STX Matematik A 7. december 2015 - Delprøven uden hjælpemidler

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

1

STX Matematik A 7. december 2015

Delprøven uden hjælpemidler

stx153-MAT/A-

Nogle opgaver inkluderer referencer til en formel i en grå kasse. Referencer til en formel kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formel i løsningerne, er så du præcis kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Opgave 1

Den generelle løsningsformel for andengradsligninger er:

𝑥 =

−𝑏 ± √𝑏^{2} − 4𝑎𝑐

2𝑎

Koefficienterne aflæses af polynomiet: 𝑎 = 1, 𝑏 = 2 og 𝑐 = −35

𝑥 =

−2 ± √ 2^{2} − 4 · 1 · (−35)
2 · 1
=

−2 ± √ 144

2

=

−2 ± 12

2

𝑥 = 5 ∨ 𝑥 = −7

Opgave 2

Da der er tale om en konstant, årlig forøgelse, anvendes en lineær model:

𝑦 = 𝑎𝑥+ 𝑏

Hvor: 𝑦 angiver antallet af medlemmer 𝑥 angiver antal år efter 2010 𝑎 er hældningskoefficient og angiver antal nye medlemmer pr. år, da 𝑦 vokser med 𝑎 når 𝑥 vokser med 1.

𝑏 er antallet af medlemmer i år 2010 (𝑦-værdien for 𝑥 = 0, dvs. i skæringen med 𝑦-aksen)

Side 2

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

2

Det vil sige:

𝑦 = 25𝑥+ 420

Opgave 3

Funktionen differentieres vha. produktreglen (𝐼):

𝑓^{′} ( 𝑥) = 2𝑥· ln ( 𝑥) + · (𝑥^{2} + 7)

1 𝑥

𝑓^{′} ( 1) = 2 · 1 · ln ( 1) + · ( 1^{2} + 7)

1

1

= 0 + 8
= 8

Dvs. 𝑓^{′} ( 1) = 8

(𝐼): Her anvendes produktreglen, led vis differentiation, differentiation af ln (𝑥), differentiation af potensfunktioner og differentiation af konstant:

( 𝑓 ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) · 𝑔 ( 𝑥) + 𝑓(𝑥)· 𝑔′(𝑥)

( 𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔 ( 𝑥))^{′} = 𝑓^{′} ( 𝑥) ± 𝑔^{′} ( 𝑥)

𝑓 ( 𝑥) = 𝑙𝑛 ( 𝑥) ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) =

1 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑥^{𝑎} ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) = 𝑎 · 𝑥^{𝑎−1}

𝑓 ( 𝑥) = 𝑘 ⇒ 𝑓^{′} ( 𝑥) =0

Opgave 4

For ensvinklede trekanter gælder, at det indbyrdes forhold mellem ensliggende sider er det samme for alle

3 par af sider. Vi kan således skrive

𝐵𝐶 𝐴𝐵

𝐶𝐸 𝐷𝐸

=

⇕

𝐵𝐶 = 𝐶𝐸 ·

𝐴𝐵

𝐷𝐸

Side 3

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

3

Da den store side, BC er givet ved 𝐵𝐶 = 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸, kan vi nu substituere:

𝐵𝐸+ 𝐶𝐸 = 𝐶𝐸·

𝐴𝐵

𝐷𝐸

⇕

𝐵𝐸 = 𝐶𝐸· − 𝐶𝐸

𝐴𝐵

𝐷𝐸

= 3 · − 3

6

4

= − 3

18

4

= −

18 12

4 4

=

6

4

=

3

2

Opgave 5

En generel forskrift for stamfunktioner til 𝑓 findes som:

𝐹 ( 𝑥) = ∫8𝑥^{3} − 6𝑥 +1𝑑𝑥

= 8 · ∫𝑥^{3} 𝑑𝑥− 6 · ∫𝑥𝑑𝑥+ ∫1𝑑𝑥 (𝐼)

= 8 · 𝑥^{4} − 6 · 𝑥^{2} + 𝑥+ 𝑘 (𝐼𝐼)

1 1

4 2

Dvs. 𝐹 ( 𝑥) = 2𝑥^{4} − 3𝑥^{2} + 𝑥 + 𝑘

Da grafen for 𝐹 går gennem 𝑃(2,−6), er 𝐹 ( 2) = −6:

−6 = 2 · 2^{4} − 3 · 2^{2} + 2 + 𝑘

⇕

−6 = 32 − 12 + 2 − 𝑘

⇕

−6 = 22 − 𝑘

𝑘 = 28

Den stamfunktion til 𝑓, hvis graf går gennem 𝑃(2,−6) er således: 𝐹 ( 𝑥) = 2𝑥^{4} − 3𝑥^{2} + 𝑥 + 28

Side 4

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 7. december 2015

4

( 𝐼): Konstant sættes udenfor og ledvis integration

∫𝑘· 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘· ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

∫𝑓 ( 𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

(𝐼𝐼): Tabel over stamfunktioner

Funktion Stamfunktion

𝑥^{𝑎} 𝑥^{𝑎+1}

1

𝑎+1

𝑘 𝑥

Opgave 6

Parablen 𝑦 = 𝑥^{2} har toppunkt (dog et minimum) i (0,0). Parablen kan parallelforskydes 4 mod højre ved at
erstatte 𝑥 med 𝑥 − 4. Parablen kan parallelforskydes 3 opad ved at lægge 3 til funktionsforskriften(𝐼).

Toppunktet bliver således forskudt til 𝑃(4,3), og ligningen bliver nu:

𝑦 = ( 𝑥− 4)^{2} + 3 (𝐼𝐼)

( 𝐼): Metoden gælder parallelforskydning af alle funktioner. Erstattes 𝑓(𝑥) med 𝑓(𝑥− 𝑎) parallelforskydes
funktionen med 𝑎 mod højre og med 𝑎 mod venstre for 𝑓(𝑥 + 𝑎).

Parallelforskydning med 𝑎 opad sker ved at erstatte 𝑓(𝑥) med 𝑔 ( 𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑎

Parallelforskydning med 𝑎 nedad sker ved at erstatte 𝑓(𝑥) med 𝑔 ( 𝑥) = 𝑓 ( 𝑥) − 𝑎

( 𝐼𝐼): Ligningen kan evt. også omskrives til et andengradspolynomium:

𝑦 = 𝑥^{2} + 4^{2} − 2 · 4 · 𝑥 +3
= 𝑥^{2} + 16 − 8𝑥+ 3
= 𝑥^{2} − 8𝑥+ 19