STX Matematik A 10. december 2010 - Vejledende besvarelse

Side 1

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

1

STX Matematik A

10. december 2010

stx103-MAT/A-

Delprøven uden hjælpemidler .......................................................................................................................... 2 Delprøven med hjælpemidler ........................................................................................................................... 6

Side 2

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx103-MAT/A-1012201

Opgaver uden hjælpemidler - Stx Matematik A december

2010

Alle formelnumre i de nedenstående løsninger henviser til Matematisk formelsamling stx A, 2007 fra Matematiklærerforeningen.

Bemærk at formelsamlingen må ikke medbringes til selve prøven uden hjælpemid-ler.

Vi medtager formelnumre i vores løsninger, så du i din forberedelse præcist kan se hvilken formel, der bruges til at løse opgaven.

Til nogle udregninger har vi skrevet en forklaring i kursiv. Dette forventes der ik-ke i en eksamensbesvarelse.

Opgave 1 - Reduktion af udtryk (9.152)

(𝑎 + 3𝑏)^{2} + 𝑏(𝑎 − 9𝑏) − 7𝑎𝑏 =

𝑏 ganges ind i parentesen

(𝑎 + 3𝑏)^{2} + (𝑎𝑏 − 9𝑏^{2}) − 7𝑎𝑏 =

kvadratsætning (formel 7)

(𝑎^{2} + 9𝑏^{2} + 6𝑎𝑏) + (𝑎𝑏 − 9𝑏^{2}) − 7𝑎𝑏 =

parenteserne „hæves“

𝑎^{2} + 9𝑏^{2} + 6𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 9𝑏^{2} − 7𝑎𝑏 =

der reduceres mest muligt

𝑎^{2}

Opgave 2 - Løsning af andengradsligning (9.153)

For at løse andengradsligningen bestemmes diskriminanten 𝑑:

𝑑 = 𝑏^{2} − 4𝑎𝑐 jf. formel 79

𝑑 = (−5)^{2} − 4 · 2 · (−3)

⇕

𝑑 = 49

da diskriminanten 𝑑 > 0 har andengradsligningen to løsninger.

2

Side 3

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx103-MAT/A-1012201

Løsningerne bestemmes med formlen:

𝑥 = formel 79

−𝑏 ± 𝑑

√

2𝑎

𝑥 =

−(−5) ± 49

√

2 · 2

⇕

𝑥 =

5 ± 7

4

⇕

𝑥 = − ∨ 𝑥 = 3

1

2

                                               1
Andengradsligningen har således løsningerne: 𝑥 = − ∨ 𝑥 = 3
                                               2

Opgave 3 - Bestemmelse af bestemt integrale (9.154)

∫_{1}

0

()

8𝑥^{3} + 𝑒^{𝑥} 𝑑𝑥 =

formel 150

∫_{1} ∫_{1}

0

  3         𝑥
8𝑥 𝑑𝑥 +    𝑒 𝑑𝑥 =
         0

formel 137 og 134

[]_{1}

8

3 + 1

· 𝑥^{3+1} + [𝑒^{𝑥}]^{1}_{0} =

0

[]_{1}
2𝑥^{4}_{0} + [𝑒^{𝑥}]^{1}_{0} =

formel 147

(2 · 1^{4} − 2 · 0^{4}) + (𝑒^{1} − 𝑒^{0}) =

2 + 𝑒^{1} − 1 =

𝑒 + 1

Opgave 4 - Bestemmelse af 𝑎 og 𝑏 for en potensfunktion (9.155)

Da grafen for f går gennen punkterne P og 𝑄 ved vi at følgende to ligninger gælder.

1 = 𝑏 · 2^{𝑎}

og

27 = 𝑏 · 6^{𝑎}

3

Side 4

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx103-MAT/A-1012201

Dette er to ligninger med to ubekendte og vi kan bestemme 𝑎 og 𝑏 ved at løse disse. Vi isolerer først 𝑏 i den første ligning.

1 = 𝑏 · 2^{𝑎} ⇔ 𝑏 =

1

2^{𝑎}

Vi indsætter udtrykket for 𝑏 i den anden ligning.

27 = · 6^{𝑎}

1

2^{𝑎}

27 = = 3^{𝑎}

()_{𝑎}

6

2

⇕

ln(27) = ln(3^{𝑎}) = 𝑎 ln(3)

⇕

𝑎 = = = = 3

ln(27) ln(3^{3}) 3 ln(3)

ln(3) ln(3) ln(3)

Vi indsætter nu den fundne værdi for 𝑎 i udtrykket for 𝑏

𝑏 = = =

1 1 1

2^{𝑎} 2^{3} 8

                                                      1
Værdierne for 𝑎 og 𝑏 er således bestemt til: 𝑎 = 3 og 𝑏 =
                                                      8

Alternativt kunne man have bestemt 𝑎 ud fra formel 107, og derefter b ved indsættelse af et punkt. Det kræver dog at man kan huske formlen, og da der ikke rigtig spares noget tid i forhold til at løse to ligninger med to ubekendte bruger vi altid sidstnævnte metode.

Opgave 5 - Længde af side i ensvinklede trekanter (9.156)

Da trekanterne er ensvinklede gælder der, at forholdet mellem de på hinanden ligedanne sider er konstant, k (formel 19 i ord). Vi beregner konstanten ved at se på forholdet mellem

linjestykkerne |AB| og |A_{1} B_{1} |.

𝑘 = =

|AB| 3

|A_{1} B_{1} | 2

Vi kan nu beregne længden af linjestykket |A𝐶|.

|A𝐶| = 𝑘 · |A_{1} 𝐶| = · 4 = 6

3

2

4

Side 5

Studiekompasset.dk Skriftlig matematik STX A stx103-MAT/A-1012201

Opgave 6 - Er 𝑓(𝑥) en løsning til differentialligningen? (9.157)

Ved „at gøre prøve“ kan det undersøges, hvorvidt 𝑓 (𝑥) er en løsning til differentiallignin-gen: 𝑓(𝑥) indsættes (som 𝑦) i diffentialligningen: Vi ser først på venstresiden: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= (𝑥 · ln(𝑥) − 𝑥 + 1)^{′}

formel 122

= (𝑥 · ln(𝑥))^{′} − (𝑥 − 1)^{′}

formel 123

= (𝑥)^{′} · ln(𝑥) + 𝑥 · (ln(𝑥))^{′} − (𝑥 − 1)^{′}

formel 125 og 128

= 1 · ln(𝑥) + 𝑥 · − 1

1 𝑥

= ln(𝑥)

Så ser vi på højresiden

(𝑥 · ln(𝑥) − 𝑥 + 1) + 𝑥 − 1 𝑥 ln(𝑥)

𝑥 𝑥

= = ln(𝑥)

Da vestresiden er lig højresiden er ligningen sand når 𝑓(𝑥) indsættes, og dermed er 𝑓 (𝑥) en løsning til differentiallignigen.

5

Side 6

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

6

Delprøven med hjælpemidler

Alle løsninger er foretaget med CAS-værktøjet WordMat, med mindre andet er angivet.

Husk at skrive nedenstående kommentar om at beregningerne er foretaget ved hjælp af WordMat som første linje til besvarelsen, så censor ved hvor tallene kommer fra.

NB: Mange af de anvendte formler i opgaven kan findes og indsættes direkte fra WordMats egen formelsamling, som findes øverst til venstre. Der er store tidsbesparelser at hente ved at bruge formelsamlingen!

Opgave 7 a)

Vi definerer vektorerne: 𝑎⃗≔()

1

3 𝑏 ≔()

⎯ ⃗

−2

1

Vi bestemmer vinklen mellem vektorerne 𝑎⃗ og 𝑏:

⎯ ⃗

cos ( 𝑣) =

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑎⃗ | | 𝑏 |

⎯ ⃗

⇕ Ligningen løses for v vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑣=81,8699

Vinklen mellem vektorerne er bestemt til 81,87° (afrundet til 2 decimaler).

b)

Vi bestemmer koordinatsættet til projektionen af vektor 𝑎⃗ på vektor 𝑏:

⎯ ⃗

𝑎⃗_{𝑏} = · 𝑏

𝑎⃗· 𝑏

⎯ ⃗

| 𝑏 |

⎯ ⃗^{2}

⎯ ⃗

≈()

−0,4

0,2

Koordinatsættet til projektionen af vektor 𝑎⃗ på vektor 𝑏 er bestemt til 𝑎 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯_{𝑏} ⃗ = (-0,4; 0,2).

⎯ ⃗

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 7

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

7

Opgave 8 a)

Planens ligning er givet ved:

𝑎 ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑏 ( 𝑦 − 𝑦_{0}) + 𝑐 ( 𝑧 − 𝑧_{0}) =0

Planens ligning består af en normalvektor 𝑛 ⎯ ⃗ = ( 𝑏) og et punkt i planen 𝑃_{0} ( 𝑥_{0},𝑦_{0},𝑧_{0}).

𝑎 𝑐

Vi bestemmer en normalvektor til planen som krydsproduktet af 𝐴𝐵 ×𝐴𝐶:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

Vi definerer punkterne:

𝐴≔( 0)

6

0

𝐵≔( 2)

0

0

𝐶≔( 0)

0

3

Vi bestemmer vektor 𝐴𝐵 og 𝐴𝐶:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐴𝐵 =𝐵− 𝐴

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=( 2)

−6

0

𝐴𝐶 =𝐶− 𝐴

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=( 0)

−6

3

Vi bestemmer en normalvektor til planen:

𝑛_{𝛼} =𝐴𝐵 ×𝐴𝐶

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

=( 2)×( 0)

−6 −6

0 3

=( 18)

6

12

Vi vælger punktet A(6, 0, 0), som punktet i planens ligning.

Side 8

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

8

Vi opskriver en ligning for planen 𝛼:

𝛼:6 · ( 𝑥− 6) + 18 · ( 𝑦− 0) + 12 · ( 𝑧 − 0) =0

Vi omskriver udtrykket:

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝛼:12 · 𝑧 + 18 · 𝑦+ 6 · 𝑥− 36=0

⇕

𝛼:2 · 𝑧 + 3 · 𝑦+ 𝑥− 6=0

En ligning til planen 𝛼 er bestemt til udtrykket herover.

b)

Arealet af trekant ABC kan bestemmes som halvdelen af den numeriske værdi af krydsproduktet mellem vektor 𝐴𝐵 og vektor 𝐴𝐶:

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

𝐴_{𝐴𝐵𝐶} = · | 𝐴𝐵 ×𝐴𝐶 |

1

2

⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⃗

= · | ( 2)×( 0) |

1

2

−6 −6

0 3

=3 · √ 14

≈11,22497

Arealet af trekant ABC er bestemt til 11,22 (afrundet til 2 decimaler).

c)

Hvis planen 𝛼 skal være tangentplan til kuglen, så skal afstanden mellem plan og centrum af kuglen være lig radius af kuglen på 11.

Vi undersøger afstanden fra centrum af kuglen til planen. Vi benytter afstandsformlen og indsætter cirklens centrum og ligningen for planen 𝛼:

𝑑𝑖𝑠𝑡 ( 𝑃,𝛼) =

| 𝑎· 𝑥_{1} + 𝑏· 𝑦_{1} + 𝑐· 𝑧_{1} + 𝑑 |
√ 𝑎^{2} + 𝑏^{2} + 𝑐^{2}
=

| 6 · 0 + 18 · 10 + 12 · 5 − 36 |
√ 6^{2} + 18^{2} + 12^{2}

≈9,086882

Da afstanden ikke er lig radius af kuglen, kan vi konkludere, at planen 𝛼 ikke er et tangentplan.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Side 9

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

9

Opgave 9 a)

Vi bestemmer vinkel ∠B i trekant ACD. Vi benytter WordMats trekantsløser.

WordMat's trekantsløser anvendes med input: A = 54°, BC = 9,1, AC = 10,2

Trekantsløseren finder to trekanter, da B er spids, vælger vi trekanten, hvor ∠B < 90 °:

A = 54°
B = 65,068209°
C = 60,931791°

BC = 9,1
AC = 10,2
AB = 9,8314148

Længden af siden AB findes vha. en cosinusrelation:

𝐵𝐶^{2} =𝐴𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 2𝐴𝐶· 𝐴𝐵· cos ( 𝐴)

2. gradsligningen løses for AB:

𝐴𝐵=𝐴𝐶· cos ( 𝐴) + √ 𝐵𝐶^{2} − 𝐴𝐶^{2} · sin ( 𝐴)^{2}
=9,8314148

Vinkel B findes vha. en cosinusrelation:

𝐵=cos^{−1} ()

𝐵𝐶^{2} + 𝐴𝐵^{2} − 𝐴𝐶^{2}
2 · 𝐵𝐶· 𝐴𝐵

=cos^{−1} ()

9,1^{2} + 9,8314148^{2} − 10,2^{2}
2 · 9,1 · 9,8314148
=65,068209°
Til brug for efterfølgende beregninger bestemmes vinkel C. Vinkel C findes vha. vinkelsum = 180° i en trekant:
𝐶=180° − 𝐴 − 𝐵
=180° − 54° − 65,068209°
=60,931791°

Vinkel ∠B i trekant ABC er bestemt til 65,1° (afrundet til 1 decimaler).

b)

Vi bestemmer siden |AD| i trekant ADC med WordMats trekantsløser.

A AC C

B

AB BC

Side 10

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

10

WordMat's trekantsløser anvendes med input: C = 60,93179°, DC = 6,0, AC = 10,2

A = 35,74936°
D = 83,31885°
C = 60,93179°

DC = 6
AC = 10,2
AD = 8,976185

Længden af siden AD findes vha. en cosinusrelation

𝐴𝐷= √ 𝐴𝐶^{2} + 𝐷𝐶^{2} − 2 · 𝐴𝐶· 𝐷𝐶· cos ( 𝐶)
= √ 10,2^{2} + 6^{2} − 2 · 10,2 · 6 · cos ( 60,93179°)
=8,976185

Siden |AD| er bestemt til 9,0 (afrundet til 1 decimal).

Opgave 10 a)

Kvartilsæt og boksplot bestemmes med WordMats skabelon for ugrupperede observationer. Resultatet kopieres ind i besvarelsen:

Kvartilsæt:

Deskriptorer

Kvartilsæt

Nedre | 3
Median | 5
Øvre | 6

Boksplot:

A AC C

D

AD DC

Side 11

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

11

Opgave 11 a)

Udviklingen kan beskrives med en lineær funktion, vi bestemmer derfor forskriften med lineær regression:

Vi opstiller tabel med data og foretager regression:

År 1990 1995 2000 2004 2005 2006 2007

År efter år 0 5 10 14 15 16 17

1990

CO mio. 11073 11575 12492 12887 12922 12865 13000

2 ton

Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R2 = 0,9700206

𝑦=118,5615𝑥+ 11097,82

Vi opskriver og definerer forskriften f(x):

𝑓 ( 𝑥) ≔118,5615𝑥 + 11097,82

Forskriften for f(x) er bestemt til udtrykket herover, hvor x > 0.

b)

Der er tale om en eksponentiel sammenhæng, da udviklingen sker med en fast procentdel om året:

𝑔 ( 𝑥) =𝑏· 𝑎^{𝑥}

2

Klassetrin

Boksplot:

Side 12

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

12 g(x) betegner det årlige CO

2

-udslip i Kina til året x.

x betegner antal år efter år 1990, hvor x > 0.

b betegner funktionsværdien i x = 0, dvs. CO -udslippet fra Kina i år 1990 var 2244 mio. ton.

2 a betegner fremskrivningsfaktoren. Med vækstraten r kan vi beregne fremskrivningsfaktoren:

𝑎= + 1

𝑟%

100%

= + 1

6%

100%

=1,06

Vi opskriver og definerer modellen g(x), der beskriver det årlige CO

2

-udsplip fra Kina til året x år efter 1990:

𝑔 ( 𝑥) ≔2244 · 1,06^{𝑥}

Vi bestemmer det forventede årlige CO -udsplip fra Kina i år 2030 ved at løse g() = g(40):

2 𝑔 ( 40) ≈23081,15

Ifølge modellen vil det årlige CO

2

-udslip i Kina i år 2030 være 23081,2 mio. ton. (afrundet til 1 decimal).

c)

Vi bestemmer det årstal, hvor det årlige CO

2 2

-udsplip fra Kina overstiger det årlige CO

-udslip fra OECD-landene, ved at løse uligheden g(x) > f(x) for x. WordMat har problemer med at løse uligheder, hvori, der indgår eksponenter, vi løser derfor opgaven som skæringen mellem f(x) og g(x):

𝑔 ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥)

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat. med følgende antagelser/definitioner: 𝑥>0
𝑥=32,55529

Ifølge modellen vil CO -udslippet fra Kina overstige OECD-landenes ca. 32,56 år (afrundet til 2 decimaler)

2 efter år 1990 dvs. i år 2022.

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 12 a)

Vi definerer funktionen:

𝑁 ( 𝑡) ≔

4200

1 + 10 · 𝑒^{−0,1·𝑡}

Side 13

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

13

Vi bestemmer N’(20):

𝑁^{′} ( 20) ≈102,6328

Vi giver en fortolkning af tallet:

Tallet viser, at netop efter 20 døgn (t = 20) vokser antallet af individer i populationen med 103 i døgnet

(afrundet til helt individ).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 13 a)

Vi definerer funktionen:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{2} − 6𝑥+ 9

Vi bestemmer den øvre grænse for punktmængden M ved at bestemme skæringen mellem grafen for f og x-aksen:

𝑓 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=3

Vi bestemmer arealet af punktmængden M:

𝐴_{𝑀} =∫ 𝑓 ( 𝑥) 𝑑𝑥

3

0

=9

Arealet af M er bestemt til 9.

b)

Vi definerer førstekoordinaten til punktet P:

𝑥_{0} ≔0

Vi bestemmer en ligning til tangenten t:

𝑦_{𝑡} =𝑓^{′} ( 𝑥_{0}) · ( 𝑥− 𝑥_{0}) + 𝑓 ( 𝑥_{0})
=−6 · 𝑥+ 9

En ligning til tangenten t er bestemt til ovenstående udtryk.

Side 14

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

14 c)

Vi definerer tangenten t:

𝑡 ( 𝑥) ≔−6 · 𝑥+ 9

Vi bestemmer den øvre grænse for delpunktmængden M1, dvs. arealet under grafen for t, som skæringen mellem tangenten t og x-aksen:

𝑡 ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1,5

Arealet af delpunktmængden M1 bestemmer vi ved:

𝐴_{𝑀1} =∫ 𝑡 ( 𝑥) 𝑑𝑥

1,5

0

=6,75

Arealet af delpunktmængden M1 er bestemt til 6,75.

Den anden delpunktmængde M2 bestemmer vi som differensen mellem arealet af delpunktmængden M og M1:

𝐴_{𝑀2} =𝐴_{𝑀} − 𝐴_{𝑀1}
=9 − 6,75
=2,25

Arealet af delpunktmængden M2 er bestemt til 2,25.

Opgave 14 a)

Vi løser differentialligningen vha. WordMat og bestemmer den partikulære løsning. Vi benytter L(0) = 0,4

som startbetingelse:

𝐿^{′} ( 𝑡) =𝑘 · ( 100 − 𝐿 ( 𝑡))
Differentialligningen løses vha. CAS-værktøjet WordMat's 'Løs differentialligning' funktion med startbetingelsen L(0)=0,4
𝐿 ( 𝑡) =100 + 𝑒^{−𝑘·𝑡} · −99,6

Vi benytter oplysningen L(1) = 11, og løser for værdien k:

11=100 + 𝑒^{(}^{−𝑘} · ( −99,6)

) ·1

⇕ Ligningen løses for k vha. CAS-værktøjet WordMat.

Side 15

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

15

𝑘=0,1125258

Vi indsætter værdien for k og opskriver L som funktion af t:

𝐿 ( 𝑡) =100 + 𝑒^{−0,1125258·𝑡} · ( −99,6)

L som funktion af t er bestemt til ovenstående udtryk.

b)

Vi definerer L(t):

𝐿 ( 𝑡) ≔100 + 𝑒^{−0,1125258·𝑡} · ( −99,6)

Vi benytter L(t) til at bestemme aldersintervallet:

Vi bestemmer først den mindste alder i intervallet ved at løse for t, når L(t) = 40:

𝐿 ( 𝑡) =40

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=4,504012

Vi bestemmer nu den største alder i intervallet ved at løse for t, når L(t) = 60:

𝐿 ( 𝑡) =60

⇕ Ligningen løses for t vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑡=8,10732

Vi opskriver aldersintervallet:

Aldersintervallet for kuller, der normalt fanges i Nordsøen, er bestemt til [4,5; 8,1] målt i år. (afrundet til 1 decimal).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 15 a)

Vi definerer funktionerne:

𝑓 ( 𝑥) ≔𝑥^{2} − 4𝑥+ 8

𝑔 ( 𝑥) ≔3𝑥· 𝑒^{−𝑥}

Vi undersøger, hvordan graferne ligger i forhold til hinanden:

Side 16

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

16

Vi foretager en kontrol af antagelsen om f(x) > g(x) i definitionsområdet ]-∞; ∞[

Vi bestemmer evt. ekstrema for funktionerne f(x) og g(x):

𝑓^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=2

𝑔^{′} ( 𝑥) =0

⇕ Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥=1

Sammenligner vi punkter for ekstrema med grafen, kan vi bekræfte antagelsen at f(x) > g(x) i hele

definitionsområdet ]-∞; ∞[.

Vi indfører en afstandsfunktion, der beskriver den lodrette afstand mellem f(x) og g(x), hvor h(x) betegner afstanden mellem graferne i punktet x.

ℎ ( 𝑥) =𝑓 ( 𝑥) − 𝑔 ( 𝑥)
=−4 · 𝑥+ 𝑒^{−𝑥} · −3 · 𝑥+ 𝑥^{2} + 8

Vi skal bestemme det punkt x, hvor afstanden h(x) er mindst, vi optimerer derfor h(x) og bestemmer minimum.

Side 17

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

17

Vi definerer h(x):

ℎ ( 𝑥) ≔−4 · 𝑥+ 𝑒^{−𝑥} · −3 · 𝑥+ 𝑥^{2} + 8

Vi bestemmer nulpunkter til den afledte funktion h’(x):

ℎ^{′} ( 𝑥) =0

Ligningen løses numerisk for x vha. CAS-værktøjet WordMat.

𝑥≈1,801564

Der blev fundet løsninger vha. numeriske metoder, men der findes muligvis flere.

Vi undersøger om nulpunktet betegner et minimum ved at undersøge fortegnet for differentialkvotienten på begge sider af nulpunktet:

ℎ^{′} ( 1) =−2

ℎ^{′} ( 2) ≈0,4060058

Vi kan konkludere, at nulpunktet er et minimum.

Værdien af x, hvor den lodrette afstand mellem graferne f og g er mindst muligt, er bestemt til x = 1,802

(afrundet til 3 decimaler).

𝑆𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟:

Opgave 16 a)

Betegner x sidelængden af kvadratets bund målt i meter, og h er kassens højde målt i meter, kan kassens rumfang generelt beskrives ved:

𝑉=𝑥· 𝑥· ℎ

Kassens rumfang er oplyst til 1, med denne oplysning bestemmer vi h udtrykt ved x:

1=𝑥· 𝑥· ℎ

⇕ Ligningen løses for h vha. CAS-værktøjet WordMat.

ℎ=𝑥^{−2}

Det samlede overfladeareal af kassen kan beskrives ved:

𝑂=𝐴_{𝑏𝑢𝑛𝑑} + 4 · 𝐴_{𝑠𝑖𝑑𝑒} + 𝐴_{𝑙å𝑔}
=𝑥· 𝑥+ 4 · 𝑥· ℎ+ 𝑥 ·𝑥

Vi substituerer ℎ=𝑥^{−2} ind i udtrykket:

Side 18

Matematik A STX – Skriftlig eksamen – 10. december 2010

18

𝑂=𝑥·𝑥+ 4 · 𝑥· 𝑥^{−2} + 𝑥· 𝑥
Indsætter vi nu prisen for de forskellige materialer, hvor bund og sider koster 8 kr./m^{2}, og låg koster 10
kr./m^{2}, får vi prisen af materialer som funktion af sidelængden af bunden:

𝑝 ( 𝑥) =8 · 𝑥· 𝑥+ 4 · 𝑥· 𝑥^{−2} + 10 · 𝑥· 𝑥

Udtrykket omskrives vha. CAS-værktøjet WordMat ved brug af metoderne: Automatisk reduktion,

𝑝 ( 𝑥) =18 · 𝑥^{2} + 32 · 𝑥^{−1}

Materialeprisen som funktion af sidelængden af kassens bund er bestemt til ovenstående udtryk for p(x).