Stående bølger - rapport i fysik

Side 1

Eva Tandrup Kock Fysikrapport nr. 2

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Side 1 af 6

Stående bølger og resonans

Formål

At undersøge fænomenet stående bølger. Forsøget er delt op i to dele, hvor første del handler om stående bølger på en streng, og anden del om stående bølger i et resonansrør.

Teori

En stående bølge er en bølge, der ikke udbreder sig. De kan forekomme som bølger på en udspændt streng med knudepunkt i hver ende (som vi ser i delforsøg 1), eller som bølger i et resonansrør, som i del 2).

Der findes tre forskellige måder at frembringe lyd på i musikinstrumenter: en svingende membran over en resonanskasse (slagtøj), en svingende streng over en resonanskasse (strengeinstrumenter) og en svingende luftsøjle (blæsere). Princippet med stående bølger udnyttes i de to sidste, hvor bølgelængden, frekvensen og dermed tonen der fremkommer afgøres af strengen eller rørets længde. Musikeren kan ændre tonen ved at flytte på knudepunkterne, altså hhv. sætte fingrene på strengene og sætte klapper for instrumentet og derved forkorte strengen eller luftrørets længde.

Resonans forekommer når noget påvirkes udefra af svingninger, hvis frekvens svarer til eller er tæt på dets egenfrekvens (det er den frekvens, som tingen selv kan svinge med uden påvirkning udefra).

Herved forstærkes svingningerne meget. Resonansen udnyttes også i musikinstrumenter.

________________________________________________________________________________

Del 1- Stående bølger på en streng

________________________________________________________________________________

Formål

Vi opstiller et forsøg, hvor vi først undersøger forholdet mellem frekvensen f og antallet af buge, n, ved at holde længden L konstant. Derefter gør vi L til en variabel, så vi kan undersøge forholdet mellem længde og frekvens. n holdes konstant.

Formler

Vi har følgende formler at gå ud fra:

▪ Resonans opstår, når L (strengens længde) er et helt antal halve bølgelængder. Vi isolerer λ, så formlen udtrykker de bølgelængder hvorved der opstår resonans, afhængigt af L:

2 n

Ln =⋅ ⇔ =

λ

2L λ

▪ Sammenhængen mellem frekvens, bølgelængde og hastighed:

0

=⋅ v ⇔ vf =⋅

λτ λ

Side 2

Eva Tandrup Kock Fysikrapport nr. 2

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Side 2 af 6

▪ Hastigheden på en streng er bestemt af snorkraften og strengens masse per meter μ, (som er

133 g/m).

1

F m g      ⋅
 s lod

v ==

µµ

Disse tre formler sammenfattes til den følgende, FORMLEN. Formlen kan anvendes på linjens

ligning, y = ax. Vi ser den nedenfor i to udgaver, hvor variablen x er omisoleret så den passer til

variablen i vore to delforsøg, hhv. antal buge og den reciprokke snorlængde.

1 g 1 g

2 L 2

m_{lod}
fn = ⋅ ⋅ ⇔ f m n L = ⋅ ⋅ ⋅

µ

− 1

lod µ

Forsøgsopstilling

Forsøgsgang

Vi opstiller forsøget som vist overfor. Tonegeneratoren (= frekvensgeneratoren) tændes, og vi kan

regulere på frekvensen, uden at overskride den maksimale strømstyrke på 1 A. Når bugene er tydeligst, noterer vi de sammenhængende værdier for bug og frekvens.

Måleresultater a)

Vi holder størrelserne L = 218 cm og m = 90 g konstante.

lod b)

Vi holder størrelserne n = 2 og m = 90 g konstante.

lod

Behandling af måleresultater

I Excel tegner vi to grafer for f som funktion af n, og for f som funktion af L. Der sker vha. den sammenfattede formel, som vi udledte i formel-afsnittet.

n (bug) 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f/Hz 39 60 75 90 110 125 140 162 180

L/m 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
f/Hz 81 66 59 50 47 42

Side 3

Eva Tandrup Kock Fysikrapport nr. 2

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Side 3 af 6

f(1/L)
y = 76,77x + 3,4007

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

(1/L) / (1/m)

F/Hz

Vi ser, at frekvensen er proportional med både antal buge og den reciprokke længde. Derfor gælder:

a) y = a · n og b) y = a · L^{-1}.

Afvigelser

Excel har givet os hældningen a for begge vore grafer. Vi kan selv beregne denne, da alle faktorer der indgår heri er konstanter (jf. formel-afsnit). Vi kan derefter beregne afvigelsen mellem vor egen hældning og den teoretisk beregnede.

▪ y = a · n
9,82_{2}
as = ⋅ = ⋅ = 18, 70^{−}^{1}

11 g m_{lod} 0, 09 kg

2 2 2,18 Lm

0, 000133 m s kg m µ f(n)

y = 17,25x + 5,5

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

2

Antal buge, n

Frekvens, f

Side 4

Eva Tandrup Kock Fysikrapport nr. 2

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Side 4 af 6

Som en kontrol af, at tallene er indsat rigtigt, kan vi forkorte formlens enheder:

s^{2}
⋅ = = = s^{−}^{1}

2 2 2 kg m m kg ⋅⋅ 1 m kg m s kg m s ⋅⋅ m

Afvigelsen er altså:

17, 25 18, 70 ss^{−−}^{11} −
18, 70 s^{−}^{1}

⋅ 100% =-7,75 %

▪ y = a · L^{-1}

9,82_{2}

11 gm

a m n kg = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =                   0,09 2 81,52
              lod

22 s

0, 000133 m s kg m µ

Som en kontrol af, at tallene er indsat rigtigt, kan vi forkorte formlens enheder:

2

s^{2}

 22
s kg s s ⋅

m m m kg m m ⋅⋅

⋅ = = = kg

kg m

Afvigelsen er altså:

76,77 81,52 −

⋅ = − 100% 5,82%

81,52 mm ss m s

Fejlkilder

En fejlkilde er, at vi ikke er helt sikre på hvor knudepunkerne har ligget. I vibratorens ende har knudepunktet ligget lidt inde på strengen.s

Perspektivering

▪ Grunden til, at en tykkere streng vil medføre en dybere tone, er at snorens μ-værdi

(masse/meter) bliver større. Derved nedsættes farten – for denne værdi står jo i tællerens

nævner, og bliver den større, bliver f mindre. Når farten nedsættes bliver frekvensen også mindre, og som bekendt betyder en lav frekvens en lav tone.

Side 5

Eva Tandrup Kock Fysikrapport nr. 2

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Side 5 af 6

▪ Hvis man skruer mod uret på en streng, vil strengens grundtone blive højere. Det skyldes at kraften F som virker på strengen er blevet større, da strengen er blevet strammet. Vi ser på formlen for lydens fart:

1

F m g      ⋅
 s lod

v ==

µµ

Og vi ser, at en større F i nævneren vil medføre en tilsvarende højere fart.

Konklusion

                                                                         -1
Vi har, med relativt lille usikkerhed, påvist en proportionalitet mellem hhv. f og n og f og L .

________________________________________________________________________________

Del 2 – resonansrøret

________________________________________________________________________________

Formål

At bestemme lydens hastighed i luft med resonansrør.

Teori

Når et resonansrører åbent i den ene ende og lukket i den anden, som det vi undersøgte, vil lyden blive tilbagekastet fra bagenden, og ved bestemte frekvenser

vil der opstå resonans (= forstærkning af rørets egenfrekvens). Første gang det sker,

er ved længden ¼ λ, derfor kaldes denne slags rør en kvartbølgeresonator. Herefter vil resonansen opstå hver gang rørets længde forøges med ½ λ.

Forsøgsgang

Vi arbejdede med en stemmegaffel, hvis frekvens var 435 Hz (dette svarer til kammertonen A, dog er det 5 Hz lavere end det, de fleste musikere arbejder med i dag). Temperaturen i rummet var 23º.

I vort resonansrør kunne man sænke eller hæve vandstanden ved at flytte vand fra røret over i et reservoir. Vi slog stemmegaflen an over røret mens vi ændrede på vandstanden, og vi noterede med elastikker på rørets yderside hvor vi kunne høre resonans (dvs. knudepunkterne).

Behandling af måleresultater

Vi målte den gennemsnitlige halve bølgelænge, hvor der fremkom resonans, til at

være = 0,395 m. En hel bølgelængde vil således være 0,395 m/0,5 = 0,79 m. Vi

beregner lydens fart i luft:

v = λ · f = 0,79 m · 435 Hz = 344 m/s

Side 6

Eva Tandrup Kock Fysikrapport nr. 2

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

Side 6 af 6

Afvigelser

I ovenstående afsnit fandt vi den eksperimentelle hastighed i luft. Vi kan beregne den teoretisk ved

hjælp af formlen for lydens hastighed i en gas. Temperaturen T vil være 273 K + lufttemperaturen
23º C = 296 K.

                                 296
v m s =⋅ 331 /   <=> v m s m s = ⋅ = 331 / 345 /
                                 273

273 K K

T K

Den procentvise afvigelse kan beregnes:

Fejlkilder

Konklusion

Ud fra vores kendskab til resonans har vi beregnet lydens hastighed i en gas. Forsøget er forløbet vellykket med en meget lille afvigelse.