SRP om spilteori og den kolde krig i Historie A og Matematik A

Side 1

- 2.X SIDE 1 AF 28

Skoleåret

Område Spilteori i forhold til den kolde krig.

Opgaveformulering

En kortfattet redegørelse for og diskussion af årsagerne til den kolde krigs udbrud samt af årsagerne til dens ophør.

Du skal redegøre for relevante begreber inden for sandsynlighedsregning og for vigtige begreber inden for spilteori. I forlængelse af redegørelsen skal du opstille en spilteoretisk model for konflikten omkring ”Starwars”. Opgaven i

Bilag 1 skal inddrages i dette.

Udvælg nogle afgørende konflikter under den kolde krig og diskutér i den sammenhæng spilteoriens løsninger i forhold til virkelighedens og vurdér generelt spilteoriens anvendelighed i krisesituationer.

STX 3.g STX 3.g, 2x 17

Studieretningsf ag Historie A Fag Matematik A

Vejleder STX 3.g Vejleder STX 3.g

Forventet omfang

20 - 25 sider ud over forside, indholdsfortegnelse, litteraturliste og evt. bilag.

Side 2

- 2.X SIDE 2 AF 28

Abstract

In this assignment, I have sought to shed light on the Cold War, and the incredible arms race it caused, taking my basis in the causes of the Cold War and the military doctrines that would dominate strategic planning in East and West. I examined how game-theoretic models can be applied historical conflicts, centering my analysis in the diplomatic games that arose during the Cuban misile crisis. Thereby I was able to compare different models and how they relate to the ultimate outcome. I was able to use one of these models for diplomacy in the age of mutually assured destruction, and apply it to a later conflict Namely the controversy sorrounding the Strategic Defense Initiative of 1983. These models did help shed light on a very complex issue,

but one must take care in applying them − their results should not be taken at face value, but

must be analyzed and put into a historical context for them to be valid.

Side 3

- 2.X SIDE 3 AF 28

Indholdsfortegnelse

Abstract .............................................................................................................................................................................................. 2 Indledning ......................................................................................................................................................................................... 3 Fundamental spil-teori og sandsynlighedregning ............................................................................................................ 5 Baggrund og forudsætninger for spil-teorien ............................................................................................................... 5 Sandsynlighedsregning - afhængighed og uafhængighed ........................................................................................ 7 Starten på Den Kolde Krig ...................................................................................................................................................... 11 Europa efter 1945 .................................................................................................................................................................. 11 MAD-doktrinen og våbenkapløbet .................................................................................................................................. 11 Spilteorien påført Cubakrisen ................................................................................................................................................ 12 Krisen og handlemuligheder ............................................................................................................................................. 12 Brinkmanship - diplomati på randen ............................................................................................................................. 13 Schellings model påført Cubakrisen ............................................................................................................................... 16 Theory of Moves ..................................................................................................................................................................... 18 Vurdering af modellerne ..................................................................................................................................................... 20 Den Kolde Krigs afslutning ...................................................................................................................................................... 22 Ronald Reagan og SDI ........................................................................................................................................................... 22 Den Kolde Krigs afslutning ................................................................................................................................................ 25 Konklusion ..................................................................................................................................................................................... 26 Litteraturliste ................................................................................................................................................................................ 27 Bilag .................................................................................................................................................................................................. 28 Opgave fa vejleder .................................................................................................................................................................. 28 Indledning

Det 20. århundredes afslutning var især præget af én stor begivenhed Den Kolde Krigs afslutning. En trykket verdensbefolkning kunne endeligt ånde lettet op og træde ud af den lurende atomkrigs skygge.

Men hvad var grunden til dette utrolige militærkapløb, hvor begge nationer havde magten til at påføre verdenssamfundet katastrofale skader? I denne opgave vil jeg søge at belyse den Kolde Krig, og de

Side 4

- 2.X SIDE 4 AF 28 mekanismer, der gjorde disse slags arsenaler nødvendige, samt hvordan en politisk leder kan føre en diplomatisk forhandling under disse omstændigheder.

Side 5

- 2.X SIDE 5 AF 28

Fundamental spil-teori og sandsynlighedregning

Baggrund og forudsætninger for spil-teorien

Mennesker har altid været optaget af, at maksimere udbyttet af deres handlinger. Man kan påstå, at alt, vi foretager os, sker ud fra en vurdering af indsats og udbytte En såkaldt cost-benefit analyse. Når jeg vælger at tage på arbejde i stedet for at tage til stranden, sker det ud fra den overbevisning, at det vil være mig mere gavnligt i det lange løb at trække i arbejdstøjet. Når en aktør kan træffe beslutning, uden at andre aktører har indflydelse på udvalget, er der tale om et beslutnings-problem. Hvad spil-teorien i stedet beskæftiger sig med er situationer hvor to spillere begge søger at maksimere deres udbytte, og hvor den enes valg har indflydelse på den andens. I midten af det 20. århundrede blev spil-teorien for alvor formaliseret af von Neumann og Morgenstern, da de udgav ”Theory of Games and Economic Behavior”. Senere blev deres teorier udbygget af andre matematikere, der ivrigt udforskede denne nyligt beskrevne metode, hvormed situationer og handlinger kunne analyseres. Især kan fremhæves T.

Schelling, J. Nash og L. Shapley.

Spil-teorien udforsker som sagt, hvilke valg en spiller skal træffe, hvis denne ønsker at maksimere sit udbytte. Da mennesker som bekendt findes med et væld af temperementer og tankeevner, vælger man i spil-teorien at antage at alle spillere er rationelle. Med dette menes der at spilleren kender og forstår spillets regler. Alt efter hvilken type spil, der er tale om, ændres spillets regler. Men i spil med komplet information, der er den første type, jeg vil arbejde med, kender alle spillere

1. alle mulige handlinger, som hver spiller kan træffe,

A,

2. alle mulige udfald,

X

3. hvordan kombinationen af alle spilleres handlinger påvirker det resulterende udfald,

4. alle spilleres præferencer over udfald.^{1}

Jeg vil ud fra dette nu stykvis opbygge spillet ”Fangernes Dilemma” for at introducere basal notation og terminologi. I dette spil er to forbrydere K og R blevet arresteret af politiet, derfor indeholder spillet et sæt med 2 spillere

𝑁={𝐾,𝑅}

De får nu begge et valg mellem to handlinger De kan enten angive deres kollega eller tie. Dette afføder to handlings-sæt

𝐴_{𝑖} = { 𝑇𝑖_{𝑖},𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣𝑒_{𝑖}} ∀𝑖∈𝑁

Alle deltagende spillere skal fra starten af spillet vælge en strategi

.

En strategi er en drejebog, der fortæller spilleren, hvilken handling han skal tage på et givent tidspunkt. En strategi kan f.eks. være Hvis du stiller mig spørgsmål x

1

, giver jeg dig svaret y

1

, hvis du stiller mig spørgsmål x

2 giver jeg dig svaret. Da dette spil antager at spillerne vælger deres handling uden at kende til den andens y

2 beslutning, bliver spillernes strategi-sæt da blot lig deres handlings-sæt

1

(Tadelis 2013), s. 45

Side 6

- 2.X SIDE 6 AF 28

𝑆_{𝑖} = { 𝑇𝑖𝑒_{𝑖},𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣𝑒_{𝑖}} ∀𝑖∈𝑁

Ud fra disse to sæt, kan der opstilles fire strategi-profiler, 𝑠∈𝑆_{1} × 𝑆_{2}. En strategiprofil er en

kombination af mulige strategier, én fra hver deltagende spiller

𝑆=
⎩ {𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣_{𝐾},𝑇𝑖𝑒_{𝑅}} ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

{ 𝑇𝑖𝑒_{𝐾},𝑇𝑖𝑒_{𝑅}}
{ 𝑇𝑖𝑒_{𝐾},𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣_{𝑅}}
{ 𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣_{𝐾},𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣_{𝑅}}

Disse fire strategiske profiler munder hver især ud i et udfald

𝑋=
⎩ 𝑥 ( 𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣_{𝐾},𝑇𝑖𝑒_{𝑅}) ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

𝑥 ( 𝑇𝑖𝑒_{𝐾},𝑇𝑖𝑒_{𝑅}),
𝑥 ( 𝑇𝑖𝑒_{𝐾},𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣_{𝑅}),
𝑥(𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣_{𝐾},𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣𝑒_{𝑅})

Vi får nu brug for en måde at angive, hvilke udfald hver spiller foretrækker. Til dette benytter jeg pay-off funktioner. En pay-off funktion omdanner udfald til værdier, 𝑢𝑋→ℝ. Disse værdier er ganske arbitrære og kun et udtryk for den enkelte spillers præference over udfald. Lad os først se på de mulige udfald. Begge forbrydere får at vide at

- hvis begge forbrydere vælger

Tie vil de begge blive idømt ét års fængsel

- hvis K vælger og R vælger bliver K idømt ti års fængsel mens R går fri

Tie

Angiv

- hvis R vælger og K vælger bliver R idømt ti års fængsel mens K går fri

Tie

Angiv

- hvis begge forbrydere vælger

Angiv vil de begge blive idømt otte års fængsel

Hvis jeg lader ét års fængsel være lig med et udbytte på -1, kan jeg f.eks. opskrive udbyttet af et af udfaldet

𝑢_{𝐾} ( 𝑥 ( 𝑇𝑖𝑒_{𝐾},𝑇𝑖𝑒_{𝑅})) =−1

Jeg definerer en anden funktion 𝑣_{𝑖} (𝑠) der omdanner strategiprofiler til udbytte så at

𝑢_{𝑖} ( 𝑥 ( 𝑠)) =𝑣_{𝑖} (𝑠)

Ud fra disse forudsætninger kan vi nu begynde at bevæge os ind på et centralt tema i spil-teorien Ækvilibrier

. Et ækvillibrium, er den strategi-profil, der fremkommer, når alle spillere vælger den s*, i

strategi 𝑠_{𝑖}^{∗}, der giver dem det mest ønskede udfald. Der findes forskellige afskygninger af definitioner

på ækvilibrier, men den mest udbredte er

Nash ækvillibriet

. Et Nash ækvillibrium fremkommer, hvis

Side 7

- 2.X SIDE 7 AF 28 ingen af spillerne ved at ændre deres strategi kan opnå et højere udbytte . Altså hvis alle spillere har

                     ∗                                  ∗
                                                          2
valgt deres        , 𝑠 , til de andre spilleres bedste strategier 𝑠 . Formelt kan dette sættes op som
                     𝑖                                  −𝑖

bedste svar

∀ 𝑖, 𝑣_{𝑖} ( 𝑠_{𝑖}^{∗}, 𝑠_{−}^{∗}_{𝑖}) ≥ 𝑣_{𝑖} ( 𝑠_{𝑖}^{′}, 𝑠_{−}^{∗}_{𝑖}), ∀ 𝑠_{𝑖}^{′} ∈ 𝑆_{𝑖}^{3} (1)

Før jeg giver mig til at regne på dette, sætter jeg spillet op i matrix-form. Matrix-formen er en måde

at skabe overblik over endelige spil^{4} med to spillere. Jeg opskriver

K

Tie Angiv

R

Tie − 1, −1 − 10, 0
Angiv 0, −10 − 8, −8

Tabel 1 Fangernes Dilemma

Her er værdierne inde i matrixen spillernes udbytte, hvor (𝑧,𝑦) angiver (𝑢_{𝑅} ( 𝑥),𝑢_{𝑘} ( 𝑥)). Jeg ser, at der

for spiller K gælder

𝑣_{𝐾} ( 𝐴𝑛𝑔_{𝐾},𝑠_{𝑅}) >𝑣_{𝐾} ( 𝑇𝑖𝑒_{𝐾},𝑠_{𝑅}) ∀𝑠_{𝑅} ∈𝑆_{𝑅}

Derfor kan jeg konkludere, at K’s bedste svar må være Da dette spil er symmetrisk^{5} er R’s

Angiv.

                                                ∗
bedste svar også   . Ekvillibriet indfinder sig da ved 𝑠 =(𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣 ,𝐴𝑛𝑔𝑖𝑣 ). Dette virker måske ikke
                                                         𝐾       𝑅

Angiv

særligt intuitivt, da udfaldet i så fald bliver værre for dem begge end havde de valgt (𝑇𝑖𝑒_{𝐾},𝑇𝑖𝑒_{𝑅}). Men

spilteorien antager netop, at begge spillere handler ud fra et ønske om at maksimere deres eget udbytte

- og maksimerer den enkelte spillers udbytte i alle situationer.

Angiv

Sandsynlighedsregning - afhængighed og uafhængighed

Nogle gange vil en beslutning ikke udmønte sig i et konkret udfald. Men snarere en chance for et bestemt udfald. Jeg vil derfor senere i opgaven indføre spilleren

Natur

. Spilleren Natur er en såkaldt pseudo-spiller der ved et punkt i spillet tilfældigt vælger mellem to eller flere handlinger. Før dette får jeg dog brug at redegøre for de vigtigste begreber inden for sandsynlighedsteorien. Grundlaget for den klassiske

sandsynlighedsregning var formlen^{6}

𝑃 ( 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑡 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑) =

𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑑𝑓𝑎𝑙𝑑

2

𝑠_{−𝑖} betyder den strategiske profil der fremkommer af de andre spilleres valgte strategier, som ikke indeholder
spiller s strategi. 𝑠_{−𝑖}^{∗} er da et sæt af alle andre spilleres bedste svar.

i’

3

𝑠_{𝑖}^{′} angiver enhver anden strategi end spiller s bedste svar.

i’

4

Et endeligt spil er et spil med en endelig mængde spiller, der alle har en endelig mængde strategier.

5

I et symmetrisk spil kan man bytte om på begge spilleres identitet uden at ændre udfaldene.

6

(Sørensen 2008), s. 9

Side 8

- 2.X SIDE 8 AF 28

Dette er dog en grov model. Den antager, at alle udfald sker med lige stor sandsynlighed; at sandsynlighedsfeltet er et såkaldt Laplace-felt. Da jeg ønsker en mere alsidig definition opskriver jeg i

                                           7
stedet formlen for det endelige sandsynlighedsfelt

∑ 𝑝 ( 𝑥_{𝑖}) = 1 hvor 𝑥_{𝑖} ∈ 𝑋 = ( 𝑥_{1}, 𝑥_{2} … 𝑥_{𝑛}) og 𝑝 ( 𝑥_{𝑖}) ≥ 0 (2)

𝑛

𝑖 = 1

Her angiver

X en mængde af mulige udfald og n angiver antallet af mulige udfald. 𝑝(𝑥) er

sandsynlighedsfunktionen, hvor 𝑝(𝑥_{𝑖}) angiver punktsandsynligheden for udfaldet 𝑥_{𝑖}. Denne formel

fastslår også at sandsynligheden for at hvertfald én af disse sker er lig 1 Der kan ikke fremkomme et udfald, der ikke er i udfaldsrummet. Bemærk også, at et udfald ikke kan have en negativ sandsynlighed.

Hvis jeg som eksempel tager et kast med en seks-sidet terning får vi jf. (2)

∑𝑝(𝑥_{𝑖}) =1 hvor 𝑥_{𝑖} ∈{1,2…6}og 𝑝 ( 𝑥_{𝑖}) ≥0

6

𝑖=1

Hvis jeg antager at det ikke er en snyde-terning må sandsynligheden for hvert udfaldt være det

samme − der er altså tale om et Laplace-felt. Derfor

𝑝 ( 1) =𝑝 ( 2) =𝑝 ( 3) =𝑝 ( 4) =𝑝 ( 5) =𝑝 ( 6) ⇒
𝑝 ( 1) + 𝑝 ( 2) + 𝑝 ( 3) + 𝑝 ( 4) + 𝑝 ( 5) + 𝑝 ( 6) =6 · 𝑝 ( 1) ⇒
6 · 𝑝 ( 1) =1⇔
𝑝 ( 1) = ⇒

1

6

𝑝 ( 1) =𝑝 ( 2) =𝑝 ( 3) =𝑝 ( 4) =𝑝 ( 5) =𝑝 ( 6) =

1

6

Hvis jeg immidlertid ikke er interreseret i sandsynligheden for et vist udfald men snarere sandsynligheden for at udfaldet opfylder et vist kriterie, benytter man hændelser

. En hændelse er en delmængde af udfaldsrummet og indeholder alle de udfald, der opfylder kriteriet. Hvis jeg i eksemplet med terningen kun ønsker at undersøge sandsynligheden for at udfaldet bliver et lige tal, angiver jeg hændelsen som

B

𝐵={2,4,6}

Sandsynligheden for at udfaldet er i bliver derfor x

B

𝑃 ( 𝐵) =∑ 𝑝 ( 𝑥) =𝑝 ( 2) + 𝑝 ( 4) + 𝑝 ( 6) =

𝑥∈𝐵

1

2

7

(Sørensen 2008), s. 12 − bemærk at i denne opgave ikke benyttes som symbol for en stokastisk variabel

X

Side 9

- 2.X SIDE 9 AF 28

Hvis vi nu angiver en anden hændelse

C der indeholder alle alle udfald, hvor der bliver slået under fire

𝐶={1,2,3}

Terningen kastes nu, og jeg får at vide at terningen viser under fire øjne Jeg ved nu med sikkerhed, at er indtruffet. Jeg ønsker nu at finde den betingede sandsynlighed 𝑃(𝐵|𝐶) for at er indtruffet hvis C

B

C er indtruffet. Jeg kan herfra sige, at

B kun indtræffer hvis og kun hvis 𝑥∈𝐵∩ 𝐶. Sandsynligheden for, at udfaldet er i

B og

C

’s fællesmængde, før jeg kender til udfaldet er 𝑃

(

𝐵∩ 𝐶

)

. Den eneste situation, hvor

B kun bliver opfyldt af 𝐵∩ 𝐶 er hvis,

C er indtruffet. Hvis vi antager, at jeg ikke ved, om

C er indtruffet, men kun 𝑃(𝐶) får jeg da

𝑃 ( 𝐵 | 𝐶) · 𝑃 ( 𝐶) =𝑃 ( 𝐵∩ 𝐶) ⇔
𝑃 ( 𝐵 | 𝐶) =

𝑃 ( 𝐵∩ 𝐶)

𝑃 ( 𝐶)

Jeg kan benytte denne formel til at udregne sandsynligheden for at er indtruffet hvis er det B

C

𝑃 ( 𝐵 | 𝐶) = ⇒

𝑃 ( 𝐵∩ 𝐶)

𝑃 ( 𝐶)

𝑃 ( 𝐵 | 𝐶) =

1

3

Dette gælder immidlertid kun, hvis de to hændelser er afhængige. Hvis jeg i stedet slår to terninger, en rød og en grøn, får jeg et nyt udfaldsrum givet ved

X

𝑋= { 1,2,…,6} × { 1,2,…,6}

Da der stadig antages, der ikke er tale om snyde-terninger, kender jeg punktsandsynligheden for en vilkårlig kombination af terninger som

𝑝 ( 𝑥) = ∀𝑥∈𝑋

1

36

Jeg angiver en hændelse som de tilfælde, hvor den røde terning er 6

B

𝐵= { ( 6,1), ( 6,2), ( 6,3), ( 6,4), ( 6,5), ( 6,6)} ⇒
𝑃 ( 𝐵) =

1

6

Og en hændelse som de tilfælde, hvor den grønne terning er 6

C

𝐶= { ( 1,6), ( 2,6), ( 3,6), ( 4,6), ( 5,6), ( 6,6)} ⇒
𝑃 ( 𝐶) =

1

6

Side 10

- 2.X SIDE 10 AF 28

Den grønne terning bliver slået, og jeg observerer, at den viser seks øjne. Jeg kan altså konstatere, at C er indtruffet. Jeg udregner ud fra dette betingede sandsynlighed for, nu jeg ved er indtruffet C

B

𝑃 ( 𝐵 | 𝐶) = =

𝑃(𝐵∩ 𝐶) 1

𝑃 ( 𝐶) 6

Herved ser jeg, at

𝑃 ( 𝐵 | 𝐶) =𝑃 ( 𝐵)

Når sandsynligheden af en hændelse under betingelse af en anden hændelse er lig den ubetingede sandsynlighed for hændelsen, er de to uafhængige. Jeg omskriver

𝑃 ( 𝐵∩ 𝐶)

𝑃 ( 𝐶)

=𝑃 ( 𝐵) ⇔
𝑃 ( 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃 ( 𝐵) 𝑃 ( 𝐶) (3)

Jeg afprøver (3) ved at udregne 𝑃(𝐵∩ 𝐶) der gerne skal være lige 𝑝(6,6)

𝑃 ( 𝐵∩ 𝐶) = · = =𝑝(6,6)

1 1 1

6 6 36

Hvis jeg i stedet er interesseret i at udregne sandsynligheden for at summen af de to øjne er elleve eller tolv, angiver jeg nu en handling

D

𝐷= { ( 6,5), ( 5,6), ( 6,6)} ⇒
𝑃 ( 𝐷) = + + =

1 1 1 1

36 36 36 12

Lad os benytte (3) til at forsøge at udregne 𝑃(𝐷∩ 𝐶)

𝑃 ( 𝐷∩ 𝐶) = · =

1 1 1

12 6 72

Dette kan immidlertid ikke være sandt, da

𝐷∩ 𝐶= { ( 6,6), ( 5,6)} ⇒
𝑃 ( 𝐷∩ 𝐶) =𝑝 ( 6,6),𝑝 ( 5,6) = + =

1 1 1

36 36 23

Jeg ser heraf, at (3) kun gælder hvis de to hændelser er uafhængige. Grunden til dette ligger netop i,

at^{𝑃}^{(}_{𝑃}^{𝐷∩𝐶}_{(} ≠𝑃(𝐷). Jeg opskriver mine konklusioner

)

𝐶)

• En hændelse er kun afhængig af en hændelse hvis^{𝑃}^{(}_{𝑃}^{𝐷∩𝐶}_{(} ≠𝑃(𝐷)

B

C

)

𝐶)

• En hændelse er kun uafhængig af en hændelse hvis 𝑃 ( 𝐷∩ 𝐶) =𝑃 ( 𝐷) 𝑃(𝐶)

B

C

Side 11

- 2.X SIDE 11 AF 28

Starten på Den Kolde Krig

Europa efter 1945

Ved 2. Verdenskrigs afslutning i 1945 stod verden pludselig i en ny, ustabil situation. En koalition af meget umage allierede havde ved fælles hjælp aftronet en fælles fjende, og spørgsmålet var nu, hvorledes det politiske landkort skulle se ud efter Det Tredje Riges fald. To nationer, USA og USSR, begge født ud af revolutioner og begge tilhørende modsatrettede ideologier, de hver især søgte at påføre resten af verden, stod nu overfor hinanden i et sønderrevet Europa. Sovjetunionen påstod, de havde historien på deres side, og at det var deres ideologiske pligt at fremme den kommunistiske verdensrevolution.

Amerikanerne søgte både at udbrede deres ideologi og deres koncept om gudgivne menneskerettigheder, men mere kynisk kan man sige, at de også søgte flere markeder, hvor amerikanske forbrugsgoder kunne afsættes, og derved stimulere den amerikanske økonomi. Slutteligt var også ønsket om beskyttelse. Amerikanerne ønskede at beskytte sig mod Stalin, der havde klare mål

om et kommunistisk Europa.^{8} I 1946 sendte George Kennan det berømte ”lange telegram” til den

amerikanske udenrigsminister, hvori han opridsede Sovjetunionens interesser og bevæggrunde. Heri klargør han, at Sovjetunionen vil søge at bekæmpe de vestlige kapitalistiske nationer. Han beskriver, at man ved at udbrede vestlige værdier og styrke det internationale fællesskab kunne svække den kommunistiske sag, da

”World communism is like [a] malignant parasite which feeds only on diesased tissue.”

9

Dette telegram bliver grundlaget for den amerikanske udenrigspolitik mod Sovjetunionen^{10} og d. 12.

marts, 1947 konkretiseres dette, da præsident Harry S. Truman annoncerer Truman-doktrinen, der

dikterer opdæmning af kommunismen overalt, hvor den opstår^{11} − denne strategiske doktrin bliver det

tankemæssige grundlag for bl.a. Marshall-hjælpen, Korea-krigen og krisen i Taiwanstrædet og anses af mange som startskudet til den Kolde Krig.

MAD-doktrinen og våbenkapløbet

Efter verdenskrigens afslutning stod amerikanerne stærkere end sovjetterne rent strategisk Deres økonomi var blevet styrket af krigen og de var på det tidspunkt den eneste nation med adgang til atomvåben. Præsident Truman udtrykte i 1949 at atomvåben var det eneste, der afholdt Sovjetunion fra

at overløbe Europa i 40’erne^{12}. I sommeren 1949 lykkedes det immidlertid sovjetiske videnskabsmænd

at tilføre det sovjetiske militær deres egen atombombe og udligne dette strategiske forspring. I hhv.

1952 og 1953 øges både amerikanernes og sovjetternes destruktive kræfter betydeligt, da de første hydrogenbomber bliver sprængtestet. Hydrogenbomberne viste sig at være så potente, at det var svært

at sige, hvad deres nytte i en militær konflikt kunne være − hvorfor kæmpe, når det ville betyde en total

                                  13
udslettelse af det, man søgte at forsvare?

Herved fødtes idéen om atomvåben som et psykologisk våben

8

(Gaddis 2006), s. 18

9

”George Kennan’s Long Telegram”, 22. februar 1946. Hentet fra nsarchive.gwu.edu d. 19/12-2015.

10

(Gaddis 2006), s. 33

11

(Gaddis 2006), s. 35

12

(Gaddis 2006),

13

(Gaddis 2006), side 67

Side 12

- 2.X SIDE 12 AF 28 snarere end en klassisk militær magt og derved også, hvad der senere ville blive til MAD-doktrinen

(mutually assured destruction). MAD-doktrinen dikterer at ethvert atomart angreb vil blive besvaret med et atomart angreb. Altså ville et angreb med atom-våben udmønte sig i en overvældende katastrofe for begge nationer. Derfor skal begge nationer, hvis MAD-doktrinen skal kunne benyttes til at afholde den anden fra at starte en atomkrig have, hvad der kaldes ”second-strike capability”. Dette betyder groft sagt, at man i tilfælde at et atomart angreb skal kunne svare med et angreb der ville påføre modstanderen katastrofale tab. Denne blev i løbet af den Kolde Krig den dominerende militære doktrin.

Derved opstod gnisten til et utroligt våbenkapløb, da des større modstanderens atomarsenal er, des større må ens eget være, så der i tilfælde af et angreb vil være nok tilbage til at kunne svare igen med et modangreb. Dette våbenkapløb sammenlignes tit med Spil 1, ”Fangernes Dilemma”, hvor begge spillere ville få et større udbytte af at samarbejde, men alligevel altid vil vælge en konflikt, da de antager, at modstanderen altid vil vælge den strategi, der maksimerer hans udbytte.

Spilteorien påført Cubakrisen

Krisen og handlemuligheder

Cuba havde siden den Cubanske Revolution i 1959 været en torn i øjet på den amerikanske^{14} regering.

Truman-doktrinen dikterede opdæmning af kommunismens spredning, men alligevel var en kommunistisk republik opstået under 200 km. fra den amerikanske østkyst. Amerikanske sikkerhedstyrker havde i 1961 ved Invasionen i Svinebugten søgt at vælte den kommunistiske regering i Cuba, men uden held. I en CIA-rapport fra august 1962 konkluderes der, at trods generel lav opbakning til Castro-regimet, ville en intern cubansk opstand ikke være i stand til at ændre status quo, da den cubanske hær vurderes utroligt loyale over for den kommunistiske sag samt veludrustede med våben og udstyr fra Sovjetunionen. I rapporten nævnes også, at det anses som usandsynligt, at Sovjetunionen ville udfordre status quo og udstationere tropper på Cuba eller udstyre regimet med våben, der ville

gøre dem i stand til at udføre større militære aktioner.^{15}

Men i sommeren 1962 eskalerede situationen immidlertid. Amerikanske overflyvninger af Cuba med observationsflyet U-2 afslørede at der i perioden 25.-31. juli blev modtaget en større end normalt mængde våben og udstyr fra Sovjetunionen. Umiddelbart derefter obseverede amerikanerne ved videre

                                                       16
overflyvnin, at sovjetterne opsatte missil-instalationer på Cuba.

Den sovjetiske oprustning af Cuba fortsætter over efteråret, og det samme gør den amerikanske overvågning af situationen.

D. 17. oktober samledes USA’s nationale sikkerhedsråd (NSC) for at underrette præsident Kennedy og hans ministre om situationen. M. Carter, chef for NSA, beskriver i et notat at udenrigsminister D. Rusk

var ”stærkt foruroliget” over denne udvikling^{17}. Rusk påpeger dog at J. A. McCone, chef for CIA, havde

forudset situationen siden midten af august, og at han derfor havde overvejet mulige svar på den sovjetiske oprustning af Cuba. Ifølge Rusk burde man overveje at foretage hurtige, overraskende bombetogter med henblik på at udslette de cubanske militærinstallationer. Alternativt kunne man gennem en tredje part informere Castro om, at dette er det sidste strå, og at han ved yderligere oprustning risikerer en total invasion af øerne. I al fald var der ved mødet stærk enighed om, at en

14

I denne opgave vil Amerika, amerikansk og amerikanere alle benyttes om Amerikas Forenede Stater og dets indbyggere.

15

(McAuliffe 1992), s. 9, ”The Situation and Prospects in Cuba”, 1961

16

(McAuliffe 1992), s. 7, ”Timetable of Soviet Military Build-Up in Cuba”, 1962

17

(McAuliffe 1992), s. 145 ”Carter Memorandum for the Record”, 17. oktober 1962

Side 13

- 2.X SIDE 13 AF 28 blokade af Cuba bør sættes i værk snarest muligt. I dagene mellem d. 17. og 22. oktober mødtes NSC op til flere gange dagligt og diskuterede mulige reaktioner på situationen. D. 19. samledes sikkerhedsrådet igen og J. A. McCone noterede at D. Rusk lader til at have ændret sit standpunkt siden mødet d. 17.

oktober^{18}. Rusk lader til at være splittet i sin holdning til hvordan, man bør reagere. Han giver udtryk

for, at en overraskende invasion af Cuba kan udgøre en stor risiko for USA, grundet den store fare for videre eskalation. Det vil endvidere lægge pres på NATO-alliancen, da man i så fald ville angribe uden at diskutere det med de deltagende nationer. Derudover måtte man, ifølge Rusk, forvente et sovjetisk modangreb i Berlin, Korea og muligvis endda det amerikanske fastland. På den anden side ville en manglende vilje til at lægge pres på Kruschchev også såre amerikanske forbindelser, da USA vil fremstå

svagt og ukonsekvent − hvis USA ikke kan forsvare sine interesser lige ud for sin kyst, hvordan kan

amerikanerne så love at ville beskytte sine allierede?

Brinkmanship - diplomati på randen

D. 22. oktober holdt Kennedy sin tale til nationen, hvori han afslørede den konkrete information han havde om oprustningen af Cuba. På samme tid iværksættes blokaden af Cuba hvorved han gør det klart, at han er villig til at tage risikoen af en konfrontation for at forhindre opsætningen af yderligere missil-installationer på Cuba. Han benytter samtidig lejligheden til at cementere, at

“Our policy has been one of patience and restraint, as befits a peaceful and powerful nation, which leads a world-wide alliance. […] But now further action is required-and it is underway; and these actions may only be the beginning.”

19

Senere samme dag sender han et telegram til Krustjev, hvori han skriver

”It was in order to avoid any incorrect assesment on the part of your

Government with respect to Cuba that I publicly stated that if certain developments in Cuba took place, the United States would do whatever must be done to protect its own security and that of its allies.”

20

Herved søger Kennedy at gøre det klart overfor Krustjev, at han er villig til at matche enhver eskalation, og derved gøre det mindre attraktivt for sovjetterne at eskalere situationen. Dette leder mig frem til en central problemstilling Hvorledes kan man benytte sin militære magt og vilje til eskalation i en diplomatisk forhandling, når det aldrig kan være til nogen af parternes fordel at indlede en militær konflikt? Svaret kan måske findes i forhandlingsmetoden ”brinkmanship”.

Thomas C. Schelling undersøger i

Strategy of Conflict

(1981) mekanismerne, når to atommagter forhandler. Han pointerer, at en trussel skal efterfølges af konsekvens, hvis den først fremsættes. Derfor kan det aldrig være tilladt at fremsætte en trussel om en total krig med atomvåben, da man i så fald sætter sig i en situation, hvor et krav, der ikke imødekommes i så fald ender med fuldstændig gensidig

18

(McAuliffe 1992), s. 183, ”McCone, Memorandum for File”, 19. october 1962

19

“J. F. K. Address on the Cuban Crisis”, 22. oktober 1962. Hentet fra fordham.edu d. 13/12-2015.

20

”Letter from President Kennedy to Chairman Khrushchev”, 22. oktober 1962. Hentet fra history.state.gov d.

15/14-2015.

Side 14

- 2.X SIDE 14 AF 28 destruktion. Derfor, argumenterer Schelling, må man i stedet true med en eskalation af situationen ved hjælp af mindre aggresioner. Implikationen er, at en lille aggression ikke er truslen i sig selv, men at en lille agression indebærer en lille chance for massiv krig. Som han skriver

”Randen er ikke, fra dette perspektiv, en skarp klippekant, hvor man kan stå sikker, kigge ned og beslutte sig for at hoppe eller ej. Randen er en kurvet skråning, man kan stå på med en vis risiko for at glide ned og

trække sin modpart med sig − denne skråning bliver stejlere og stejlere,

des nærmere man kommer kløften.”

21

Schelling foreslår, at en sådan situation kan opsættes som et spil finit spil med to spillere, hvor hver

har to strategier at vælge mellem^{22}

K

I II

R i 1, 0 0, 1

ii 0, 0 − Y, − X

Spil 2

Brinkmanship

Her antages og at være over 1. I dette spil får K lov til at rykke først, hvorefter R får lov at svare.

Y

X

R får dog lov til at fremsætte en trussel inden K rykker. Hvis R truer med at svare ii hvis K vælger II, vil man forvente at R altid vælger I, da dette i så fald vil give det bedste udfald for dem begge. Men denne trussel må kun fremsættes, hvis R er helt sikker på, K da vil vælge I. Men, påpeger Schelling, måske misforstår K truslen, måske vælger K ved et uheld II, da situationen er ude af hans hænder, måske har K fuldstændigt misforstået R’s præferencer over udfald. En sådan trussel ville i så fald være fatal Det ville tvinge R til enten at vælge et katastrofalt udfald, eller svække hans fremtidige forhandlingskraft betydeligt, hvis han ikke kan følge op på sine trusler. I stedet bør R true med at vælge ii med en vis sandsynlighed, 𝜋∈[0,1], hvis K vælger II. En sidste forudsætning for Schellings model er risikoen 𝑃∈

[0,1] for, at K stadig ved et uheld vælger II, selv hvis truslen bevirker at K ville få større udbytte af at vælge I

P og π er altså uafhængige, under forudsætningen, at π er så stor, at den gør det mere attraktivt for K at vælge I.

Bemærk, at R’s trussel er bindende, hvilket vil sige, at han ikke kan ændre taktik efter han har fremsat

sin trussel. Hvis han vælger 𝜋=0,9 er det ude af hans kontrol, og han vælge ii med ni ud af ti gange,

vil hvis K ender med at vælge II. Hvad R her bruger, kaldes en blandet strategi. En blandet strategi

tilhørende spiller, 𝜎_{𝑖}, er sandsynlighedsfordeling over en spiller s mulige strategier. Hvis en spiller

i i’ har mulige strategier, må en blandet strategi indeholde sandsynligshedsfunktioner. Hvis jeg først n n opskriver spiller s strategi-sæt i’

𝑆_{𝑅} ={i,ii}

21

(Schelling 1981), s. 199-200

22

(Schelling 1981), s. 178-181

Side 15

- 2.X SIDE 15 AF 28

Kan jeg opskrive den blandede strategi, han her benytter som^{23}

𝜎_{𝑅} =( ( 1 − 𝜋),𝜋)

Nu skal R beslutte sig for, hvor stor han skal gøre truslen, π

, før den er effektiv. Før jeg bestemmer dette indfører jeg begrebet forventet udbytte, 𝐸[𝑢 ( 𝑥)], der defineres ved

𝑣 ( 𝑠) =𝐸 [ 𝑢 ( 𝑥)| 𝑠] =∑𝑝 𝑢 ( 𝑥_{𝑖}) hvor 𝑋={𝑥_{1},𝑥_{2},…,𝑥_{𝑛}}

𝑖 𝑛

𝑖=1

Jeg benytter dette for spiller K til at udregne hans forventede udbytte af at vælge hhv. I og II efter R har leveret sin trussel

𝑣_{𝐾} ( I,𝜎_{𝑅}) =𝐸 [ 𝑢_{𝐾} ( x) |I] = ( 1 − 𝜋) · 0 − 𝑃𝑋⇔
𝑣_{𝐾} ( I,𝜎_{𝑅}) =𝐸 [ 𝑢_{𝐾} ( x) |I] =−𝑃𝑋

𝑣_{𝐾} ( II,𝜎_{𝑅}) =𝐸 [ 𝑢_{𝐾} ( x) |II] =−𝜋𝑋+ (1 − 𝜋) · 1⇔
𝑣_{𝐾} ( II,𝜎_{𝑅}) =𝐸 [ 𝑢_{𝐾} ( x) |II] =−𝜋𝑋+ 1 − 𝜋

Da K antages at være en rationel spiller, vælger han først I, når

𝑣_{𝑘} ( I,𝜎_{𝑅}) >𝑣_{𝑘} ( II,𝜎_{𝑅}) ⇒
−𝑃𝑋>−𝜋𝑋 + 1 − 𝜋⇔

𝜋>

𝑃𝑋 + 1
𝑋+ 1

Nu ved vi altså, hvor stor truslen skal være, før det vil være i K’s bedste interesse at vælge I. R’s forventede udbytte falder immidlertid også, jo større truslen bliver. Dette kan illustreres ved at undersøge udfaldende og deres punktsandsynligheder. Jeg starter med at opskrive de mulige udfald i et udfaldsrum

X

𝑋={ ( I,i), ( II,i), ( I,ii), ( II,ii)}

Hvis vi antager, at truslen er stor nok til, at K foretrækker at vælge I, bliver punktsandsynlighederne da

𝑝 ( I,i) = ( 1 − 𝑃)
𝑝 ( II,i) =𝑃· ( 1 − 𝜋)
𝑝 ( I,ii) =0
𝑝 ( II,ii) =𝜋𝑃

23

Bemærk, at en spillers sæt over blandede strategier ∆𝑆_{𝑖} er uendeligt stort, da sandsynlighederne kan være

kontinuerte i [0,1]

Side 16

- 2.X SIDE 16 AF 28

Heraf ses, at 𝑝 ( II,ii) stiger lineært med. Det gælder altså for R at true med den laveste mulige værdi π π der stadig opfylder kriteriet, der tidligere blev sat op. Jeg opskriver R’s forventede udbytte ved den

blandede strategi, 𝜎_{𝑅}, hvis truslen er stor nok til at K altid vil vælge I

𝑣_{𝑅} ( I, 𝜎_{𝑅}) = 1 − 𝑃 − 𝑌𝜋𝑃 (4)

Hvis R i stedet vælger ikke at fremsætte en trussel, altså vælger strategien i, ville han få udbyttet 0.

Derfor skal der gælde følgende, før 𝜎_{𝑅} giver ham det største udbytte

1 − 𝑃− 𝑌𝜋𝑃>0⇔
1 − 𝑃

𝑌𝑃

>𝜋

Så for at 𝜎_{𝑅} skal være R’s bedste svar skal der gælde, at

1 − 𝑃 𝑃𝑋 + 1
𝑌𝑃 𝑋 + 1

> 𝜋 >

(5)

Altså opstår der et ekvillibrium ved

𝑠^{∗} = ( 𝜎_{𝑅},I) hvis 𝜋∈[,]

( 1 − 𝑃) 𝑃𝑋 + 1
𝑌𝑃 𝑋+ 1

Situationen afhænger derfor af Hvor meget der er på spil, hvis (II, ii) bliver valgt, og hvor stor sandsynligheden er for, at II bliver valgt på trods af truslen.

P

Schellings model påført Cubakrisen

Der er nu opsat en generel model for brinkmanship. Lad os nu forsøge at påføre denne Cuba-krisen, ved at lade spillet starte d. 22. oktober, efter blokaden er blevet indført. Jeg bør først fortolke på modellen, før jeg benytter den. I denne situation er π størrelsen af det modsvar, sovjetterne forventer, amerikanerne vil udføre, hvis de ikke stopper skibene. Hvis sovjetterne forventer, at amerikanerne vil forholde sig passivt bliver da lig 0. Hvis de forventer at amerikanerne vil svare med et fuldt atomart π angreb af Sovjetunionen bliver lig 1. Det er altså risikoen for at USA’s modsvar vil bringe situationen π ud af kontrol. er her chancen for, at situationen allerede er løbet løbsk At man ikke kan nå at kalde P skibene tilbage, før amerikanerne er villige til at angribe.

Y angiver her de skader, amerikanerne ville lide i tilfælde af en atomkrig og

X er skaderne, sovjetterne ville lide i tilfælde af en atomkrig. (I, i) angiver udfladet, hvor sovjetterne trækker sig, (II, i) angiver udfaldet, hvor sovjetterne får lov at opsætte misilerne på Cuba og (II,ii) angiver udfaldet, hvor der udbryder atomkrig. Hvis vi antager, at begge

nationer lider lige store tab i tilfælde af atomrkrig angiver jeg at 𝑋=𝑌=5. Jeg kan nu optegne en graf

for loftet og gulvet af som funktion af π

P

Side 17

- 2.X SIDE 17 AF 28

Figur 1 π P

’s loft og gulv som funktion af

På denne figur er det grå område de værdier, π kan antage og stadig overholde (5) som funktion af

P.

Heraf ses nødvendigheden af at fremsætte en trussel, inden situationen får lov at eskalere for meget,

da mængden ’s værdier der opfylder (5) bliver hastigt mindre, når har passeret 0,2 − altså bliver

π

P amerikanernes handlemuligheder færre. Når så passerer 0,32, kan USA ikke længere fremsætte en P overbevisende trussel, der ikke skader deres eget udbytte. Lad os immidlertid nu også se på USA’s forventede udbytte. USA får det højeste forventede udbytte ved at vælge den laveste værdi af der π opfylder (5). Derfor kan jeg udtrykke USA’s maksimale forventede udbytte som funktion af ved at P kombinere (5) og (4)

𝑢_{𝑚𝑎𝑥} ( 𝑃) =1 − 𝑃 −𝑌𝑃· ⇒

𝑃𝑋+ 1
𝑋+ 1
𝑢_{𝑚𝑎𝑥} ( 𝑃) =1 − 𝑃 −5𝑃·

5𝑃 +1
5 + 1

Jeg indtegner dette i en graf

Figur 2 USA's maksimale mulige udbytte ved at vælge

𝜎_{𝑈𝑆𝐴} P

som funktion af

Ud fra dette, kan jeg konkludere, at Kennedys bedste træk under Cuba-krisen, ifølge denne model, er at benytte sig af den mindst mulige, effektive trussel, samt at overbevise Krustjev om at denne trussel er reel, inden situationen eskalerer så meget, at sandsynligheden for en katastrofal gensidig udslettelseskrig bliver så stor, at det er mere favorabelt at forholde sig passivt.

Hvis jeg nu undersøger Sovjetternes forventede udbytte, kan jeg måske komme tættere på grundlaget for, at operationen overhovedet blev sat i værk. Svaret kan findes i deres forventninger. Som nævnt

Side 18

- 2.X SIDE 18 AF 28 tidligere angiver i dette eksempel russernes forventning om amerikanernes svar på aggresionen. Jeg π antog i et tidligere afsnit, at Krustjev havde fejlvurderet amerikanernes vilje til handling. Ud fra disse antagelser angiver jeg som lig 0, da beslutningen om at sende missilerne til Cuba bliver truffet. At er π π lig 0, betyder at de regnede med at amerikanerne ville vælge den rene strategi i og at ekvillibriet derfor ville indtræde ved

𝑠^{·} = ( II,i) ⇒
𝑣_{𝑈𝑆𝑆𝑅} (𝑠^{∗})=1

Efter Kennedys tale og senere korrespodence med Krustjev samt hans vedholdenhed ved blokaden, stiger både og immidlertid, hvorved USSR’s forventede udbytte falder, og det bedste svar til sidst P π bliver I. Jf. Schelling er det netop da Kennedy viser

, at han er villig til at handle, at Krustjev bliver overbevist, og til sidst vælger at afblæse operationen.

Modellen illustrerer fint det tætte spil mellem forventning om modstanderens træk, det negative udbytte ved at lade situationen løbe ud af kontrol og det diplomatiske råderum. Jeg forsøger dog med en anden model, navneligt Brams ”Theory of Moves”.

Theory of Moves

I 1993 udgav S. J. Brams bogen “Theory of Moves” (TOM). I denne søgt han at gøre op med de gamle og ikke særligt virkelighedssvarende regler, der tit var implicitte i spil-teoretiske værker. Han forsøgte derved at gøre spil-teoretiske modeller mere dynamiske. I stedet for, at en spiller fra starten slår sig fast på en strategi, får de under Brams forudsætninger muligheden for at ændre strategi som svar på deres

modstanders valg. Brams regler kan påføres alle ordnede^{24} spil med to spillere, hvor hver spiller har to

strategier. Spillereglerne for TOM er

1. Spillere starter i en start-tilstand i et af felterne i et 2x2 udbytte-matrix, i modsætning til

2. Hver spiller kan selvstændigt skifte sin strategi, og derved skiftes tilstanden. Den første spiller der får muligheden for at skifte kaldes spiller 1 (P1).

3. Spiller 2 (P2) får herefter muligheden for at skifte sin strategi, hvorved tilstanden igen ændres.

4. Sådan får spillerne muligheden for at skifte strategi, indtil én af spillerne vælger ikke at skifte strategi. Tilstanden spillet er i, når en af spillerne vælger at fastholde sin strategi kaldes slut-tilstanden, og er spillets udfald.

5. Hvis tilstanden på et tidspunkt vender tilbage til start-tilstanden bliver denne slut-tilstanden.

6. Hver spiller tager konsekvenserne af andre spilleres rationelle træk til overvejelse, når denne beslutter sig for at skifte strategi. Hvis det er rationelt for spiller 1 at rykke fra start-tilstanden

                                                   25
og for spiller 2 at blive i start-tilstanden, får spiller 1 forrang.

24

I et ordnet spil er udbyttet kun et udtryk for spillernes præferencer. Udbytterne 1, 2, 3 betyder udfaldet der giver 3 foretrækkes over udfaldet der giver 2, der foretrækkes over udfaldet der giver 1. I et ordnet spil differentieres der altså ikke i, om spilleren foretrækker 2 over 1 mere end han foretrækker 3 over 2.

25

(S. J. Brams 1993)

Side 19

- 2.X SIDE 19 AF 28

Med udgangspunkt i disse seks regler, opsætter jeg et nyt spil, løst baseret på spillet ”Succes”. Jeg antager at dette spil starter d. 22 oktober, efter blokaden er blevet annonceret. Jeg lader amerikanerne vælge mellem og. Sovjetterne får valget mellem strategierne og

Blokade

Luftangreb

Fortsæt

Tilbagetrækning

USA

Blokade Luftangreb

USSR

Fortsæt 4,1 1,4

Stop 3,3 2,2

Spil 3 Succes

Dette skal fortolkes således, at hvis USA vælger at holde sig til blokaden, og sovjetterne fortsætter med at opsætte misiler, er dette en sejr for USSR. Hvis sovjetterne vælger at trække sig tilbage, men amerikanerne stadig udfører et overraskende luftangreb, er dette det næstværste udfald for begge spillere, da det ville skade amerikanernes omdømme, sovjetternes strategiske ståsted, samt øge mistilliden mellem de to nationer. Hvis luftangrebet udføres efter sovjetterne har givet udtryk for at stå fast på kursen, og der er givet advarsel, vil dette være en sejr for amerikanerne, da de så har udført en berettiget agression. Hvis blokaden fastholdes og sovjetterne trækker sig tilbage ender spillet med et kompromis. Start-tilstanden er () da blokaden er indført, og sovjetterne d. 22. oktober

Blokade, Fortsæt fortsat opsætter missilinstallationer på Cuba.

Lad os først betragte spillet som en konventionel spil-teoretisk model. Hvis vi ser på (1) fra opgavens første afsnit

∀𝑖,𝑣_{𝑖} ( 𝑠_{𝑖}^{∗},𝑠_{−𝑖}^{∗}) ≥𝑣_{𝑖} ( 𝑠_{𝑖}^{′},𝑠_{−𝑖}^{∗}),∀𝑠_{𝑖}^{′} ∈𝑆_{𝑖}

Når man søger at finde et Nash-ekvillibrium, fungerer det ofte ved prøve. En strategiprofil foreslås, og det undersøges, om kravene for et Nash-ekvillibrium er overholdt. Når man forsøger at finde frem til en strategiprofil som kandidat til ekvillibriet, kan det være en fordel at benytte pile, således USA

Blokade Luftangreb

USSR ↑ ↓

Fortsæt 4,1 → 1,4

Stop 3,3 ← 2,2

Pilene angiver, hvilken strategi en spiller vil vælge som svar på en modspillers strategi. Da ingen af pilene peger i samme retning, er ingen strategi et bedste svar på den strategi, man antager

modstanderen vælger. Heraf vides, at spillet ikke indeholder et rent Nash-ekvillibrium^{26}. I stedet kan

jeg, ved at påføre spillet TOM’s regler, finde, hvad Brams kaldte et ”fremsynet ekvillibrium”. Dette

26

Der kan stadig findes et Nash-ekvillibrium, hvis der tillades blandede strategier, men det er ikke det, jeg er interesseret i her.

Side 20

- 2.X SIDE 20 AF 28 benytter sig af baglæns induktion til at finde ud af, hvornår en spiller vil stoppe med at ændre tilstand. I dette spil starter USA med at rykke. Jeg kigger på det sidste mulige træk i spillet At USSR skifter taktik fra stop til fortsæt. Vi ser her, at sovjetterne vil skifte taktik, da spillet derved ville slutte og give dem udbyttet 4. Derfor kalder man (4,1) det ”overlevende udfald”, hvis spillet når til tilstanden (3,3) Vi kan

.

gøre det samme for tilstanden før. Hvis spillet når (2, 2), vil amerikanerne da ændre taktik? Her er svaret nej. For de ser fremad, og ser at hvis spillet når (3,3) vil USSR ændre tilstanden til (4,1), derfor bliver overleveren (2,2) i tilstanden (2,2). Dette gøres hele vejen tilbage, så

USA USSR USA USSR

Tilstand (4,1) (1,4) (2,2) (3,3)

Overlever (2,2) (2,2) (2,2) (4,1)

Derfor opstår der et fremsynet ekvillibrium i (2,2), da amerikanernes fremsynede udbytte ville blive mindre, hvis de ændrede taktik i denne tilstand. Hvis vi immidlertid ændrer reglerne, så vi tillader cykliske spil (at spillet ikke slutter, når det når start-tilstanden) kan jeg måske finde et mere interessant ekvilibrium. Brams angiver regel 5 og 6 i cykliske spil som

5. Hvis en spiller på et tidspunkt har muligheden for at ændre strategi i en tilstand, der ville give denne det bedste udbytte, slutter spillet.

6. På et eller andet tidspunkt bliver spiller 2 nødt til at stoppe med at skifte tilbage til start-tilstanden.

Dette virker intuitivt nok Spillerne kan ikke vedblive at skifte strategi hele tiden, og spillet må på et eller andet tidspunkt komme til sin slutning. I dette eksempel kan det som i spil 2 Dette ændrer ekvillibriet. Da sovjeterne ved at se fremad, kan se at de vil blive tvunget til at ende spillet i (3,3), hvilket gør denne til den sidste tilstand, hvorfra jeg igen udfører baglæns induktion

USA USSR USA

Tilstand (4,1) (1,4) (2,2) (3,3)

Overlever (3,3) (3,3) (3,3)

Heraf ses, at spillet vil nå et ekvillibrium i (3, 3) og altså ende i et kompromis.

Vurdering af modellerne

Situationen i Cuba eskalerede indtil d. 28. oktober, hvor et kompromis blev indgået, og parterne begyndte at nedtrappe konflikten. Indtil da havde dommedagsuret nærmet sig slaget tolv tættere og tættere. Af af de mere alvorlige hændelser kan nævnes Nedskydningen af et amerikansk U-2-fly over Cuba d. 27. oktober, tilbageholdelsen af tankskibet

Bucharesti

d. 25. oktober samt den fortsatte opsætning af misiler på Cuba under krisen. I et brev d. 27. oktober angiver Kennedy, at han er interesseret i indgå et kompromis, hvori de cubanske missiler bliver fjernet og USA giver en garanti for at stoppe aggresionerne mod Cuba. Kennedy understregede samtidig i brevet, at bolden nu er på Krustjevs banehalvdel

Side 21

- 2.X SIDE 21 AF 28

”But the first ingredient, let me emphasize, is the cessation of work on missilie sites in Cuba and measures to render such weapons inoperable, under effective international guarantees.”

27

Sideløbende med dette mødtes præsidentens bror, Robert F. Kennedy, med den sovjetiske ambassadør i Washington, Anatoly Dobrynin, hvor han lovede, at amerikanerne ville fjerne amerikanske misil-baser i Tyrkiet, men at dette skulle holdes hemmeligt og ikke skulle anses for en quid pro quo-

     28
aftale. Dagen efter besvarer Krustjev amerikanernes forslag med to breve Ét hvori betingelserne i

Kennedys brev accepteres og ét hvori han udtrykker taknemmelighed over den sideløbende, hemmelige aftale om de amerikanske missiler i Cuba. I brevet giver Krustjev udtryk for, at han synes, at denne situation fik lov at løbe for langt ud af kontrol

”Mr. President, the crisis that we have gone through may repeat again.

This means that we need to address the issues which contain too much explosive material. […] [W]e cannot delay the solution to these issues, for continuation is frought [sic] with many uncertainties and dangers.”

29

Hvis vi ser i forhold til Schellings model, hænger det fint sammen med spillernes udbytte som funktion af At begge spillere vil søge at eskalere situationen kun til det punkt, hvor det er dem gavnligt, P og ellers vil nedtrappe. Schellings model antager dog, at Kennedy knægtede sovjetterne ved behændig brinkmanship og den korrekte størrelse trussel. Jeg vil i stedet argumentere, at udfaldet i højere grad har karakter af et kompromis. Dobrynin bemærker i et brev til Krustjev om mødet med R. Kennedy

“I should say that during our meeting R. Kennedy was very upset; in any case, I’ve never seen him like this before. […] He didn’t even try to get into fights on various subjects, as he usually does, and only persistently returned to one topic time is of the essence and we shouldn’t miss the chance.”

30

Det var altså ikke en kølig amerikansk ledelse, der på iskold og kalkulerende vis truede sovjetterne indtil de gav sig. Begge sider ønskede at stoppe konflikten, og J. F. Kennedy’s vilje til at ende den, selv hvis det betød indrømmelser over for sovjetterne ses tydeligt, da Dobrynin spørger ind til de amerikanske misiler i Tyrkiet

27

”Telegram From the Department of State to the Embassy in the Soviet Union”, 27. oktober, 1962. Hentet fra

history.state.gov d. 15/14-2015.

28

(Leffler 2007), s. 156

29

”Letter From Chairman Khruschchev to President Kennedy”, 28. oktober, 1962. Hentet fra history.state.gov d.

15/14-2015.

30

“Cable, Ambassador Dobrynin to the Soviet Foreign Ministry, Meeting With Robert Kennedy”, 27. oktober 1962.

Hentet fra digitalarchive.wilsoncenter.org d. 13/12-2015.

Side 22

- 2.X SIDE 22 AF 28

“If that is the only obstacle to achieving the regulation I mentioned earlier, then the president doesn’t see any unsurmountable difficulties in resolving this issue,” replied R. Kennedy.

31

Hvis jeg i steder kigger på den anden model opbygget omkring Bram’s, ser jeg, at

Theory of Moves den vurderer at et kompromis må være k. Man kan antyde den fremsynede tankegang i mange af møderne og korrespodencen mellem øst og vest. I mødet mellem R. Kennedy og Dobrynin giver Kennedy f.eks. udtryk for, at præsidenten i høj grad er under pres fra sin generalstab De ønsker at udføre et luftangreb så hurtigt som muligt for at begrænse de amerikanske skader i tilfælde af en atomar udveksling mellem USA og USSR. Sovjetter anser dette som et ufavorabelt udfald, og vil derfor hellere kompromiset. Derved kan man groft sagt påstå, at lederne på begge sider benyttede sig af en form for baglæns induktion til at se, at kompromiset var begge spilleres bedste svar.

De to modeller har begge fordele og ulemper, når man søger at analysere en krisesituation. Schellings model antager, at spilleren der får lov at fremsætte truslen først, automatisk får lov at styre spillets gang At spiller 2 ikke får lov til selv at vælge en blandet strategi. Schellings spil bliver derved en anelse ensidigt. Schellings model gør immidlertid én i stand til at undersøge situationen, hvor man ændrer på nogle af de variable, der bestemmer hhv. en spillers udbytte samt chancen for utilsigtet atomkrig − ulempen ved dette er, at modellen i høj grad er afhængig af arbitrære variable (bemærk f.eks. at figur 1,

s. 16 foreslår, at USA ville kunne få et positivt udbytte af at vælge π = 1, da er sat for lav), der er svære

Y at fastslå ud fra empirien. Modsat er fordelen ved Brams model netop, at der er tale om et ordnet spil, hvilket gør den mere generelt brugbar, da det er nemmere at fastslå en spillers generelle præferencer end præcis hvor meget en spiller foretrækker ét udfald over et andet.

Jeg har nu opsat to forskellige modeller, der kan benyttes til analyse af en diplomatisk krisesituation, med hver deres anvendelsesmetode. Jeg vil i det næste afsnit benytte Schellings model til at kaste lys over konflikten omkring præsident Ronald Reagan’s ”Strategic Defence Initiative”.

Den Kolde Krigs afslutning

Ronald Reagan og SDI

I 1981 indsværges Ronald Reagan som præsident af USA. Han puster for alvor liv i våbenkapløbet ovenpå de tidligere årtiers nedrustning og traktater, der skulle nedbringe mængden og udviklingen af

nye atomvåben. Således bruger amerikanerne under Reagan over to billioner dollars^{32} på at opbygge

amerikanske konventionelle og atomare militære styrke. Et vigtigt element i Reagans plan for amerikans

                                                                              33
oprustning var ”Strategic Defense Initiative” (SDI) der bliver offentliggjort af Reagan i 1983 . Med SDI

søgte Reagan at opbygge et nationalt dækkende system, der skulle være i stand til at nedskyde fjendtlige misiler, hvorved amerikanerne kunne træde ud af skyggen for atomkrig. Historikeren Marilena Gala,

31

“Cable, Ambassador Dobrynin to the Soviet Foreign Ministry, Meeting With Robert Kennedy”, 27. oktober 1962.

Hentet fra digitalarchive.wilsoncenter.org d. 13/12-2015.

32

(Painter 1999), s. 95

33

(Painter 1999), s. 96

Side 23

- 2.X SIDE 23 AF 28 argumenterer for, at Reagan var overbevist om, at dommedag var på vej, og at en atomar konfrontation ikke kunne undgås med den hidtil benyttede afskrækkelsesmetode med truslen om total gensidig

ødelæggelse.^{34} Kritikkere af SDI fremhævede i stedet, at sådan et projekt ville destabilisere den politiske

situation, og at Reagan derved åbenlyst havde provokeret sovjetterne. Herman Kahn opsummerer i et værk fra 1960 skrevet for the Rand Corporation en strategisk styrkes fredstids-mål som

1. Forhindr et direkte angreb ved især ”second strike capability”

2. Forhindr provokation ved især ”first strike capability”

3. Ikke at synes eller være for farlige over for fjender, allierede og sig selv

4. Ikke at synes eller være for dyr i drift^{35}

Dette afspejler i høj grad den sovjetiske og amerikanske militærpolitik under den kolde krig. SDI ville netop destabilisere situationen, da den kraftigt reducerede sovjetisk mulighed for både et first og et second strike. SDI var da også i direkte modstrid med Anti-Balistic Missile Treaty fra 1972, der

begrænsede de to nationers mulighed for netop at realisere et projekt som SDI.^{36} Det virker måske ikke

særligt intuitivt at et projekt som SDI skulle kunne destabilisere situationen når det jo er af defensiv natur. Jeg vil forsøge at ved spil-teoretisk metode at kaste lys over dette.

Hvis jeg antager, at amerikanerne kan beslutte sig for kun at tage til genmæle, hvis et sovjetisk missil rammer en amerikansk by, denne strategi kalder jeg en passiv strategi og er valgt på forhånd med sandsynlighed 0,5. Når misilerne er affyret kan misilerne enten gå igennem et amerikansk misilskjold

eller alle bliver nedskudt − her angiver jeg at der er en sandsynlighed på 0,2 for, at alle misilerne bliver

nedskudt. Herfra kan jeg opsætte udfaldsrum og to hændelser

𝑋= {}

𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑠𝑖𝑙𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑑𝑠𝑘𝑦𝑑𝑒𝑠,𝑃𝑎𝑠𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑡𝑖𝑘;

𝑀𝑖𝑠𝑖𝑙𝑒𝑟 𝑔å𝑟 𝑖𝑔𝑒𝑛𝑛𝑒𝑚,𝑃𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑡𝑖𝑘;

𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑠𝑖𝑙𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑑𝑠𝑘𝑦𝑑𝑒𝑠,𝐴𝑔𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑣 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑡𝑖𝑘;

𝑀𝑖𝑠𝑖𝑙𝑒𝑟 𝑔å𝑟 𝑖𝑔𝑒𝑛𝑛𝑒𝑚,𝐴𝑔𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑣 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑡𝑖𝑘

𝐴= {}

𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑠𝑖𝑙𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑑𝑠𝑘𝑦𝑑𝑒𝑠,𝑃𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑡𝑖𝑘

𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑠𝑖𝑙𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑑𝑠𝑘𝑦𝑑𝑒𝑠,𝐴𝑔𝑔𝑟𝑒𝑠𝑖𝑣 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑡𝑖𝑘;

𝑃 ( 𝐴) =0,2

𝐵= {}

𝐴𝑙𝑙𝑒 𝑚𝑖𝑠𝑖𝑙𝑒𝑟 𝑛𝑒𝑑𝑠𝑘𝑦𝑑𝑒𝑠,𝑃𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑡𝑖𝑘;

𝑀𝑖𝑠𝑖𝑙𝑒𝑟 𝑔å𝑟 𝑖𝑔𝑒𝑛𝑛𝑒𝑚,𝑃𝑎𝑠𝑠𝑖𝑣 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑡𝑖𝑘

𝑃 ( 𝐵) =0,5

Når situationen bliver opsat på denne måde, vil jeg argumentere for, at der gælder uafhængighed mellem hændelse A og B. Da politikken er blevet valgt på forhånd kan jeg ikke, ved at få fortalt amerikas politik, bruge denne information til at udregne sandsynligheden for at de sovjettiske misiler bliver skudt ned. Altså må der gælde at

34

(Boze, et al. 2012), s. 312

35

(Kahn 1960), s. 127

36

(Painter 1999), s. 73

Side 24

- 2.X SIDE 24 AF 28

𝑃 ( 𝐴 ∩ 𝐵) =0,2 · 0,5=0,1

Derfor bliver sandsynligheden for, at amerikanerne ikke går til modangreb blot 0,1, da de kun undlader at svare hvis misilerne ikke går igennem og amerikanerne fører en passiv strategi. Hvis der

skal gælde afhængighed, må jeg sætte situationen anderledes op^{37}. I stedet for at vælge strategi på

forhånd får amerikanerne valget mellem at svare eller ikke at svare efter misilerne enten er blevet nedskudt eller har ramt en amerikansk by

𝑋= {}

𝑈𝑆𝐴 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟;

𝑈𝑆𝐴 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟 𝑖𝑘𝑘𝑒;

𝑈𝑆𝐴 𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟 𝑖𝑘𝑘𝑒;

𝑈𝑆𝐴 𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟

Jeg kan her opsætte følgende hændelser

𝐴= { 𝑈𝑆𝐴 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟}
𝐵= {}

𝑈𝑆𝐴 𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟 𝑖𝑘𝑘𝑒;

𝑈𝑆𝐴 𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟

𝐶= {}

𝑈𝑆𝐴 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟;

𝑈𝑆𝐴 𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟

Jeg vil her argumentere for, at 𝑃 ( 𝐴|¬𝐵) =1, da USA under alle omstændigheder ville gengælde et

atomangreb der rammer en amerikansk by. Hvis vi igen tager antagelsen, at USA kun vil gengælde med

en sandsynlighed på 0,5, hvis alle misilerne nedskydes bliver 𝑃 ( 𝐶 | 𝐵) =0,5=𝑃 ( 𝐶 | ¬𝐵). Igen er

sandsynligheden for, at alle misiler bliver nedskudt 0,2. Jeg kan herfra udregne den samlede sandsynlighed for at missilet rammer amerikansk jord hvorved der kvitteres med et modangreb

𝑃 ( 𝐶 | ¬𝐵) =1⇔

𝑃 ( 𝐶∩ ¬𝐵)

𝑃 ( ¬𝐵)

=1⇔
𝑃 ( 𝐶∩ ¬𝐵) =0,8=𝑝(𝑈𝑆𝐴 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟)

Men den sammenlagte sandsynlighed skal også medtage sandsynligheden på 0,5, hvis alle misiler nedskydes

𝑃 ( 𝐶 | 𝐵) =0,5⇔

𝑃 ( 𝐶∩𝐵)

0,2

=0,5⇔
𝑃 ( 𝐶∩𝐵) =0,1=𝑝(𝑈𝑆𝐴 𝑖𝑘𝑘𝑒 𝑟𝑎𝑚𝑡,𝑈𝑆𝐴 𝑠𝑣𝑎𝑟𝑒𝑟)

37

Her blive jeg nødt til at afvige fra opgaven i bilag 1, da der i den formulering er en implicit uafhængighed mellem de to hændelser.

Side 25

- 2.X SIDE 25 AF 28

Derved bliver 𝑃 ( 𝐶) =0,9. Men lad os for nu i modellen jeg sætter op antage at 𝑃(𝐶) er lig 1, da Reagan

især kan antages at ville føre svare ethvert sovjetisk angreb med fuld styrke, om de slog ned i amerikanske byer eller ej.

Hvis ser på Schellings model kan man tydeligt se, hvordan SDI ville forskubbe magtbalancen. Når 𝑃(𝐵) øges, falder, hvorved amerikanernes råderum vokser, dette kan vises ved at indtegne loftet over Y

USA's effektive trusler jf. det forrige afsnit

Figur 3 USAs loft over π

. Derved ville et sådant program kunne udmønte sig i en meget mere aggressiv amerikansk udenrigspolitik. Sovjetterne vil derfor kunne forvente et lavere udbytte af enhver forhandlingssituation, hvis misilskjoldet virkede. Brams model er ikke relevant her, da de to nationers præferencer ville være de samme, misilskjold eller ej.

SDI viste sig dog at være et relativt uskadeligt projekt, da analyser viste, at det ville være billigere at

opsætte et system, der kunne sætte SDI ud af spil, end at sætte SDI op til at starte med.^{38}

Den Kolde Krigs afslutning

Det er en udbredt holdning, at det var Reagans aggresive oprustning, der i sidste ende tvang Sovjetunionen i knæ, at han var det sidste skub, der skulle til, før Sovjetunionens økonomi kollapse. Men man bør også se på interne faktorer i Sovjetunionen. Gorbachoc stod for en ny strømning af åbenhed.

Især Chernobyl fik Gorbachov til at genoverveje sygdommen af det Sovjetiske system. Der skulle nu

være åbenhed og omstrukturering.^{39} På Reykjavic-møderne i 1986 blev der taget vigtige skridt i retning

af nedrustning, men Reagan nægtede at opgive SDI, så mødet endte uden nogle egentlige kompromiser.

Gorbachov ønskede dog en nedrustning, han søgte at mindske den sovjetiske paranoia over for de vestlige, kapitalistiske magter. Han skiftede den russiske militær-doktrin fra at have som mål at vinde en krig, til at i første omgang undgå en krig. Herved blev også de sovjetiske satelitstater, Stalin havde anset som buffer-zoner mod de vestlige aggresorer, mindre vigtige, og de fik en stigende grad af selvstyre. Alt dette ledte i 1991 frem til Sovjeunionens ophør.

38

(Boze, et al. 2012), s. 317

39

(Gaddis 2006), s. 244

Side 26

- 2.X SIDE 26 AF 28

Konklusion

Jeg har i denne opgave søgt at belyse diplomatiske forhold mellem øst og vest ved hjælp af spil-teoretiske modeller. Jeg startede med at redegøre for spil-teorien og sandsynlighedsregningen og brugte disse principper til at analysere den diplomatiske situation under den Kolde Krig. Da jeg påførte modellerne Cuba-krisen, sås besværet med at koge en meget kompleks situation ned til matematisk form. Det kræver en næsten minutiøs viden om beslutningsproceserne samt tilgængelig viden, når man skal lave så grov en model. Jeg prøvede både den ordnede og arbitrære tilgang, og så de hver især havde fordele og ulemper, når man søger at analysere en virkelig situation. Det er derfor vigtigt ikke at anse spil-teorien som en profetisk teori, der kan fastlægge alle udfald. Spil-teorien er snarere en måde, hvorpå man kan foreslå en løsning man herefter kan dykke ned i og analysere på. Ofte fremkommer der resultater, der virker ikke-intuitive, som f.eks. i ”Fangernes Dilemma”, men det er ofte denne slags resultater, der er spil-teoriens forté Man kan undersøge de forskellige forudsætningers indvirken på et ekvillibrium og derfra få svar på relevante spørgsmål.

Spil-teorien har i denne opgave været med til at belyse relevante problemstillinger, og undersøge hvorledes en diplomatisk proces kan opsættes. Da jeg i afsnittet om Cuba-krisen påførte situationen hhv.

Brams og Schellings model, belyste den to forskellige måder, hvorpå situationen kan antages at have nået sin konklusion.

Side 27

- 2.X SIDE 27 AF 28

Litteraturliste

Boze, Frédéric, Marie-Pierre Rey, Bernd Rother, og N. Piers Ludlow, . 2012.

Visions of the End of the Cold

War in Europe,

Brams, Steven J. 1993. Cambridge University Press.

Theory of Moves, Journal Article.

Brams, Steven J. 1993. »Theory of Moves.« (Sigma Xi) 562-570.

American Scientist

Gaddis, John L. 2006. Penguin Books.

The Cold War A New History.

Kahn, Herman. 1960. Princeton University Press.

On thermonuclear war.

Leffler, Melvyn P. 2007. Hill and Wang.

For the Soul of Mankind.

McAuliffe, Mary S., red. 1992. Central Intelligence Agency.

Cuban Missile Crisis - 1962.

Nalebuff, Barry. 1986. »Brinkmanship and Deterrence.« (SAGE)

Conflict Management and Peace Science

9 (2).

Painter, David S. 1999. Routledge.

The Cold War An International History.

Rasmusen, Erik. 2006. 4. John Wiley and Sons

Games and Information An Introduction to Game Theory.

Ltd.

Schelling, Thomas C. 1981. Harvard University Press.

The Strategy of Conflict.

Sørensen, Michael. 2008.

En Introduktion til Sandsynlighedsregning.

Tadelis, Steven. 2013. Princeton University Press.

Game Theory An Introduction.

Side 28

- 2.X SIDE 28 AF 28

Bilag

Opgave fra vejleder

Bevis at multiplikationsprincippet kun gælder for to hændelser, hvis de er uafhængige.

Diskuter om der er afhængighed mellem følgende to hændelser A og B

• A Et amerikansk missilforsvar vil kunne nedskyde alle sovjetiske missiler

• B USA vil kun sende en atomraket afsted i det øjeblik et sovjetisk missil har ødelagt en amerikansk by.

Sæt P(A) til 0,2 og P(B) til 0,5

Hvor stor er risikoen for at USSR bliver ramt af en amerikansk atombombe?

Udregn sandsynligheden for den samlede sandsynlighed både i tilfældet at der gælder afhængighed og hvis der gælder uafhængighed.