STX Matematik A 29. maj 2013 - Delprøven med hjælpemidler

Side 1

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

1

STX Matematik A 29. maj 2013

Delprøven med hjælpemidler

2stx131-MAT/A-

og

gl-2stx131-MAT/A-

Besvarelsen dækker to eksamenssæt, da sættene er identiske pånær opgave 12. Løsningen til opgave 12 fra begge eksamenssæt kan findes i besvarelsen.

Alle formlerne i nedenstående besvarelse henviser til Matematisk formelsamling stx A fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig supplerende tekst. Begrundelsen for at medtage formelnumre i løsningerne er, at du præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

WordMat er blevet brugt som CAS-værktøj til løsningen af denne eksamen.

Side 2

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

2

Opgave 7 a)

Først defineres a ⎯ ⃗ i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel):

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑎⃗=()

−1

2

Derefter bestemmes koordinaterne til 𝐴𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ vha. koordinatsættene til punkterne 𝐴 og 𝐵: (jf. formel 30 og 35)

Beregningen foretages med WordMat (CAS - Beregn):

𝐴𝐵 =𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 =()=()

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

5 − 20 −15
10 − 5 5

Vektoren defineres ligeledes i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel).

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝐴𝐵 =()

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−15

5

Arealet af det parallelogram, som vektorerne 𝐴𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ og a

⎯

⃗ udspænder, kan bestemmes som den numeriske værdi af determinanten til vektorparret: (jf. formel 46)

𝐴_{𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚} = | det ( 𝐴𝐵,𝑎⃗)| =25

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Arealet af det udspændte parallelogram er således bestemt til: 𝐴_{𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚} =25

b)

Da vektorerne allerede er defineret i WordMat, kan beregningen foretages i WordMat (CAS - Beregn).

Koordinatsættet til projektionen af 𝐴𝐵

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ på a

⎯

⃗ kan bestemmes som: (jf. formel 40)

𝐴𝐵_{𝑎} = ⋅ 𝑎⃗=()

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐴𝐵 ⋅ 𝑎⃗

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

| 𝑎⃗ |^{2} 10

−5

Koordinatsættet til projektionen af 𝐴𝐵 på a ⎯ ⃗ er således: 𝐴𝐵_{𝑎} =() 𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−5

10

Side 3

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

3

Opgave 8 a)

Den angivne model: 𝑓 ( 𝑥) =𝑏⋅ 𝑥^{𝑎} er en potenssammenhæng, dermed kan værdierne for 𝑎 og 𝑏

bestemmes vha. en potensregression over tabellens data.

Dette gøres med WordMat (Statistik/sands. - Regression - Potens)

Motoreffekt [kW] 1537 2003 2637 3489 4537 5755 7606

Fart [knob] 10 11 12 13 14 15 16

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9965997

𝑦=1,179355 · 𝑥^{0,2933053}

Værdierne for 𝑎 og 𝑏 er således bestemt til: 𝑎=0,2933 og 𝑏=1,1794

Resultaterne er afrundet til fire decimaler.

Funktionen 𝑓(𝑥) defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion) til senere brug:

𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑓 ( 𝑥) =1,1794 ⋅ 𝑥^{0,2933}

b)

Skibets hastighed, når motoreffekten er 8000 𝑘𝑊 bestemmes ved at bestemme tallet 𝑓(8000).

Hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn): 𝑓 ( 8000) ≈16,46029

Skibets hastighed ved motoreffekten 8000 𝑘𝑊 er således: 𝑓 ( 8000) =16,5 𝑘𝑛𝑜𝑏

Resultatet er afrundet til én decimal.

c)

Vækstraten 𝑟_{𝑥} kan bestemmes som: (jf. formel 3)
𝑟_{𝑥} = = ≈0,3

𝑝_{𝑥} % 30 %

100 % 100 %

Da sammenhængen er en potensfunktion gælder: (jf. formel 108)

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

Indsættes værdien for 𝑟_{𝑥} og 𝑎 kan 𝑟_{𝑦} bestemmes med WordMat (CAS - Løs ligning(er) - Numerisk):

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 𝑟_{𝑥})^{𝑎}

1 + 𝑟_{𝑦} = ( 1 + 0,3)^{0,2933}

Side 4

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

4

Ligningen løses numerisk for r_y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑟_{𝑦} ≈0,07998963

Hvilket omregnet vha. WordMat (CAS - Beregn) svarer til:

𝑝_{𝑦} %=𝑟_{𝑦} ⋅ 100 %=0,07998963 ⋅ 100≈7,998963 %

Konklusionen er derfor, at en forøgelse af motoreffekten på 30 %, giver en fartforøgelse på 8 % Resultatet er afrundet til et helt tal.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 5

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

5

Opgave 9 a)

Først defineres funktionen 𝑓 i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) =𝑥^{3} + 6 ⋅ 𝑥^{2} + 9 ⋅ 𝑥

Grafen for 𝑓(𝑥) kan tegnes med WordMat (Graftegning - Vis Graf - GeoGebra):

Grafens farve og stregtykkelsen er redigeret efterfølgende i GeoGebra for overskuelighedens skyld.

                                                      s
Grafens skæringspunkter med 𝑥-aksen er indtegnet vha. GeoGebra’ indbyggede værktøj

”Skæring mellem to objekter” ved først at klikke på grafen og derefter på 𝑥-aksen.

Funktionens nulpunkter (grafens skæringspunkter med 𝑥-aksen) kan bestemmes ved at løse ligningen:

WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk)

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−3 ∨ 𝑥=0

Side 6

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

6

Funktionen 𝑓 har således nulpunkterne: 𝑥=−3 ∨ 𝑥=0

b)

For at bestemme monotoniforhold for 𝑓 starter vi med at løse ligningen 𝑓′ ( 𝑥) =0.

Dette gøres med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

𝑓′ ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=−3 ∨ 𝑥=−1

Der foretages nu fortegnsundersøgelse for 𝑓′(𝑥) før, mellem og efter de fundne rødder, hertil benyttes WordMat (CAS - Beregn):

𝑓^{′} ( −4) =9
𝑓^{′} ( −2) =−3
𝑓^{′} (−1)=24

Nu kan en monotonilinje tegnes med WordMat (Diverse - Figurer ):

Monotoniforholdene for 𝑓 er således:

𝑓 er voksende i intervallerne ] − ∞;−3] og [−1;∞[ da 𝑓^{′} (𝑥)>0
𝑓 er aftagende i intervallet [−3;−1] da 𝑓′ ( 𝑥) <0

c)

Tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(1,𝑓

(

1

)

) kan bestemmes vha. tangentligningen: (jf. formel 119)

𝑦=𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})

Indsættes 𝑥_{0} =1 kan en ligning for tangenten bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):

𝑦=𝑓^{′} (1) ⋅ ( 𝑥− 1) + 𝑓 ( 1) =24 · 𝑥− 8

En ligning for tangenten 𝑡 til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(1,𝑓 ( 1)) er således: x

f'(x) + 0 0 +

f(x)

-3

-1

-

Side 7

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

7

𝑡: 𝑦=24𝑥− 8

Grafen for funktionen 𝑔 ( 𝑥) =−𝑥^{2} + 𝑏 ⋅ 𝑥+ 𝑐 har tangenten 𝑡 fælles med grafen for 𝑓.

Forskriften for 𝑔 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑔 ( 𝑥) =−𝑥^{2} + 𝑏 ⋅ 𝑥+ 𝑐

Bestemmelse af værdierne for konstanterne 𝑏 og 𝑐:

Da tangenten til grafen for 𝑓 i punktet 𝑃(1,𝑓

(

1

)

) også er tangent til grafen for 𝑔, følger at

differentialkvotienten i 𝑥=1 er ens for de to funktioner (idet differentialkvotienten er lig med

hældningskoefficienten for tangenten i 𝑃(1,𝑓

(

1

)

)). Derfor gælder det at:

𝑓′ ( 1) =𝑔′ ( 1)

⇕

𝑓^{′} ( 1) =24=−2 ⋅ 1 − 𝑏 ⇔ 𝑏=26

Konstanten 𝑏 defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑏=26

Da graferne for begge funktioner går gennem punktet 𝑃(1,𝑓

(

1

)

), kan værdien for konstanten 𝑐

bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 1) =𝑔 ( 1) i 𝑐.

Dertil benyttes WordMat (CAS - Løs Ligninger - Numerisk):

𝑓 ( 1) =𝑔 ( 1)

Ligningen løses numerisk for c vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑐=−9

Værdierne for konstanterne er således bestemt: 𝑏=26 og 𝑐=−9

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 8

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

8

Opgave 10 a)

Temperaturen 𝑡, når væksthastigheden er størst, skal bestemmes. Først defineres funktionen 𝑟(𝑡)

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑟 ( 𝑡) =7,18 ⋅ 10^{−4} ⋅ ( 𝑡− 0,93)^{2} ⋅ (1 − 𝑒^{0,464⋅}^{(})

𝑡−46,96)

Da vi skal bestemme hvornår væksthastigheden dvs. 𝑟^{′} ( 𝑡) antager sit maksimum skal vi løse ligningen.

𝑟′′ ( 𝑡) =0

Ligningen løses numerisk for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡≈35,94914

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

Vi bestemmer nu r’’(t) på begge sider af dette nulpunkt.

𝑟^{′′} ( 35) ≈0,0005558848

𝑟^{′′} ( 36) ≈−3,811583 · 10^{−5}

Dvs. der er tale om et maksimum.

Af dette resultat fremgår det, at væksthastigheden af salmonellabakterier (målt i CFU/g pr. time) er størst,

når temperaturen i det rå kød er på 35,9℃ (resultatet er afrundet til én decimal).

Side 9

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

9

Opgave 11 a)

Afstanden fra den nærmeste mølle (punkt 𝐵) til land (punkt 𝐶) kan bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 46,2° , C = 90° , AC = 2300
B A = 46,2°
B = 43,8°
C = 90°

BC = 2398,418
AC = 2300
AB = 3323,012

Af resultatet ses det, at afstanden fra nærmeste mølle til land er: | 𝐵𝐶 | =2398,4 𝑚

Resultatet er afrundet til én decimal.

I trekant 𝐴𝐶𝐷 er vinkel 𝐶𝐴𝐷=46,2° + 11,0°=57,2°

Afstanden til fjerneste mølle (punkt 𝐷) bestemmes vha. WordMat’s trekantløser (Diverse - Trekant):

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 57,2° , C = 90° , AC = 2300
A = 57,2°
B = 32,8°
C = 90°

DC = 3568,901
AC = 2300
AD = 4245,828

Afstanden fra fjerneste mølle til land er således: | 𝐶𝐷 | =3568,9 (afrundet til én decimal)

A AC C

AB BC

A AC C

D

AD CD

Side 10

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

10

Afstanden fra punktet 𝐵 til punktet 𝐷 kan bestemmes som | 𝐵𝐷 | = | 𝐶𝐷 | − |𝐵𝐶|
Forudsat at den indbyrdes afstand mellem møllerne er ens, kan denne afstand bestemmes som^{1}_{9} ⋅ |𝐵𝐷|

idet de ti møller deler afstanden fra 𝐵 til 𝐷 i ni lige store stykker.

Således kan den indbyrdes afstand mellem møllerne bestemmes som:

𝑎𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑_{𝑖𝑛𝑑𝑏𝑦𝑟𝑑𝑒𝑠} = ⋅ | 𝐵𝐷 | = ⋅ (| 𝐶𝐷 | − | 𝐵𝐶 |)

1 1

9 9

Indsættes de fundne værdier, kan afstanden beregnes med WordMat (CAS - Beregn):

𝑎𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑_{𝑖𝑛𝑑𝑏𝑦𝑟𝑑𝑒𝑠} = ⋅ ( 3568,9 − 2398,4) ≈130,0556

1

9

Resultatet betyder, at møllernes indbyrdes afstand er: 𝑎𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑_{𝑖𝑛𝑑𝑏𝑦𝑟𝑑𝑒𝑠} =130 𝑚

Resultatet er afrundet til et helt tal.

Side 11

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

11

Opgave 12 a)

Nulhypotesen 𝑯_{𝟎}: Informationsadfærden vedr. litteraturlæsning er uafhængig af gymnasietype.

Det skal undersøges, om nulhypotesen kan forkastes på et 5 % signifikantniveau.

                  2                                             2
Dette gøres med en X -uafhægighedstest i WordMat (Statistik/sands. - Test - 𝑋 test).

Svar\gymnasietype stx hhx htx

Uenig 131 69 36

Ved ikke 102 76 27

Enig 235 207 70

Der udføres χ² - test for sammenhæng vha. CAS-værktøjet WordMat

P-værdi: 0,= 6,247642 %.

Da den fundne P-værdi er større end signifikansniveauet accepteres nulhypotesen. Det kan derfor med et signifikansniveau på 5 % ikke afvises, at informationsadfærden vedr. litteraturlæsning er uafhængig af gymnasietype.

Side 12

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

12

Opgave 12 - gl.

a)

Vi tegner sumkurven og bestemmer kvartilsættet med WordMats skabelon for grupperede observationer, resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Kvartilsæt:

Kvartilsæt

Mindste 65

Nedre | 69,81
Median | 75,24
Øvre | 81,56

Største 95

Kvartilsættet over fordelingen af ældre kvinder er bestemt herover.

Sumkurve:

En sumkurve over fordelingen af ældre kvinder er vist herover.

0%

25%

50%

75%

100%

0

Procentdel

Alder

Sumkurve

Side 13

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

13

Opgave 13 a)

Linjen 𝑙 gennem punkterne 𝐴 og 𝑇 ligger i planen 𝛼.

For at kunne bestemme en ligning for planen 𝛼, der indeholder sidefladen 𝐴𝑇𝐵, skal bruges et kendt punkt, hertil benyttes fx punktet 𝐴(16,16,0), samt en normalvektor, der kan være lig med krydsproduktet mellem vektoren 𝐴𝐵 og retningsvektoren for linjen 𝑙, der kan aflæses af linjens parameterfremstilling:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

(jf. formel 61, 68, 71,73)

𝐴𝐵 × 𝑟 ⎯ ⎯ ⃗_{𝑙} = ( 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴) × 𝑟 ⎯ ⎯ ⃗_{𝑙} =( 16 − 16) × ( −16)=( 736)

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

−16 − 16 −27 0

0 − 0 23 512
Krydsproduktet skaleres med 1/32, hvormed en normalvektor for planen 𝛼 bliver: (jf. formel 58)

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛼} ⃗ = ⋅ ( 𝐴𝐵 × 𝑟 ⎯ ⎯ ⃗_{𝑙}) = ⋅ ( 736)=( 23)

1 1

32 32

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

0 0

512 16

Krydsproduktet er beregnet og skaleret med WordMat (CAS - Beregn).

Krydsproduktet skaleres med faktor 1/32, idet normalvektoren da bliver nemmere at arbejde med.

Ligningen for en plan i rummet er givet ved: (jf. formel 71)

𝑎· ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏· ( 𝑦 − 𝑦_{0}) + 𝑐· ( 𝑧 − 𝑧_{0}) =0

Det kendte punkt 𝐴(16,16,0) samt normalvektoren 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝛼} ⃗ =( 23) indsættes i planens ligning, derved fås:

0

16

0 · ( 𝑥− 16) + 23 · ( 𝑦 − 16) + 16 · ( 𝑧 − 0) =0

Udtrykket reduceres vha. CAS-værktøjet WordMat.

16 · 𝑧 + 23 · 𝑦− 368=0

Udtrykket er reduceret med WordMat (CAS - omskriv - Reducer).

En ligning for planen 𝛼 er således: 23𝑦 + 16𝑧 − 368=0

b)

Parameterfremstillingen for linjen l og ligningen for planen 𝛽 opskrives

( 𝑦) =( 16) + 𝑠 ⋅ ( −16)

𝑥 𝑧

16 −27

0 23

23𝑥 − 5𝑧+ 368=0

Side 14

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

14

⇕ Ligningssystemet løses for x,y vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs Ligninger funktion',

𝑠=1 ∧ 𝑦=0 ∧ 𝑧=23 ∧ 𝑥=−11

Hvilket betyder, at punktet 𝑇 har koordinatsættet: 𝑇(−11,0,23)

c)

Den stumpe vinkel mellem planerne 𝛼 og 𝛽 kan bestemmes som den stumpe vinkel mellem planernes normalvektorer. Disse kan aflæses af planernes ligninger: (jf. formel 71)

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =( 23 ) 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ =( 0 )
 𝛼            𝛽

0 23

16 −5

Vinklen mellem to vektorer kan bestemmes som: (jf. formel 63)

WordMat (Formelsamling - vektor - Rumgeometri)

𝑐𝑜𝑠 ( 𝑣) = ⇔ 𝑣=cos ()

𝑎⃗· 𝑏 𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗ ⎯ ⃗

| 𝑎⃗ | ⋅ | 𝑏 | | 𝑎⃗ | ⋅ | 𝑏 |

⎯ ⃗ ⎯ ⃗

−1

Indsættes de aktuelle betegnelser og beregnes med WordMat (CAS - Beregn), fås:

𝑣=cos^{−1} () =cos^{−1} ≈96,96777

𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ · 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗
 𝛼   𝛽

| 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ | ⋅ | 𝑛 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ |
  𝛼    𝛽

⎝ | ⎠

⎜ 0 23 ⎟

⎜ | ⎟
⎛ | ⎞

( 23) · ( 0)

0 23

16 −5

| ( 23) | ⋅ | ( 0) |

16 −5

Da den fundne vinkel 𝑣>90°, kan det konkluderes, at 𝑣 er den stumpe vinkel mellem planerne.

Derfor er den stumpe vinkel mellem planerne 𝛼 og 𝛽: 𝑣_{𝑠𝑡𝑢𝑚𝑝} =97,0° afrundet til én decimal.

Side 15

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

15

Opgave 14 a)

Husk at indstille CAS-værktøjet til at regne i radianer, da det er en trigonometrisk funktion.

Først defineres intervallet for 𝑥 i WordMat (CAS - Definitioner - Definer variabel):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:0≤𝑥≤3

Dernæst defineres forskriften for 𝑓 ligeledes i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑓 ( 𝑥) =𝑒^{−0,1⋅𝑥} ⋅ sin (𝜋 ⋅ 𝑥)

Grafen for 𝑓 tegnes med WordMat (Graftegning - Vis Graf - GNUplot):

For at bestemme ekstremapunkter for 𝑓 i det givne interval, skal den afledede funktion 𝑓′ bestemmes først, dette gøres med WordMat (CAS - Inifinites. - Differentier): 𝑓(𝑥)

Udtrykket differentieres vha. CAS-værktøjet WordMat.

−0,1 · 𝑒^{−0,1·𝑥} · sin ( 3,141593 · 𝑥) + 3,141593 · 𝑒^{−0,1·𝑥} · cos ( 3,141593 · 𝑥)

Den afledede funktion (herefter kaldet 𝑑𝑓(𝑥)) defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

Side 16

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

16

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟:𝑑𝑓 ( 𝑥) =−0,1 · 𝑒^{−0,1·𝑥} · sin ( 3,141593 · 𝑥) + 3,141593 · 𝑒^{−0,1·𝑥} · cos ( 3,141593 · 𝑥)

                                                         ′
Ekstremapunkter i intervallet [0;3] bestemmes ved at løse ligningen 𝑓 ( 𝑥 ) =0.

Dette gøres tillige med WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numerisk):

𝑑𝑓 ( 𝑥) =0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈0,4898712 ∨ 𝑥≈1,489871 ∨ 𝑥≈2,489871

Sammenholdt med grafen for 𝑓 kan det konkluderes, at 𝑓 i intervallet [0;3] har lokale maksima ved

𝑥_{1} =0,4899 og ved 𝑥_{2} =2,4899 (afrundet til fire decimaler).

𝑦-værdier til de lokale maksimumpunkter bestemmes med WordMat (CAS - Beregn):

𝑓 ( 𝑥_{1}) =𝑓 ( 0,4899) ≈0,9517114

𝑓 ( 𝑥_{2}) =𝑓 ( 2,4899) ≈0,7791954

Dermed er koordinatsættene til de lokale maksimumpunkter bestemt:

𝐴(0,4899;0,9517)

𝐵(2,4899;0,7792)

Koordinaterne er afrundet til fire decimaler.

b)

Forskriften for den eksponentielle funktion 𝑔 ( 𝑥) =𝑏 ⋅ 𝑎^{𝑥}, der går gennem punkterne 𝐴 og 𝐵 kan
bestemmes med en eksponentiel regression i WordMat (Statistik/sands. - Regression - Eksponentiel): (husk

at markere hele tabellen) x y punkt A 0,4899 0,9517 punkt B 2,4899 0,7792

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=0,9994803 · 0,9048455^{𝑥}

Den søgte forskrift for 𝑔 er således: 𝑔 ( 𝑥) =0,9995 ⋅ 0,9048^{𝑥}, når der afrundes til fire decimaler.

Forskriften defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion) til senere brug:

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑔 ( 𝑥) =0,9995 ⋅ 0,9048^{𝑥}

Side 17

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

17 c)

For at bestemme arealet af området 𝑀, afgrænset af graferne for 𝑓 og 𝑔 i intervallet [0,4899;2,4899], skal det først afgøres, hvilken af graferne, der ”ligger øverst”.

Dette undersøges ved at beregne funktionsværdier for en 𝑥-værdi, der udvælges indenfor intervallet.

Til dette formål vælges 𝑥=1,5. Beregningen foretages med WordMat (CAS - Beregn):

𝑓 ( 1,5) ≈−0,860708

𝑔 ( 1,5) ≈0,8602243

Da 𝑔>𝑓 i intervallet [0,4899;2,4899] kan arealet af 𝑀 bestemmes som integralet: (jf. formel 154) Beregnes med WordMat (CAS - Beregn).

𝐴_{𝑀} =∫ ( 𝑔 ( 𝑥) − 𝑓 ( 𝑥)) 𝑑𝑥 ≈1,721574

2,4899

0,4899

Arealet af området 𝑀 er således bestemt til: 𝐴_{𝑀} =1,7216 , afrundet til fire decimaler.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 18

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

18

Opgave 15 a)

Der havde indsneget sig en lille fejl i den oprindelige opgaveformulering. Der blev derfor udsendt et rettelsesblad til denne opgave. I denne besvarelse er der taget højde for rettelsen.

                      𝑑𝑀
Givet differentialligningen: =−𝑘⋅ 𝑀 samt startoplysningen: 𝑀 ( 0 ) =70
                      𝑑𝑡

Forskriften for 𝑀(𝑡) kan bestemmes vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Løs differentialligning):

𝑀^{′} =−𝑘⋅ 𝑀
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen M(0)=70
𝑀=70 · 𝑒^{−}^{(}

𝑘·𝑡)

Værdien af konstanten 𝑘 bestemmes vha. oplysningen 𝑀 ( 60) =20. Værdierne indsættes i ovenstående

ligning, og ligningen løses med hensyn til 𝑘 vha. WordMat (CAS - Løs Ligning(er) - Numeriske):

20=70 · 𝑒^{−}^{(}^{𝑘·60}

)

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑘=

ln()

7

2

60

≈0,02087938

Konstanten k er bestemt til

𝑘=

ln()

7

2

60

Dermed bliver forskriften for 𝑀: 𝑀 ( 𝑡) =70 · 𝑒

   ln(
−(     ·𝑡)
    60

7

2

) b)

Forskriften for 𝑀(𝑡) defineres i WordMat (CAS - Definitioner - Definer funktion):

𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑟: 𝑀 ( 𝑡) =70 · 𝑒

− ( ·𝑡)

ln()

7

2

60

Tallet 𝑀^{′} (60) bestemmes vha. WordMat (CAS - Beregn):

𝑀^{′} ( 60) =−

ln()

7

2

3

≈−0,4175877

Side 19

Skriftlig matematik STX A 2stx131-MAT/A-

19

Således er 𝑀^{′} (60) bestemt til: 𝑀^{′} ( 60) =−0,42 (afrundet til to decimaler)

hvilket betyder, at 60 minutter efter at den kemiske reaktion er sat i gang, aftager mængden af det pågældende stof 𝐴 med 0,42 mg pr. minut.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟: