STX Matematik A 12. august 2009 - Vejledende besvarelse

Opgave 1

Bestemmelse af ligning for l Jvf. formel 49 kan linjens ligning skrives på formen: y = a(x − x ) + f(x Da vi kender de to punkter (1,-6) og (-2,3) bruger vi formel 47 til at finde hældningen, a. a = a = −3 Vi indsætter nu punktet(1,-6) og a = −3 i formel 49: y = −3x −3 Denne type af opgaver er ofte set i eksamenssæt. Fremgangsmåderne er meget ens. Man finder hældningen vha. de to opgivne punkter (jvf. formel 47), og derefter indsætter man i formel 49 og finder linjens ligning. Bemærk at det er ligegyldigt hvilket punkt man indsætter for at finde linjens ligning. Bestemmelse af skæringspunkter med akserne Vi ved at når x = 0 forefindes skæring med y-aksen (Vi ved desuden fra formel 48, at b angiver 2. koordinaten for skæringen med y-aksen). Skæringen med y-aksen bliver da i punktet P Der gælder at, når y = 0 forefindes skæringen med x-aksen, og vi regner os nu frem til skæringen med x-aksen.

0 = −3x −3 m 3 = −3x m x = −1 Altså skærer l de to akser ved henh. (0, −3) og (−1, 0) Vi kan nu se at centrum har koordinaterne C = (−3, 7, −1), og at radius er r r = Denne opgave findes groft sagt i to varianter. Én hvori man skal konstruere en kugles ligning på baggrund af kendskab til radius og centrums koordinater, og så én som ovenstående. Her skal man foretage en såkaldt kvadratkomplettering, for at få cirklens ligning til at stå på den korrekte form. Populært sagt, bruger vi kvadratsætningerne baglæns.

Opgave 3

Da der er tale om en retvinklet trekant, ved vi ,jvf. formel 21 (Den Pythagoræiske Læresætning), at der gælder: c = a + (a + 1) , hvor c er længden hypotenusen.

Vi indsætter a=3 og ser c c = c = 5 Altså er længden af hypotenusen 5, og der er tale om den klassiske 3-4-5 trekant. Denne trekant er altså den klassiske 3-4-5 trekant. Denne type trekant er kendt, og det er derfor fint at bemærke i en eksamenssituation. x = 3.

At x · y = 0 ⇔ x = 0 ∨ y = 0 er sandt, er klart.