) er 1.

(1)Vi vil vise at n går op i xyz:

(*) Vi antager, at n ikke går op i xyz

Da n er et primtal, må n derfor også være et ulige tal, og vi kan derfor sætte z' til -z

13

Følgende beviser og sætninger er lavet med baggrundviden fra Hansen, Johan P, kap. 1-4, Landrock

& Nissen, kap. 4 og Larry Freeman: Sophie’s Proof, 2005

Side 8

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 8

i ligningen x^{n} + y^{n} = z^{n}, hvilket giver os:
x^{n} + y^{n} + (z')^{n} = 0.

                     n     n    n  n     n    n
z' kan sættes til –z, da (z’) = (-z) = (-1) *z = -1*z = -z dvs.

x^{n} + y^{n} = z^{n} ⟺ x^{n} + y^{n} - z^{n} = 0 ⟺ x^{n} + y^{n} + (z')^{n} = 0
Herefter trækker vi –x^{n} fra på begge sider, og vi får nu -x^{n} = y^{n} + (z')^{n}. Dette kan vi om-

skrive til:

-x^{n} = (y+z)(y^{(n-1)} - y^{(n-2)} z + y^{(n-3)} z^{2} - ... + y^{2} z^{(n-3)} - yz^{(n-2)} + z^{(n-1)})^{14}

(2) Vi vil nu vise, at y+z og y^{(n-1)} - y^{(n-2)} z + ... - yz^{(n-2)} + z^{(n-1)} er indbyrdes primiske:

(*) Vi antager først, at de ikke er indbyrdes primiske. Så eksisterer der et primtal p såle-des at:

p|y+z og p|(y^{(n-1)} - y^{(n-2)} z + y^{(n-3)} z^{2} - ... + y^{2} z^{(n-3)} - yz^{(n-2)} + z^{(n-1)}).
Hvis p|y+z er dette det samme som, at z ≡ -y (mod p)

Hvis man bruger det faktum, at z og –y er kongruente modulo p fås at:

(y^{(n-1)} - y^{(n-2)} z + y^{(n-3)} z^{2} - ... + y^{2} z^{(n-3)} - yz^{(n-2)} + z^{(n-1)}) ≡
(y^{(n-1)} - y^{(n-2)} (-y) + y^{(n-3)} (-y)^{2} - ... + y^{2} (-y)^{(n-3)} – y(-y)^{(n-2)} + (-y)^{(n-1)}) ≡
y^{(n-1)} + y^{(n-1)} + y^{(n-1)} + ... + y^{(n-1)} + y^{(n-1)} + y^{(n-1)} ≡ (n)y^{(n-1)} (mod p)

(3) Da vi har y^{(n-1)} n antal gange altså (n)y^{(n-1)}, kan vi tage Euklids Lemma [15] i brug, hvil-

ket må betyde, at p enten går op i n eller p går op i y^{(n-1)}.

(*) Men p kan ikke gå op i n da, n er et primtal så p ville være lig n: [16]

Hvis p = n vil n|(-x)^{n}, da p|(-x)^{n}, fordi p|y+z og –x^{n} = (y+z)(y^{(n-1)} - y^{(n-2)} z + y^{(n-3)} z^{2} - ... +
y^{2} z^{(n-3)} - yz^{(n-2)} + z^{(n-1)})^{17}

Dette vil så betyde, at n|x ifølge Euklids Generaliserede Lemma [18], men dette er umuligt ifølge A1*, hvor vi antog at n ikke går op i xyz. Så p går ikke op i n.

(**) Derudover kan p ikke gå op i y^{(n-1)} for så vil p|y (Igen pga. Euklids Generaliserede
Lemma)^{19} og hvis p|y og p|y+z, så vil p|z men dette er umuligt ifølge A, da der blev anta-

14

  n  n         (n-1) (n-2)    (n-2) (n-1)   (n-1) (n-2) (n-3) 2  (n-2) (n-1)  (n-1) (n-1)
y + z = (y + z)(y - y  z + ... -yz + z ) = y(y - y  z + y  z ... -yz + z ) + z(z +y   -

y_{1)}^{(n-2)} z + ...+y^{2} z^{(n-3)} -yz^{(n-2)}) = y^{n} - y^{(n-1)} z + y^{(n-2)} z^{2} + ... -y^{2} z^{(n-2)} + yz^{(n-1)} + z^{n} + y^{(n-1)} z - y^{(n-2)} z^{2} + ... + y^{2} z^{(n-2)} - yz^{(n-}
= y^{n} + z^{n}

15 se lemma 3

16 et primtal er kun deleligt med sig selv eller 1

17 se lemma 3

18 se lemma 4

19 se lemma 4

Side 9

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 9 get, at x,y,z er indbyrdes primiske.

Da (*) er i strid med A1*, og (**) er i strid med A, må vi afvise antagelsen om, at y+z
og y^{(n-1)} - y^{(n-2)} z + ... - yz^{(n-2)} + z^{(n-1)} ikke er indbyrdes primiske.

B Vi ved fra lemma 2, at der må eksistere et a således at:

y + z = a^{n}
Det samme må gælde for for z+x og x + y så:
-y^{n} = (x+z)(x^{(n-1)} - x^{(n-2)} z + x^{(n-3)} z^{2} - ... + x^{2} z^{(n-3)} - xz^{(n-2)} + z^{(n-1)}).
-z^{n} = (x+y)(x^{(n-1)} - x^{(n-2)} y + x^{(n-3)} y^{2} - ... + x^{2} y^{(n-3)} - xy^{(n-2)} + y^{(n-1)}).

Ud fra dette kan vi altså aflede, at der eksisterer et b og c således at:

z + x = b^{n}
x + y = c^{n}

(1) Vi vil vise at u^{n} ≡ ±1 eller 0 (mod 2n + 1)
Hvis u^{n} ≡ 0 (mod 2n + 1) er vi færdige, så antag at u^{n} ikke er kongruent med 0 modulo
2n+1, dvs. at 2n+1 ikke går op i u^{n}.

(2) Da 2n+1 er et primtal anvendes Fermats Lille Sætning^{20} således at:
u^{2n} ≡ 1 (mod 2n+1)

⇓

(u^{n})^{2} ≡ 1 (mod 2n + 1)^{21}

⇓

u^{n} ≡ ± 1 (mod 2n+1)

C Vi vil vise, at 2n+1|xyz':
(*)Vi antager, at 2n+1 ikke går op i xyz'.

Så fås fra B2 at:

x^{n} ≡ ± 1 (mod 2n+1)
y^{n} ≡ ± 1 (mod 2n+1)
z^{n} ≡ ± 1 (mod 2n+1)

20

a^{p-1} ≡ 1 (mod p), hvor p er et primtal og a er et helt tal, der ikke er et multiplum af p (se evt. foregåen-

de sætning og bevis)

21

x^{2} ≡ 1 mod p ⇒ x^{2} -1 ≡ 0 mod p ⇒ (x-1)(x+1) ≡ 0 mod p x ≡ 1 mod p v x ≡ -1 mod p

Side 10

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 10

Dette er dog umuligt da:

x^{n} + y^{n} + (-z)^{n} ≡ 0 (mod 2n+1)
og summen af ± 1 ± 1 ± 1 kan aldrig blive 0.
x^{n} + y^{n} + (-z)^{n} kan derfor ikke være kongruente med 0 modulo 2n+1
Vi kan altså afvise antagelsen, at 2n+1 ikke går op i xyz'.

(1)Vi antager, at 2n+1|x. (Vi vil være i stand til at lave den samme type af argument, hvis
2n+1|y eller 2n+1|z’)

Så vil b^{n} + c^{n} + (-a)^{n} = 2x gælde da vi fra B ved at:
b^{n} + c^{n} + (-a)^{n} = z + x + x + y -y - z = 2x

(2)(*) Vi vil vise at 2n+1|acb:
Da vi tidligere antog, at 2n+ 1|x, hvor z + x = b^{n}, x + y = c^{n} og y + z = a^{n} må følgende

gælde:

b^{n} + c^{n} + (-a)^{n} ≡ 0 (mod 2n+1)

(**) Vi anvender nu samme argumentet som i C*:

Vi antager, at 2n+1 ikke går op i acb

Hvilket vil betyde at:

b^{n} ≡ ± 1 (mod 2n+1)
c^{n} ≡ ± 1 (mod 2n+1)
(-a)^{n} ≡ ± 1 (mod 2n+1)

Men dette er umuligt da

b^{n} + c^{n} + (-a)^{n} ≡ 0 (mod 2n+1)
og summen af ± 1 ± 1 ± 1 kan aldrig blive 0.
b^{n} + c^{n} + (-a)^{n} kan derfor ikke være kongruente med 0 modulo 2n+1
Vi kan altså afvise antagelsen om, at 2n+1 ikke går op i acb, og tror derfor på, at
2n+1|acb

Side 11

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 11

D Vi vil nu vise, at 2n+1 ikke kan gå op i abc:

(1) 2n+1 går ikke op i b fordi:
2n+1|b → 2n+1| b^{n} → 2n+1| z + x (pga. B, hvor z + x = b^{n})
Vi ved at 2n+1|x, så hvis 2n+1|z+x, må 2n+1|z.

Men dette er umuligt da x og z ikke har nogen fælles divisorer ifølge A.

(2) 2n+1 kan ikke gå op i c pga. samme argument som ovenstående, hvilket er, at, x og y

ikke har nogen fælles divisorer ifølge A.

(3) 2n+1 kan ikke gå op i a:
(*)Vi antager at, 2n+1|a.
Dette må betyde at 2n+1| y + z (da y+z = a^{n}) hvilket vil sige at z ≡ -y (mod 2n+1)

Der vides fra B, at der kan eksistere en værdi d, e således at

d^{n} = y^{(n-1)} - y^{(n-2)} z + ... - yz^{(n-2)} + z^{(n-1)}
e^{n} = x^{(n-1)} - x^{(n-2)} y + ... -xy^{(n-2)} + y^{(n-1)}

(**)Vi anvender vores viden fra A2 og får:

d^{n} ≡ (n)y^{(n-1)} (mod 2n+1)

(***)Vi antog tidligere, at at 2n+1|x, hvilket vil sige at x ≡ 0 (mod 2n + 1). Dette giver os

at:

e^{n} ≡ (0)^{(n-1)} - (0)^{(n--2)} y + ... -(0)y^{(n-2)} + y^{(n-1)} ≡ y^{(n-1)} (mod 2n+1)
e^{n} ≡ y^{(n-1)} (mod 2n+1) indsættes i d^{n} ≡ (n)y^{(n-1)} (mod 2n+1), hvilket vil sige at d^{n} ≡ (n)e^{n}
(mod 2n+1)
Fra B2 vides at d^{n},e^{n} er 0,1, eller -1. Dette må betyde at de er lig 0, da dette er den eneste
måde hvorpå 0 ≡ n*0.

(****)Hvis 2n+1 går op i både d^{n},e^{n}, så går 2n+1 både op i d og e fra Euklids Lemma^{22}
Hvis 2n+1|e indebærer det også at 2n+1|y pga. 3***
Hvis 2n+1|x og 2n+1|y er dette i strid med A, da x,y,z er indbyrdes primiske.

22 se lemma 3

Side 12

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 12

Dvs. vi har opnået en modstrid i både 1,2 og 3, og vi må derfor afvise antagelsen om,

at 2n+1 kan gå op i abc.

E Og dette betyder at trin D er i strid med hele trin C. Vores start-antagelse i A1* må alt-

                                                                     n
så være forkert, da vi har opnået en modstrid, hvilket må bevise vores sætning: Hvis x +

y^{n} = z^{n} og n er et primtal ≥ 3 og 2n+1 er et primtal, så må n|xyz, da det modsatte er

forkert.

QED.

6. Sophie Germains arbejde i relation til Fermats Store Sætning

Med sit store matematiske talent var Sophie Germain revolutionerende indenfor det vide-re arbejde med Fermats Store Sætning. Hun leverede et stykke arbejde, der overgik flere af hendes mandlige kollegers. Hendes formål med beviset var ikke at bevise ét specifikt tilfælde af n, men at bevise sætningen, hvor det er gældende for mange tilfælde, hvilket gav en helt ny indgangsvinkel til løsningen af Fermats Store Sætning. En anden vigtig del af hendes arbejde med sætningen var, at hun formulerede et primtal p således, at p er et

primtal, hvis 2p+1 også er et primtal. Matematikerne Gustav Lejeune-Dirichlet og
Adrien-Marie Legendre beviste begge Fermats Store Sætning i tilfældet n=5, og begge

disse beviser byggede på Sophie Germains forarbejde. Det er også takket være Sophie

Germain at Gabriel Lamé siden hen beviste Fermats Store Sætning for n=7 ved at anven-

de Sophie Germains metoder. Efter Sophie Germains arbejde med sætningen begyndte mange matematikere altså at bevise Fermats Store Sætning i ét tilfælde ad gangen. [23] Det var først i 1995, at matematikeren Andrew Wiles fik bevist Fermats Store Sætning, hvil-

ket han også vandt en pris for^{24}

Sophie Germains arbejde med Fermats Store Sætning har altså haft enorm betydning for det videre arbejde med denne sætning. Det er takket være hende, at andre matematikere har været i stand til at kunne bevise sætningen i forskellige tilfælde af n netop fordi, de har brugt hendes metoder.

23

Foregående afsnit er skrevet med viden fra Singh, Simon, s 132+133

24 leksikon opslag: Andrew Wiles

Side 13

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 13

7. Opfattelsen af Sophie Germains arbejde

Igennem hele Sophie Germains matematiske karriere, har hun korresponderet med for-skellige store matematikere. Dette foregik således, at hun via breve, sendte sit arbejde til dem og herefter fik feedback. Derudover udvekslede hun også arbejde med nogle af disse matematikere og fik på den måde også større viden indenfor det matematiske felt, og her-efter har hun været i stand til at kunne dele ud af sit eget store talent indenfor matematik-kens gådefulde univers. Nogle matematikere viste sig dog at være mere begejstrede for hendes arbejde end andre.

4. november 1797 skrev Joseph Lalande et brev til Sophie Germain. Brevet er sandsyn-ligvis skrevet som en undskyldning på en tidligere korrespondance imellem de to:

”You told me that you had read Laplace’s Systême du Monde and that you did not wish to read my short work on atronomy. I said that i thought that you could not understand one without the other. I assume that it was this suggestion that caused your anger. For this I apologize. Best Regards La-lande.” (Bucciarelli, Louis m.fl.:, ”Sophie Germain – an essay in the history of the theory and elasti-city”, 1980, s 13)

Den bog Lalande anbefaler Sophie Germain at læse, viser sig at være en bog specielt skrevet til kvinder, der vil studere. Dette viser, at Lalande ikke tager Sophie Germain se-riøs som den intellektuelle kvinde hun nu engang er, og det er højst sandsynligt dette, der fremprovokerer en vrede i hende. Det, at Lalande undskylder i slutningen af brevet, viser dog, at han respekterer hende som person.

20. april 1807 sender Carl Friedrich Gauss svar på et brev, hvori Sophie Germain afslø-rer, at hun er en kvinde. Gauss bliver overrasket, men intet ændrer hans matematiske og intellektuelle syn på hende:

”But when a woman, because of her sex, our customs and prejudices, encounters infinitely more ob-stacles than men in familiarizing herself with their knotty problems, yet overcomes these fetters and penetrates that which is most hidden, she doubtless has the most noble courage, extraordinary talent, and superior genius. “ (Bucciarelli, Louis m.fl.:, ”Sophie Germain – an essay in the history of the theory and elasticity”, 1980, s 25)

Side 14

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 14

I dette brev roser Gauss Sophie Germain for hendes mod og hendes talent. Han mener hun må være et ”overlegent geni”, når hun på trods af de sædvanlige fordomme om kvin-der alligevel mestrer noget af det sværeste matematik.

23. juli 1815 sendte Jean Delambre, på vegne af akademiet, et takkebrev til Sophie Ger-main for hendes opgave ’Researches on the Theory og Elastic Surfaces’. I brevet skriver han: ”Accept, I beg of you, mademoiselle, the homage of my respect, Delambre.” [25]. Dette citat viser, at Delambre respekterer Sophie Germains arbejde. Han ligefrem bønfalder hende om at acceptere hans respekt for hendes arbejde.

Augustin Cauchy sender i 1821 den 8. juli et brev til Sophie Germarin, hvori han kom-plimenterer hendes arbejde og nærmest undskylder, at hans eget arbejde er dårligere:

”I have the work which you had the kindness to send me – a work, the name of whose author and the importance of whose subject recommended it equally to the attention of geomters. At this times I can only offer you in return a volume in which I have sought to clarify the difficult principles of alge-braic analysis. Please accept it, I pray you, together with the testimony of my deep consideration and my very humble respects. Augustin Cauchy” (Kempis, Thomas, ”An appreciation of Sophie Germain”, 1939, s 88)

Dette brev tyder på, at Sophie Germain og Augustin Cauchy sender hinanden deres ar-bejde indenfor forskellige matematiske problemer. I dette brev er det klart, at Augustin Cauchy ser op til Sophie Germain, idet han ligestiller hendes arbejde med andre geome-ters . Igen, ligesom Delambre, beder han for hendes accept af ham og hans arbejde.

Alle disse kilder er primærkilder, da brevene er skrevet midt i ”begivenheden”, jeg netop undersøger. Kilderne er derudover også førstehåndskilder, da de er breve, og derved er de levn fra Sophie Germains tid. Ydermere må kilderne siges at være pålidelige, da afsen-derne højst sandsynligt ikke er blevet påvirket af nogle ydre faktorer, da breve oftest er fortrolige. Afsenderne kan selvfølgelig være påvirket af samfundets tendenser på davæ-rende tidspunkt, men man må gå ud fra, at afsendernes holdning i brevene er deres egne personlige holdninger. Det, at alle korrespondancerne kun er imellem Sophie Germain og

25

Kempis, Thomas, ”An appreciation of Sophie Germain”, 1939, s 88

Side 15

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 15 kollegerne kan alligevel måske have haft en vis indflydelse på deres holdning til hendes arbejde, da de måske ikke har ønsket at fornærme hende eller på anden måde opføre sig uhøfligt . Jeg har derfor valgt en kilde mere, der vil belyse, at det ikke udelukkende har været pga. høflighed, at hun har fået så mange komplimenter for hendes arbejde.

Guglielmo Libri, var en italiensk matematiker, og han skriver i sit afsluttende afsnit i ud-kastet til en biografi om Sophie Germain:“Such was this superior woman, who of all who pursued mathematical studies the farthest, the only one, to our knowledge, who has made

                                                26
real progress(….)will keep her name alive for a long time.”

. Disse ord blev skrevet om

Sophie Germain i en biografi. Det er altså ord, der er kommet til offentlighedens kend-skab, hvilket må betyde, at det ikke bare er skrevet for at virke høflig overfor Sophie Germain eller for at smigre hende. Det er ord som Libri har ment og kan stå inde for.

Denne kilde er et ekstra stærkt vidnesbyrd til de andre kilder, da den er offentligt tilgæn-gelig og underbygger derved de andre kilder i, at Sophie Germain har været en overlegen matematiker.

I korrespondancerne imellem Sophie Germain og de forskellige store matematikere er hovedparten af dem tilfredse og meget imponerede over Sophie Germains matematiske formåen. Dog skiller en af kilderne sig ud: brevet fra Lalande. Lalande er noget mere skeptisk i troen på Sophie Germains matematiske arbejde. Dette skyldes formentlig dati-dens samfundstendenser, da det som tidligere nævnt ikke var normalt, at kvinder studere-de og tog en akademisk uddannelse. Men hovedparten af hendes matematiske kolleger var ligeglade med samfundstendenserne og accepterede og respekterede hendes matema-tiske arbejde.

Den. 8. Januar 1816 vandt Sophie Germain en pris af ”The French Academy” for hendes

                                               27
arbejde ”Recherches sur la théorie des surfaces élastique”.

Hun var den første franske kvinde, der havde opnået at modtage denne pris. Hun nåede at få anerkendelse og respekt for sit arbejde af sine matematiske kolleger i samtiden. og nåede derudover også at få symbolet (prisen) på den anerkendelse alle kollegerne gav hende i brevene til hende.

26

Bucciarelli, Louis m.fl.:, ”Sophie Germain – an essay in the history of the theory and elasticity”, 1980, s

116-117

27

Bettye Anne m.fl., s 72

Side 16

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 16

8. Perspektivering af Sophie Germains arbejde til nutiden

Da vi i dag lever i en verden, hvor den moderne informationsteknologi udbreder sig mere og mere, er kryptografi og kryptering blevet vigtige elementer i hverdagen. Kryptografi er en metode, hvorpå man kan hemmeligholde vigtige informationer. Dette bruges bl.a.

ved afsendelse af e-mails eller handel over internettet. Da vi handler mere over internettet end nogensinde før [28], er det vigtigt, at man kan føle sig tryg, når man handler.

Primtal er hele grundlaget for den populære RSA-kryptering, som man fx bruger til be-skyttelse af personlige data ved handel via internettet. RSA-kryptering foregår således, at man multiplicerer to primtal p og u. Disse to tal bliver så til et 3. pseudoprimtal g. For at åbne ”data-pakken”, skal man vide hvilke to primtal, der dannede g. Man siger, at man faktoriserer g i dets primtal. [29]

Det er her, hvor Sophie Germain kommer ind i billedet, da hun med sit arbejde har bidraget til kryptologi, da de mest sikre primtal at bruge ved kryptering netop er Sophie Germain-primtal. Som tidligere beskrevet er et Sophie Ger-main-primtal defineret således:

p er et Sophie Germain-primtal, hvis 2p+1 også er et primtal

Hvis p og 2p+1 er primtal, så er h=2p+1 et sikkert primtal, da (h-1) ikke kan have små

primtalsfaktorer, hvilket gør det svært at faktorisere. Hvis et tal er svært at faktorisere, er kryptering med tallet sikkert. [30] Sophie Germain har på den måde ikke kun bidraget til det videre arbejde med Fermats Store Sætning, hun har også bidraget til noget så vigtigt som kryptering. Et fænomen, der i dag er så vigtigt, da hele vores samfund nærmest bygger på og er afhængig af hemmeligholdelse af informationer og dokumenter.

Sophie Germains arbejde indenfor det matematiske felt, har ikke kun bidraget til den nye informationsteknologi, hun har også været en normbryder og var den første kvinde, der vandt en pris af ”The Paris Academy of Science”. [31]

Hun er her igennem en kvinde man-ge kan se op til selv i vore dage. Det, at hun var den første kvinde der vandt den pris, og derfor en af de første kvinder, der blev accepteret i det franske naturvidenskabelige miljø,

28

Kirstine Kloster Andersen, ”Vi handler mere på nettet”, ComOn, 2011

29

Rasmus Kragh Jacobsen, ”Primtal-gåde er løst”, Købehavns Universitet, Information, 2002

30

Wells, David, ”Primtal - matematikkens gådefulde tal fra A-Ø”, København, 2006 s 244

31

Petrovich, Vesna, ”Eighteenth-Century Studies”, 1999, s 385

Side 17

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 17 kan perspektiveres til den danske professor Lene Hau, der i 1999 formåede at bremse ly-

sets hastighed fra 300.000 km/sek til, at en kravlende baby kan bevæge sig hurtigere. Le-

ne Hau har også vundet mange priser for denne epokegørende opfindelse, men ligesom Sophie Germain kender hun alt til diskriminationen i det naturvidenskabelige miljø. Lene Hau har derfor også været nødt til at bevise, at hun var bedre og dygtigere end de mandli-ge kolleger for at bestride samme stilling og få samme anerkendelse for det. Sophie Ger-mains arbejde havde stor betydning i hendes samtid og stadig den dag i dag, hvilket man også forventer, at Lene Haus opdagelse vil have. Begge personer er store og betydnings-fulde kvinder indenfor den naturvidenskabelige verden, og som Sophie Germain allerede er nu, vil Lene Hau formentligt også om nogle år være indskrevet i den naturvidenskabe-

                             32
lige og historiske litteraturs værker.

9. Konklusion

Kvindernes stilling i det matematiske miljø i Sophie Germains samtid har ikke været sær-lig fremtrædende, da der ikke var tradition for, at kvinder fik sig en høj uddannelse. Der-udover var det ikke tilladt for kvinder at studere på anerkendte og fornemme skoler, men Sophie Germain brød normerne og læste alligevel på en af de mest fornemme skoler, École Polytechnique ved at antage en falsk identitet. Det var personer, som den franske filosof Jean-Jacques Rousseau, der forårsagede, at kvinderne ikke blev taget mere seriøse, hvis de ønskede at studere. Han var en indflydelsesrig mand, da menneskerettighedser-klæringen bygger på hans forestillinger om mennesket. Man kan derfor nemt forestille sig, at befolkningen også anerkendte hans ord med hensyn til kvindens stilling, hvor han mener, at kvinder ikke er skabt til at studere, da dette ligger udenfor deres kompetence område. Yderligere har det vist sig, at for at blive kvindelig matematiker ville det være en fordel at være i familie med en matematiker for at blive taget seriøs.

Sophie Germain var en af de få anerkendte kvindelige matematikere og brugte i sit bevis af Fermats Store Sætning en ny definition af primtal, der i dag går under navnet Sophie

Germain-primtal. Et primtal er et Sophie Germain-primtal, hvis p er et primtal og 2p+1

32

Peter Hyldgård, ”Dansk top-forsker vil pakke lyset ned i sin kuffert”, 2011 og Robin Engelhardt, ”Lysets mester”, information, 2000

Side 18

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 18 også er et primtal. Andre matematikere har ved at bruge hendes primtal og hendes meto-der været i stand til at bevise Fermats Store Sætning i forskellige tilfælde af n.

Hun har fået meget anerkendelse for sit arbejde både indenfor matematikkens verden så-vel som fysikkens af sine matematiske kolleger. Der er dog enkelte kolleger, der ikke har taget hendes arbejde lige så seriøst som andre har. Dette skyldes i høj grad samfundets syn på kvinder på daværende tidspunkt. Men i det store hele opfattede hendes matemati-ske kolleger hendes arbejde som noget meget positivt og banebrydende, og mange af hendes kolleger udtrykte endvidere stor begejstring for hendes personlighed.

Selv den dag i dag er Sophie Germains arbejde stadig af stor betydning, da man ved kryp-tering bruger Sophie Germain-primtal for at sikre at primtallet er sikkert at kryptere med.

Kryptering bruges for at holde informationer hemmelige for andre ved fx internethandel og e-mails. Endvidere kan hendes arbejde betydning perspektiveres til den danske profes-sor i fysik Lene Hau, der gjorde det muligt at bremse lysets hastighed. Både Sophie Ger-main og Lene Hau har haft stor betydning indenfor hver sit felt, og har begge oplevet at blive diskrimeret pga. af deres køn.

Side 19

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 19

Litteraturliste

Bøger

Singh, Simon oversat af Jan Teuber: Fermats Store Sætning

Nordisk Forlag A/S, København 1997.

Barber, Nicola oversat af Torben Wilhelmsen: Den Franske Revolution

Forlaget Flachs, Holte, 2004

Larsen, Mihail: Samfundspagten

Forlaget Rhodos, København, 1987

Bryld, Carl-Johan: Verden før 1914 i dansk perspektiv

Forlaget Systime, Århus, 2008, 1. udagve 2. oplag.

Høffding, Niels: Revolutionen, Napoleon og Kvinderne – Fra hofsamfund til diktatur

Nordisk Forlag A/S, København, 2001, 1.udgave 1. oplag.

Bjørn, Anders: Leve revolutionen – det revolutionære Frankrig

Forlaget Columbus, København, 1990, 1. udgave 2. Oplag

Hansen, Johan P. mfl.: Algebra og Talteori

Nordisk Forlag A/S, København, 2002, 1. udgave 1. oplag

Landrock & Nissen: Kryptologi - fra viden til videnskab

Forlaget ABACUS, 1997, 1. udgave 1.oplag

Bucciarelli, Louis m.fl.: Sophie Germain – an essay in the history of the theory and elasti-city Forlaget Reidel, Holland, 1980, 1. udgave 1. Oplag

Case, Bettye Anne m.fl.: Comlexities – women in matematics

Forlaget Princeton University Press, Oxfordshire, 2005 1.udgave 1. oplag

Side 20

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 20

Wells, David: Primtal - matematikkens gådefulde tal fra A-Ø

Nyt Teknisk Forlag, København, 2006, 1. udgave 1. Oplag

Elektroniske Artikler

Larry Freeman: Sophie’s Proof, 2005

http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/08/sophies-proof.html
d. 13/12 2011

Leksikon opslag: Andrew Wiles

http://www.denstoredanske.dk/It,_teknik_og_naturvidenskab/Matematik_og_statistik/Mate
matikkens_historie/Andrew_Wiles
d. 15/12 2011

Kirstine Kloster Andersen: Vi handler mere på nettet, ComOn, 2011

http://www.comon.dk/art/141052/vi-handler-mere-paa-nettet
d. 16/12 2011

Rasmus Kragh Jacobsen: Primtal-gåde er løst, Købehavns Universitet, Information,

2002

http://www.information.dk/72429
d. 16/12 2011

Peter Hyldgård: Dansk top-forsker vil pakke lyset ned i sin kuffert, 2011

http://videnskab.dk/miljo-naturvidenskab/dansk-top-forsker-vil-pakke-lyset-ned-i-sin-

kuffert

d. 21/12 2011

Robin Engelhardt: Lysets mester, information, 2000

http://www.robinengelhardt.info/art/information/LeneHau2.html
d. 21/12 2011

Artikler

Kempis, Thomas: An appreciation of Sophie Germain

Side 21

[navn fjernet] 3.y Munkensdam Gymnasium

Studieretningsprojekt 21 udgivet af Matematical Association of America, National Mathematics Magazine vol. 14 No. 2, november 1939

Petrovich, Vesna: Eighteenth-Century Studies udgivet af The John Hopking Univeristy Press, Constructions of Feminity, vol. 31 No. 3, forår 1999