STX Matematik A 5. december 2014 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014

1

STX Matematik A 5. december 2014

Delprøven uden hjælpemidler

stx143-Mat/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Den generelle løsningsformel for andengradsligninger er:

𝑥 =

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

Koefficienterne aflæses af polynomiet: 𝑎 = 1, 𝑏 = 5 og 𝑐 = −14

𝑥 =

−5 ± √ 5^{2} − 4 · 1 · (−14)
2 · 1
=

−5 ± √ 81

2

=

−5 ± 9

2

𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −7

Opgave 2

Da der er tale om udvikling hvor arealet aftager med en fast procentdel årligt, er der tale om en eksponentiel model:

𝐴 ( 𝑡) = 𝑏 · 𝑎^{𝑡}

Hvor 𝐴 er arealet af havis angivet i 𝑚𝑖𝑜.𝑘𝑚^{2}, mens 𝑡 er antal år efter 2008. 𝑎 er fremskrivningsfaktoren og
𝑏 = 6 er arealet af havisen i år 2008.

Om fremskrivningsfaktoren gælder, at:

𝑎 = 1 + 𝑟

Hvor 𝑟 = −1,3% = −0,013 er vækstraten.

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014

2

𝑎 = 1 + ( −0,013)
= 0,987

Den endelige forskrift bliver da:

𝐴 ( 𝑡) = 6 · 0,987^{𝑡}

Opgave 3

Punktet, der angiver sædets position i yderpositionen projiceres ind på det lodrette gyngestativ (se tegning). Linjestykket fra denne projektion og op til toppen af gyngestativet benævnes 𝑏. Resten af det

6,3 𝑚 høje gyngestativ benævnes ℎ og angiver gyngens højde over jorden. Vi har altså, at 6,3= 𝑏+ ℎ

Ved hjælp af pythagoras får vi, at:

4^{2} + 𝑏^{2} = 5^{2}

⇕

𝑏^{2} = 5^{2} − 4^{2}

⇕

𝑏 = √25 − 16
= √ 9
= 3

Så får vi:

6,3= 3 + ℎ

⇕

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014

3

ℎ = 3,3

Gyngens sæde er således 3,3 meter over Jorden, når personen befinder sig I yderpositionen.

Opgave 4

𝐹 ( 𝑥) = ∫ + 6𝑥^{2} 𝑑𝑥

1 𝑥

= ∫ 𝑑𝑥+ 6 · ∫𝑥^{2} 𝑑𝑥 (𝐼)

1 𝑥

= ln | 𝑥 | + 6 · 𝑥^{3} + 𝑘 (𝐼𝐼)

1

3

Da 𝑥 > 0 er ln | 𝑥 | = ln (𝑥), så:

𝐹 ( 𝑥) = ln ( 𝑥) + 2𝑥^{3} + 𝑘

Vi får nu at vide, at 𝑃(1,8) ligger på grafen for 𝐹, så 𝐹 ( 1) =8

8 =ln ( 1) + 2 · 1^{3} + 𝑘

⇕

8 =0+ 2 + 𝑘

⇕

𝑘 =8− 2
=6

Den endelige forskrift kan nu opskrives:

𝐹 ( 𝑥) = ln ( 𝑥) + 2𝑥^{3} + 6

( 𝐼):

Ledvis integration og konstant uden for integrationstegn:

∫𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∫𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘· ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

           1                                    1
                                    𝑛              𝑛+1
( 𝐼𝐼 ) : 𝑓 ( 𝑥 ) = ⇒𝐹 ( 𝑥 ) = 𝑙𝑛 | 𝑥 | 𝑜𝑔 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ⇒ 𝐹 ( 𝑥 ) = 𝑥
           𝑥                                   𝑛+1

Opgave 5

Ligningen for tangenten i et punkt 𝑃(𝑥_{0},𝑓(𝑥_{0}) er givet ved formlen:

𝑦 = 𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓(𝑥_{0})

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014

4

Tangenthældningen 𝑓^{′} ( 2) findes ved at indsætte koordinaterne af punktet 𝑃(2,3) i differentialligningen, i
det^{𝑑𝑦}_{𝑑𝑥} = 𝑓′(𝑥):

𝑑𝑦 2^{2} + 1 5
𝑑𝑥 3 − 1 2

= =

Nu indsættes tangenthældningen samt koordinatsættet 𝑃(2,3) i den generelle tangentligning:

𝑦 = · ( 𝑥− 2) + 3

5

2

= 𝑥− 5 + 3

5

2

= 𝑥− 2

5

2

                                               5
Ligningen for tangenten til grafen for 𝑓 i 𝑃 er således 𝑦 = 𝑥− 2
                                               2

Opgave 6

Først differentieres 𝑓(𝑥) for at finde 𝑓′(𝑥)

𝑓^{′} ( 𝑥) = − ( 𝑥^{3})^{′} + 6 · ( 𝑥^{2})^{′} + ( 𝑥)^{′}
= −3𝑥^{2} + 12𝑥 + 1 (𝐼)

Da 𝑓′(𝑥) er et andengradspolynomium med 𝑎 < 0, kan vi konstatere, at grafen er en parabel med benene nedad, hvorfor toppunktet er et globalt maksimum. 𝑥-koordinaten i toppunktet findes ved hjælp af toppunktsformlen:

𝑥 = −

𝑏

2𝑎

= −

12

2 · ( −3)
= 2

Den værdi af 𝑥, hvor 𝑓′(𝑥) er maksimal er således 𝑥 = 2.

(𝐼)

: Ledvis differentiation, konstant uden for parentes og differentiation af potensfunktion

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)
( 𝑘· 𝑓 ( 𝑥))^{′} = 𝑘· 𝑓^{′} ( 𝑥)
𝑓 ( 𝑥) = 𝑥^{𝑛} ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑛· 𝑥^{𝑛−1}

Hvis man ikke bemærker, at 𝑓′(𝑥) er et andengradspolynomium, hvis graf dermed er en parabel, kan sidste del af opgaven løses på følgende vis:

Side 5

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 5. December 2014

5

Ved at løse

𝑓^{′′} ( 𝑥) = 0 𝑥 𝑓′(𝑥)

findes

-koordinaten i det punkt, hvor er maksimal.

𝑓^{′′} ( 𝑥) = −3 · ( 𝑥^{2})^{′} + 12 · ( 𝑥)^{′} + (1)′
= −6𝑥 + 12

𝑓^{′′} ( 𝑥) = 0
−6𝑥+ 12= 0

⇕

6𝑥 = 12

⇕

𝑥 = 2

Vi tjekker nu fortegnet for

𝑓′′(𝑥) 𝑥 = 2

på begge sider af

.

𝑓^{′′} ( 1) = −6 · 1 + 12= 6

𝑓^{′′} ( 3) =−3 · 1 + 12 = −6

Der er kun et ekstremumspunkt, så det vil sige, at

𝑓′(𝑥)] − ∞,2]

er voksende i intervallet og aftagende i intervallet

[2,∞[

. Altså er der tale om et globalt maksimum.

Den værdi af

𝑥 𝑓′(𝑥) 𝑥 =2

, hvor er maksimal er således

.