STX Matematik A 27. maj 2016 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

1

STX Matematik A

27. maj 2016

Delprøven uden hjælpemidler

2stx161-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Udtrykket reduceres:

( 𝑥+ 5)^{2} − 25= 𝑥^{2} + 5^{2} + 2 · 𝑥· 5 − 25
= 𝑥^{2} + 10𝑥 + 25 − 25
= 𝑥^{2} + 10𝑥

Opgave 2

Determinanten udregnes:

𝐷𝑒𝑡 ( 𝑎⃗,𝑏) = | |

⎯ ⃗

3 8

−7 5
= 3 · 5 − ( −7) · 8
= 15+ 7 · 8
= 15+ 56
= 71

Determinanten af 𝑎⃗ og 𝑏 er 71.

⎯ ⃗

Opgave 3

Der er tale om en eksponentiel model, da indtægten vokser med en fast årlig procentdel. Det vil sige en model på formen:

𝑓(𝑥) = 𝑏· 𝑎^{𝑥}

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

2

Hvor: 𝑓(𝑥) angiver kommunens årlige indtægt fra parkering i mio. kr.

𝑥 angiver antal år efter 2010

𝑏 angiver værdien af 𝑓(0) (indtægten fra parkering i år 2010). Det vil sige, at 𝑏 = 15

𝑎 er fremskrivningsfaktoren og fortæller os noget om den årlige vækstrate, idet:

𝑎 = 1 + 𝑟
= 1 + (11,8%)
= 1 + 0,118
= 1,118

Den endelige model bliver altså: 𝑓 ( 𝑥) = 15 · 1,118^{𝑥}.

Opgave 4

Funktionen integreres, hvorved vi bestemmer en generel forskrift for alle stamfunktioner til 𝑓.

𝐹 ( 𝑥) = ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

= ∫𝑥^{3} + 10𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥^{4} + 𝑥^{2} + 𝑘 (𝐼)

1 10

4 2

= 𝑥^{4} + 5𝑥^{2} + 𝑘

1

4

                  1
                     4    2
Det vil sige, at 𝐹 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 5𝑥 + 𝑘
                  4

Integrationskonstanten kan nu bestemmes, idet vi ved, at grafen for 𝐹 går gennem 𝑃(2,20), så 𝐹 ( 2) = 20:

20 = · 2^{4} + 5 · 2^{2} + 𝑘

1

4

⇕

20 = · 16 + 5 · 4 + 𝑘

1

4

⇕

20 = 4 + 20 + 𝑘

⇕

𝑘 = 20 − 4 − 20

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

3

= −4

                                                                      1
                                                                        4     2
Den stamfunktion til 𝑓, hvis graf går gennem 𝑃(2,20), er givet ved forskriften 𝐹 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 5𝑥 − 4
                                                                      4

(𝐼):

Her anvendes følgende regneregler:

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 ( 𝑥) + 𝑐

Sætte konstant udenfor ∫ 𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑘· ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Sum/differens kan splittes i to integraler ∫ 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

Opgave 5

Hvis og kun hvis 𝑓 er en løsning, gælder der, at^{𝑑𝑦}_{𝑑𝑥} = 𝑓′(𝑥) og 𝑦 = 𝑓(𝑥). Det vil sige, at:

𝑦 = 𝑓 ( 𝑥) = 5𝑒^{𝑥} + 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑓^{′} ( 𝑥) = 5𝑒^{𝑥} + 1

Vi foretager de to substitutioner og undersøger, om vi får det samme på begge sider af lighedstegnet, hvorved substitutionerne vil være gyldige:

5𝑒^{𝑥} + 1 = 5𝑒^{𝑥} + 𝑥− 𝑥+ 1

⇕

5𝑒^{𝑥} + 1 =5𝑒^{𝑥} + 1

Da der står præcist det samme på begge sider af lighedstegnet, kan vi konkludere, at 𝑓 er en løsning til differentialligningen.

                                                                      𝑥
( 𝐼 ) Reglen om ledvis differentiation, konstant udenfor parentes og differentiation af 𝑒 og 𝑥:

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘 · 𝑓^{′} ( 𝑥)

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

4

𝑓 ( 𝑥) = 𝑒^{𝑥} ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑒^{𝑥}

𝑓 ( 𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 1

Opgave 6

Graferne vil være parabler med benene opad, da der er tale om andengradspolynomier, og koefficienterne 𝑚 og 𝑘 er positive.

Ved hjælp af nulreglen og funktionsforskrifterne ser vi, at begge funktioner har nulpunkter i 𝑥 = −2 og

𝑥 = 6. Midt mellem nulpunkterne findes toppunktet. Det vil sige i 𝑥 = 2.

               1
Vi vælger, at: 𝑚 = og 𝑘 = 1. Forskrifterne bliver så:
               2

𝑓 ( 𝑥) = ( 𝑥+ 2) · (𝑥− 6)

𝑔 ( 𝑥) = · ( 𝑥+ 2) · (𝑥− 6)

1

2

Vi udregner derfor blot en række funktionsværdier for 𝑓 i og til højre for toppunktet i 𝑥 = 2. Herefter

                 1
anvendes, at 𝑔 ( 𝑥 ) = · 𝑓(𝑥), samt at parablerne er symmetriske omkring den lodrette akse, der
                 2

gennemskærer toppunktet:

𝑓 ( 2) = 4 · ( −4) = −16

𝑓 ( 3) = 5 · ( −3) = −15

𝑓 ( 4) = 6 · ( −2) = −12

𝑓 ( 5) = 7 · ( −1) = −7

𝑓 ( 6) = 0

𝑓 ( 7) = 9 · 1= 9

Graferne skitseres (se næste side).

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 27. maj 2016

5