STX Matematik A 11. august 2011 | Med hjælpemidler

Side 1

stx112-MAT/A-

1

Vejledende besvarelse

STX Matematik A – 11. august 2011

Alle formlerne i de nedenstående besvarelser henviser til Matematisk formelsamling stxf A fra 2007.

Referencer til en formelsamling kræves ikke i en besvarelse, og kan ikke erstatte forklaringer og øvrig tekst. Grunden til, at her medtages formelnumre i løsningerne, er så læseren præcist kan se hvilken formel, der bruges i hver mellemregning.

Alle opgaver er for så vidt muligt regnet med WordMat, da vores erfaring viser, at det er langt det hurtigste værktøj at anvende.

Det ”pæne” gangetegn ⋅ fås ved kommandoen \cdot. Alternativt kan man bruge *. Det virker fint med WordMat, men ser ikke så pænt ud.

Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

Tips til TI-nSpire findes i slutningen af dokumentet.

Alle beregninger er, hvis ikke andet angivet, udført med WordMat.

Opgave 7 a)

Da der er tale om en potensfunktion, foretages der en potensregression over tabellens data for at bestemme a og b.

Laksens 50 60 70 80 90 100 105 længde

(cm)

Laksens 1,29 2,19 3,47 5,11 7,45 10,36 12,05 vægt (kg)

Potens regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 0,9996973

𝑦=0,000009541563 · 𝑥^{3,015812}

Side 2

stx112-MAT/A-

2

Ud fra regressionen kan vi aflæse:

𝑎=3,0158 afrundet til fire decimaler og 𝑏=0,0000095 afrundet til syv decimaler.

b)

Vi definerer modellen:

𝑉 ( 𝐿):=0,000009541563 · 𝐿^{3,015812}

Vægten af en laks, der er 87 cm lang bestemmes som

𝑉 ( 87) =6,742873

Ifølge modellen er vægten af en laks der er 87 cm lang 6,74 kg afrundet til to decimaler.

For at bestemme længden af en laks, der vejer 2,56 kg løses ligningen

𝑉 ( 𝐿) =2,56

⇕ Ligningen løses for L vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐿=63,10339

Dvs. længden af en laks på 2,56 kg ifølge modellen er 63,1 cm afrundet til en decimal.

c)

Da der er tale om en potensfunktion gælder der (jf. formel 108) at øges laksens længde med 25 % så øges laksens vægt med

𝑟_{𝑉} = ( 1 + 0,25)^{𝑎} − 1= ( 1 + 0,25)^{3,015812} − 1 =0,9600285

Når længden forøges med 25 %, vil laksens vægt således ifølge modellen forøges med 96 % afrundet til hele procenter.

Side 3

stx112-MAT/A-

3

Opgave 8 a)

WordMat's trekantsløser anvendes med input: BC = 12 , AC = 16 , AB = 8

104° A = 46,56746°
B = 104,4775°
C = 28,95502°

BC = 12
AC = 16
AB = 8

Vinkel A og B findes vha. cosinusrelationer

𝐴=cos^{−1} () =cos^{−1} () =46,56746°

𝐴𝐵^{2} + 𝐴𝐶^{2} − 𝐵𝐶^{2} 8^{2} + 16^{2} − 12^{2}
2 · 𝐴𝐶· 𝐴𝐵 2 · 16 · 8

𝐵=cos^{−1} () =cos^{−1} () =104,4775°

𝐴𝐵^{2} + 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐶^{2} 8^{2} + 12^{2} − 16^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵 2 · 12 · 8
Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵=180° − 46,56746° − 104,4775°=28,95502°

Af ovenstående ses det, at vinkel A er 46,6° afrundet til en decimal.

b)

Da vi har beregnet vinkel A i opgave a) og trekant ABH er retvinklet kan vi beregne de resterende sider:

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 46,56746° , H = 90° , AB = 8

A = 46,56746°
B = 43,43254°
H = 90°

BH = 5,809475
AH = 5,5
AB = 8

46,6° 5,5 90°

43,4°

8 5,81

46,6° 16 29°

8 12

Side 4

stx112-MAT/A-

4

Vinkel B findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant
𝐵=180° − 𝐴 − 𝐻=180° − 46,56746°− 90°=43,43254°

Længden af siden BH findes vha. sinus

𝐵𝐻=𝐴𝐵· sin ( 𝐴) =8 · sin ( 46,56746) =5,809475

Længden af siden AH findes vha. cosinus

𝐴𝐻=𝐴𝐵· cos ( 𝐴) =8 · cos ( 46,56746) =5,5

Trekantens areal kan nu beregnes som (en halv gange grundlinje gange højde):

𝐴= ⋅ 𝐴𝐻⋅ 𝐵𝐻= ⋅ 5,5 ⋅ 5,809475=15,97606

1 1

2 2

Arealet af trekant 𝐴𝐵𝐻 er dermed 15,98 afrundet til to decimaler.

c)

Da G er placeret på linjestykket AC, er BH også højden i trekant ABG. Arealet af trekant ABG kan dermed bestemmes som:

𝐴_{𝐴𝐵𝐺} = ⋅ 𝐵𝐻⋅ 𝐴𝐺= ⋅ 5,809475 ⋅ 𝐴𝐺

1 1

2 2

Vi løser nu ligningen 𝐴_{𝐴𝐵𝐺} =20 for AG:

20= ⋅ 5,809475 ⋅ 𝐴𝐺

1

2

⇕ Ligningen løses for AG vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝐴𝐺=6,885304

For at arealet at trekant ABG er lig 20 skal | 𝐴𝐺 | =6,89 afrundet til to decimaler.

Side 5

stx112-MAT/A-

5

Opgave 9 a)

For at tegne de to boksplot bestemmes først kvartilsættene for hvert af datasættene.

For oksekødspølserne bliver medianen gennemsnittet af værdi nummer 5 og 6 da der er 10 værdier i alt

                        149+153
(lige antal). Dvs. medianen er =151. Nedre kvartil er da medianen af værdierne til venstre fra
                           2

midten, dvs. 132, og tilsvarende er øvre kvartil medianen af værdierne til højre fra midten, dvs. 158.

Mindsteværdien er 111 og størsteværdien 190

                           135+142
For kyllingepølserne er medianen  =138,5, og nedre kvartil hhv. øvre kvartil 102 hhv. 144.
                              2

Mindsteværdien er 86 og størsteværdien 152

Boksplottene tegnes via WordMat:

Ud fra boksplottene ses det at oksekødspølserne generelt er mere kalorierige end kyllingepølserne.

Medianen for oksekødspølserne ligger på niveau med maksimumsværdien for kyllingepølserne, hvilket betyder at ca. 50 % af oksekødspølserne har et kalorieindhold, der er større end det nogen af kyllingepølserne har.

Boksen for kyllingepølserne er noget længere end for oksekødspølser, hvilket betyder, at spredningen mellem kalorieindholdet er større for kyllingepølserne end det er for oksekødspølserne.

0 200

Oksekødspølser

Kyllingepølser

Side 6

stx112-MAT/A-

6

Opgave 10 a)

Vi kan opstille informationerne fra opgaven i en tabel: t, tid efter første detektion 10 30

N(t), Antallet af computere der er 110 160 inficeret t sekunder efter første detektion

Da der er tale om en eksponentiel sammenhæng, kan vi bestemme en forskrift for 𝑁 ( 𝑡) ved at udføre en eksponentiel regression på tabellens data:

Eksponentiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R^{2} = 1

𝑦=91,20718 · 1,018911^{𝑥}

En forskrift for 𝑁 ( 𝑡) er dermed fundet til:

𝑁 ( 𝑡):=91,20718 · 1,018911^{𝑡}

Egentlig lægger opgaven ikke op til en regression, som når vi skal estimere en model, da vi kun kender to punkter. Men det er bare hurtigere at løse opgaven på denne måde, end at bruge formel 97.

b)

Antallet af computere der var inficeret efter 5 sekunder kan beregnes som

𝑁 ( 5) =100,1637

Efter 5 sekunder var der altså 100 inficerede computere, afrundet til hele computere.

c)

Fordoblingstiden for en eksponentiel model er (jf. formel 99)

𝑇_{2} = = =ln ( 2) · 53,37772≈36,99861

ln ( 2) ln ( 2) ln ( 𝑎) ln ( 1,018911)

Dvs. hver gang der går 37 sekunder afrundet til hele sekunder, så er antallet af inficerede computere fordoblet.

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

stx112-MAT/A-

7

Opgave 11 a)

Funktionerne defineres:

𝑔 ( 𝑥) ≔4 ( 1 − 𝑒^{−𝑥})

ℎ ( 𝑥) ≔𝑒^{𝑥} − 1

Graferne tegnes via WordMat / Vis Graf /GnuPlot

Side 8

stx112-MAT/A-

8

For at indstille grafvinduet, skal man prøve forskellige værdier af xmin, xmax, ymin og ymax, og klikke opdater.

Førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem de to grafer fås ved at løse ligningen

𝑔 ( 𝑥) =ℎ(𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=0 ∨ 𝑥=ln ( 4)

Førstekoordinaterne til skæringspunkterne er altså hhv. 𝑥 = 0 og 𝑥 =ln(4).

b)

Ud fra graferne kan vi se at 𝑔 ( 𝑥) ≥ℎ(𝑥) i intervallet [0,ln(4)]. Dermed kan arealet af M bestemmes ved

formlen (formel 154)

𝑀= ∫ ( 𝑔 ( 𝑥) − ℎ ( 𝑥)) 𝑑𝑥=5 · ln ( 4) − 6≈0,9314718

ln ( 4)

0

Arealet af M er således

𝑀=5ln ( 4) − 6

Tip: Hvis resultatet kan angives eksakt, skal det angives eksakt.

Side 9

stx112-MAT/A-

9 c)

𝑔^{′} ( 𝑥) =4 · 𝑒^{−𝑥}

Da 𝑒^{𝑥} >0 for alle 𝑥∈ℝ er 4𝑒^{−𝑥} >0 for alle 𝑥∈ℝ. Da 𝑔^{′} ( 𝑥) >0 for alle 𝑥∈ℝ er 𝑔 en voksende

funktion.

Sagt på en anden måde: Hvis g’ er positiv for alle reelle tal, så er g en voksende.

𝑔^{′} ( 𝑥) =4 · 𝑒^{−𝑥} =4 ⋅_{𝑒^{𝑥}}^{1} >0 ∀ 𝑥∈𝑅

𝑠𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 10

stx112-MAT/A-

10

Opgave 12 a)

Vektorer noteres her uden pile.

For at bestemme en ligning for kuglen (jf. formel 75) bestemmes først kuglens radius r ved at beregne afstanden fra punktet C til punktet P.

𝐶≔( 0), 𝑃≔( −1)

0 2

5 3

Dette gøres ved at bestemme længden af vektor 𝐶𝑃.

𝐶𝑃≔𝑃 − 𝐶

| 𝐶𝑃 | =3

Vi har dermed at kuglens radius 𝑟=3.

Kuglens centrum er opgivet på forhånd, så kuglens ligning kan nu opskrives

3^{2} = ( 𝑥− 0)^{2} + ( 𝑦− 0)^{2} + ( 𝑧 − 5)^{2}

b)

For at bestemme koordinatsættet til røringspunktet 𝑄 mellem kuglen og planen 𝛼 finder vi først en parameterfremstilling for linjen 𝑙, der går gennem punkterne 𝐶 og 𝑄.

Da 𝑄 er et tangentpunkt til kuglen er en retningsvektor for linjen 𝑟⃗ en normalvektor for planen 𝛼, 𝑛 ⎯ ⃗ .
                                                      𝑙                           𝛼

En normalvektor kan findes ved at aflæse koefficienterne til x, y og z i ligningen for 𝛼 jf. formel 71.

𝑛 ⎯ ⃗_{𝛼} =( 6)

3

−6

Vi tager udgangspunkt i P og en parameterfremstilling for linjen l er dermed:

( 𝑦) =( 0) + 𝑡( 6)=( 6𝑡)

𝑥 𝑧

0 3 3𝑡

5 −6 5 − 6𝑡

Vi kan nu bestemme koordinatsættet til Q ved at indsætte udtrykkene for x, y og z fra parameterfremstillingen i planens ligning og løser for t.

3 ( 3𝑡) + 6 ( 6𝑡) − 6 ( 5 − 6𝑡) + 3=0

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 11

stx112-MAT/A-

11

𝑡=

1

3

       1
For 𝑡= skærer findes altså punktet Q. Dette indsættes nu i linjens parameterfremstilling.
       3

( 𝑦) =( 0) + ( 6)=( 2)

𝑥 𝑧

0 3 1

5 −6 3

1

3

Således er koordinatsættet til røringspunktet Q mellem kuglen og 𝛼, 𝑄(1,2,3).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 12

stx112-MAT/A-

12

Opgave 13 a)

Væksthastigheden til tidspunktet t=10 fås ved at indsætte t=10 og N=266

𝑑𝑁 𝑑𝑡

=0,82 ∙ 0,88^{10} ∙ 266=60,74663

Efter netop 10 dage er væksthastigheden 60,75 mio. kræftceller pr. døgn afrundet til to decimaler.

b)

                                      𝑑𝑁
                                            ′
Differentialligningen opstilles med notationen =𝑁 ( 𝑡 ) og løses
                                      𝑑𝑡

𝑁^{′} ( 𝑡) =0,82 ⋅ 0,88^{𝑡} ⋅ 𝑁 ( 𝑡)
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen N(10)=266

𝑁 ( 𝑡) =266 · 𝑒^{−1,640536·10^{−15}}

·

41·25^{0,9602863·𝑡+10} −41·25^{0,3106675·}

( 3,218876·𝑡+30,91042)
25^{𝑡}

En forskrift for N(t) er dermed givet ved ovenstående udtryk.

Side 13

stx112-MAT/A-

13

Opgave 14 a)

Symønstrets omkreds er givet ved længderne af de tre sider og halvcirklen (formel side 32 / halvdelen af

cirklens samlede omkreds), dvs.

𝑂 ( 𝑥;𝑦) ≔2𝑥+ 𝑦 + 𝑦+

2𝜋𝑥

2

Et udtryk, der beskriver symønsterets omkreds udtrykt ved x og y er dermed

𝑂 ( 𝑥;𝑦) =2 · 𝑦 + 𝜋· 𝑥+ 2 · 𝑥

Husk at adskille x og y med ; når funktioner med flere variable defineres. Ellers virker det ikke i WordMat.

b)

Arealet af symønstret er givet ved arealet af hele rektanglet fratrukket arealet af halvcirklen

𝐴 ( 𝑥;𝑦) ≔2𝑥⋅ 𝑦 − 𝜋𝑥^{2}

1

2

Da vi ved at 𝑂=100 kan vi kan isolere y i formlen for omkredsen.

Vi løser følgende ligning for y

𝑂 ( 𝑥;𝑦) =100

⇕ Ligningen løses for y vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑦=−

( 𝜋+2) · 𝑥− 100

2

Vi indsætter nu 𝑦 i ligningen for arealet

𝐴 ( 𝑥, −) =−3 · 𝜋· − 2 · 𝑥^{2} + 100 · 𝑥

( 𝜋+ 2) · 𝑥− 100 𝑥^{2}

2 2

Symønstrets areal som funktion af 𝑥, når omkredsen er 100 cm er altså i cm^{2} givet ved

𝐴_{100} ( 𝑥):=−3 · 𝜋 · − 2 · 𝑥^{2} + 100 · 𝑥

𝑥^{2}

2 c)

For at bestemme 𝑥 så 𝐴_{100} ( 𝑥) er størst, bestemmes nulpunkter for 𝐴_{100}^{′}.

𝐴_{100}^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 14

stx112-MAT/A-

14

𝑥=

100

3 · 𝜋 + 4

                                                       100
                        ′
Vi udregner nu fortegnet af 𝐴 på begge sider af nulpunktet 𝑥= ved hjælp af WordMat.
                        100
                                                      3·𝜋+4

𝐴_{100}^{′} ()=50

50

3 · 𝜋 + 4

𝐴_{100}^{′} ()=−50

150

3 · 𝜋 + 4

                                                                                  100
   ′
Da𝐴   er positiv til venstre og negativ til højre for nulpunktet, er der tale om et maksimum for 𝑥= .
   100
                                                                                 3·𝜋+4

                                                             100
Dvs. hvis omkredsen er 100 cm, så er symønsterets areal er størst for 𝑥= ≈7,45 cm
                                                            3𝜋+4

Side 15

studienet.dk
stx112-MAT/A-
TI-nspire Specielle beregninger
Opgave 7
1.1 Opgave07
l:={50,60,70,80,90,100,105}
{50,60,70,80,90,100,105}
v:={1.29,2.19,3.47,5.11,7.45,10.36,12.05}
{1.29,2.19,3.47,5.11,7.45,10.36,12.05}
PowerReg l,v
Udført
stat.results
"Titel" "Potensregression"
"RegEqn" "a*x^b"
2/4
1.1 1.2 *Opgave07
v(l):=stat.a·l^(stat.b)
Udført
v(87) 6.74287
2/99
1.1 1.2 1.3 *Opgave07
solve(v(l)=2.56,l)
l=63.1034
1/99
15

Side 16

studienet.dk
stx112-MAT/A-
Opgave 8
1.1 opg8
ac:=16 16
ab:=8 8
bc:=12 12
a:=cos⁻¹((ac²+ab²-bc²)/(2·ac·ab)) 46.5675
4/99
Opgave 11
1.1 1.2 *Opgave11
g(x):=4·(1-e^(-x)) Udført
h(x):=e^x-1 Udført
solve(g(x)=h(x),x) x=0 or x=2·ln(2)
1/3
1.1 1.2 *Opgave11
h(x):=e^x-1 Udført
solve(g(x)=h(x),x) x=0 or x=2·ln(2)
∫[0 til 2·ln(2)] (g(x)-h(x)) dx    2·(5·ln(2)-3)
(d/dx)(g(x))    4·e^(-x)
5/99
16

Side 17

stx112-MAT/A-

17

Opgave 13

Bemærk: TI-nSpire finder her en ”pænere” løsning end WordMat. Udtrykkene giver dog samme funktion, og er dermed begge korrekte.

Opgave 14

Side 18

studienet.dk
stx112-MAT/A-
1.1 *Ikke gemt
o(x,y)=2·x+y+y+[afklippet tæller i originalskærmbilledet]/2
o(x,y):=(π+2)·x+2·y Udført
a(x,y)=2·xy-(1/2)·x²·π    a(x,y)=2·xy-(π·x²)/2
solve(o(x,y)=100,y)    y=-((π+2)·x-100)/2
4/99
1.1 *Ikke gemt
a(x):=2·x·[afklippet tæller i originalskærmbilledet]/2-(π·x²)/2
Udført
a(x)    -x·((3·π+4)·x-200)/2
am(x):=(d/dx)(a(x)) Udført
am(x)    100-(3·π+4)·x
2/7
18