STX Matematik A 31. maj 2012 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-

Opgaver uden hjælpemidler - 31. maj 2012

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-ler.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Opgave 1

Udtrykket reduceres (formel 7).

(𝑝 + 𝑞)^{2} − (𝑝^{2} − 𝑞^{2}) − 2𝑝𝑞 = 𝑝^{2} + 𝑞^{2} + 2𝑝𝑞 − 𝑝^{2} − (−𝑞^{2}) − 2𝑝𝑞 = 2𝑞^{2}

Udtrykket reduceres altså til 2𝑞^{2}.

Opgave 2

For at løse andengradsligningen bestemmes først diskriminanten (formel 79).

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐 = 1^{2} − 4 · 1 · (−30 == 1 + 120 = 121

Da 𝑑 > 0 har ligningen to løsninger. Disse to bestemmes.

𝑥 = = =

−𝑏 ± 𝑑 −1 ± 121 −1 ± 11

√ √

2 · 𝑎 2 · 1 2

Løsningsmængden til ligningen bliver altså

𝐿 = {−6, 5}

Opgave 3

Arealet af det parallelogram de to planvektorer udspænder, er givet ved den absolutte værdi af determinanten af de to vektorer (formel 46). Arealet bestemmes.

A = |det(⃗𝑎, 𝑏)| = |3 · 5 − 2 · (−2)| = |15 + 4| = 19

⃗

Arealet af det parallelogram der udspændes af vektorerne ⃗𝑎 og 𝑏 er altså 19.

⃗

1

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-

Opgave 4

For at bestemmes hvilken funktion F er stamfunktion til differentieres F .

F^{′} (𝑥) = 𝑥^{6} · 𝑒^{𝑥} + 3

()_{′}

(formel 121)

= 𝑥^{6} · 𝑒^{𝑥} + (3)^{′}

()_{′}

(formel 123, 128, 129)

= 6𝑥^{5} · 𝑒^{𝑥} + 𝑥^{6} · 𝑒^{𝑥}
= 𝑓_{2} (𝑥)

Da F^{′} (𝑥) = 𝑓_{2} (𝑥) må F være en stamfunktion til 𝑓_{2}.

Opgave 5

Funktionen 𝑓 er den eneste af funktionerne der er aftagende. Således må 𝐶 være grafen for 𝑓. Den første aflede af 𝑔 er en voksende funktion og den første aflede af h er en aftegende funktion. Således må A være grafen for 𝑔 og B må være grafen for h.

Opgave 6

At grafen for 𝑓 for at lokalt ekstremumspunkt i A(2, 2) fortæller at

𝑓(2) = 2 og 𝑓 (2) = 0

′

Funktionen 𝑓^{′} bestemmes.

𝑓^{′} (𝑥) = 𝑎 · 𝑥^{3} + 𝑏 · 𝑥^{2}

()_{′}

(formel 121)

= 𝑎 · 𝑥^{3} + 𝑏 · 𝑥^{2}

()_{′} ()_{′}

(formel 120, 129)

= 3𝑎𝑥^{2} + 2𝑏𝑥

Ligningerne 𝑓(2) = 2 og 𝑓^{′} (2) = 0 bliver da

𝑎 · 2^{3} + 𝑏 · 2^{2} = 2

⇕

8𝑎 + 4𝑏 = 2

og

3𝑎 · 2^{2} + 2 · 𝑏 · 2 = 0

⇕

12𝑎 + 4𝑏 = 0

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A 2stx121-MAT/A-

Ligningssystemet løses ved hjælp af substitution. Den sidste ligning omskrives.

12𝑎 + 4𝑏 = 0

⇕

𝑏 = − 𝑎 = −3𝑎

12

4

Udtrykket for 𝑏 indsættes i den første ligning.

8𝑎 + 4𝑏 = 2

⇕

8𝑎 + 4(−3𝑎) = 2

⇕

8𝑎 − 12𝑎 = 2

⇕

− 4𝑎 = 2

⇕

      1
𝑎 = −
      2

Endelig bestemmes 𝑏.

                1    3
𝑏 = −3𝑎 = −3  −   =
                2    2

()

Konstanterne 𝑎 og 𝑏 er altså

     1
𝑎 = −     og 𝑏 =
     2

3

2

3