Polære funktioner

Først

Gælder forberedelsesmaterialet dig?

Forberedelsesmaterialet til skriftlig matematik A på stx i 2026 og 2027 handler om polære funktioner. Det er dateret 15. januar 2026 og har koden stx26-27-MAT/A-150126. Ifølge materialet selv gælder det for eksamen i maj-juni, august og december efter 2017-ordningen, altså de læreplaner, der gjaldt, før matematik fik nye læreplaner i 2024.

Materialet sætter selv rammen. Holdet skal bruge 6 timer af den almindelige undervisningstid på det, og du må gerne få vejledning undervejs. Indhold og metoder fra materialet kan komme i opgaver i begge delprøver. Dine resultater fra arbejdet bør du tage med til delprøve 2, og kræver delprøve 1 særlige formler, får du et indstiksark til formelsamlingen sammen med opgaverne. Det er de fire formler, F(1) til F(4), som du finder længere nede på siden.

Materialet er ophavsretligt beskyttet og må ikke deles på nettet, så du får det af din lærer, ikke her. Derfor gengiver vi hverken dets eksempler eller opgaver. Alt på siden er regnet til siden, så du kan bruge det som ekstra træning ved siden af materialet.

Terminerne står i nyhedsbrevet om de nye matematiklæreplaner fra Styrelsen for Undervisning og Kvalitet, 3. september 2024. Sygeprøverne i maj-juni 2027 er kun for elever, der var tilmeldt prøven i vinterterminen lige før. I 2024-læreplanen for matematik A står der intet om et forberedelsesmateriale; i stedet kan opgaverne tage andre emner op, når grundlaget står i selve opgaveteksten. Hvilken læreplan dit hold følger, står også i nyhedsbrevet: slutter holdet ved maj-juni-terminen 2027 eller senere, følger det 2024-læreplanen. Slutter det før, følger det 2017-læreplanen og arbejder med materialet. Er du stadig i tvivl, så spørg din lærer. Polære funktioner kan stadig være supplerende stof på et hold efter 2024-læreplanen, og så kan emnet komme til den mundtlige prøve, hvor mindst ét af eksamensspørgsmålene tager udgangspunkt i det supplerende stof.

Grundlaget

Fra afstand og retning til (r, θ)

Tilbage til skolegården. Cykelstativet ligger 30 meter mod øst og 40 meter mod nord for flagstangen. Med Pythagoras er afstanden √(30² + 40²) = √2500 = 50 meter, og retningen er den vinkel, hvor tan(θ) = 40/30. Det giver θ ≈ 0,927 radianer, ca. 53,1° fra østretningen. Stativets polære koordinatsæt er altså (r, θ) ≈ (50; 0,927).

Definitionen: et punkt P har det polære koordinatsæt (r, θ), når r er afstanden fra origo O(0, 0) til P, og θ er vinklen fra førsteaksens positive retning til linjestykket OP. θ er det græske bogstav theta. Vinklen regnes mod uret, som du kender det fra enhedscirklen. Afstanden står først, vinklen bagefter.

Vinklen måles i radianer, både i materialet og ved prøven. Du omregner med v = θ · 180°/π, så 1 radian er ca. 57,3°, og en hel omgang er 2π. Sig det: gradtallet er radiantallet gange hundrede og firs grader divideret med pi.

Ét punkt har mange polære koordinatsæt. Punktet (0, 5) på andenaksen er (5, π/2), men også (5, 5π/2) og (5, −3π/2), fordi en hel omgang ekstra eller en omgang den anden vej peger samme sted hen. I opgaverne holder du dig til θ i [0; 2π] og skriver én af dem. Origo er det eneste punkt uden en bestemt vinkel: r = 0, og θ kan være hvad som helst.

Akserne kaldes førsteaksen og andenaksen, og i materialets figurer står de som (1) og (2). Det er de samme akser, som du kender som x-aksen og y-aksen.

F(1)

Fra (r, θ) til (x, y) og tilbage

F(1): x = r · cos(θ) og y = r · sin(θ). Sig det: x er r gange cosinus til theta, og y er r gange sinus til theta.

Formlen kommer fra enhedscirklen. Punktet med vinklen θ på enhedscirklen er (cos(θ), sin(θ)). Punktet P i afstanden r ligger på samme stråle fra origo, bare r gange så langt ude. Den lodrette linje ned fra hvert af de to punkter giver to retvinklede trekanter med samme vinkel θ i origo, så de er ensvinklede, og alle sider i den store er r gange siderne i den lille. Derfor er x = r · cos(θ) og y = r · sin(θ). Fortegnene passer i alle fire kvadranter, fordi cos og sin selv har fortegnet med.

Den anden vej, fra (x, y) til (r, θ), står ikke på indstiksarket, men du kan den med det, du ved: r = √(x² + y²), og θ er den vinkel, hvor cos(θ) = x/r og sin(θ) = y/r. Sig det: r er kvadratroden af x i anden plus y i anden.

Et punkt i 4. kvadrant: (2, −2√3) har r = √(4 + 12) = 4 og cos(θ) = 2/4 = 1/2 med sin(θ) negativ. Det er θ = 5π/3, så (r, θ) = (4, 5π/3). I GeoGebra giver atan2(y, x) vinklen i den rigtige kvadrant, mellem −π og π; i de andre programmer regner du som her og retter kvadranten selv.

Definitionen

Polære funktioner og polære grafer

En polær funktion r giver til hver vinkel θ en afstand r(θ). Grafen, den polære graf, er alle punkterne med det polære koordinatsæt (r(θ), θ). I materialet arbejder du kun med r(θ) ≥ 0, så r(θ) er afstanden fra origo til grafen i retningen θ.

Vores gennemgående eksempel er en vandspreder midt på en græsplæne. I en model når vandet ud til kurven r(θ) = 5 + 2 · cos(2θ), målt i meter, for θ i [0; 2π]. Vi bruger den samme vandspreder i alle afsnit herfra, så du ser én kurve fra syv sider.

Du tegner grafen i hånden ved at gå ud i retningen θ og afsætte punktet i afstanden r(θ). For θ = 0 er det 7 meter ud ad førsteaksen, for θ = π/2 er det 3 meter op ad andenaksen. Fordi cos(2θ) har perioden π, gentager tabellen sig for θ fra π til 2π. Kurven bliver aflang, bredest langs førsteaksen og med en indbugtning, hvor den skærer andenaksen.

Ligger punktet på grafen? Regn r(θ) for punktets vinkel, og sammenlign med punktets afstand. (6, π/6) ligger på grafen, fordi r(π/6) = 6. (6, π/3) gør ikke, fordi r(π/3) = 4, ikke 6.

Grafen er en parameterkurve. Sætter du r(θ) ind i F(1), får du punktet (x(θ), y(θ)) = (r(θ) · cos(θ), r(θ) · sin(θ)). Det er den form, GeoGebra tegner med, og det er nøglen til kurvelængden længere nede. Har du regnet med vektorfunktioner, er det samme idé: en kurve, hvor en parameter løber, her vinklen. Se fx, hvordan en opgave beskriver forlystelsen med de roterende kaffekopper med vektorfunktioner, og hvordan en SRP regner kurvelængder for vektorfunktioner og det skrå kast.

Galleri

Fem grafer, du bør kunne genkende

Mange opgaver bliver lettere, når du kan se på forskriften, hvilken slags kurve den giver. Her er fem typer. Prøv at skrive dem om til x og y med F(1); så ser du, hvorfor de ser ud, som de gør.

Spiraler ser du også i naturen, fx i mønstret af frø i en solsikke. En SRP i dansk og matematik i biblioteket ser på Fibonaccital og spiralerne i solsikken. Samme idé med en afstand og en vinkel bruges om komplekse tal på polær form; se en SOP om tallets historie, hvor de indgår.

r er afstanden

Afstand til origo

Her er det polære koordinatsystem stærkt: afstanden fra origo til grafens punkt ved vinklen θ er r(θ) selv. “Hvor er afstanden 6?” er derfor ligningen r(θ) = 6, og “hvor er afstanden størst?” er en monotoniundersøgelse af r, præcis som for en almindelig funktion.

r(θ) = s(θ)

Skæringspunkter mellem to polære grafer

Skæringspunkter mellem to polære grafer finder du næsten som for almindelige funktioner. Løs r(θ) = s(θ) på intervallet, sæt hver løsning ind i r eller s, og skriv svaret som (r, θ).

Pas på origo. I origo er vinklen ubestemt, så to grafer kan begge gå gennem origo ved hver sin vinkel. Tag r(θ) = 4 · sin(θ) og s(θ) = 4 · cos(θ) for θ i [0; π/2]. Ligningen 4 · sin(θ) = 4 · cos(θ) giver kun θ = π/4 og punktet (2√2, π/4). Men r(0) = 0 og s(π/2) = 0, så begge cirkler går også gennem origo, og det fælles punkt dér finder ligningen ikke. Ifølge materialet kommer der ikke opgaver til den skriftlige prøve, hvor et skæringspunkt ligger i origo, men du skal vide, hvorfor metoden ikke ser det.

F(2)

Arealet udspændt af en polær graf

F(2): A = ½ · ∫ r(θ)² dθ fra α til β. Sig det: arealet er en halv gange integralet fra alfa til beta af r af theta i anden, d theta.

Formlen gælder, når r er kontinuert og ikke-negativ på intervallet [α; β], og når θ højst løber én omgang. I materialet ligger θ mellem 0 og 2π. Løber θ længere, som i spiralen med to omgange i galleriet, bliver den del af området, grafen fejer over to gange, talt med to gange. Området er det, som linjestykket fra origo ud til grafen fejer over, mens θ drejer fra α til β.

Hvorfor r² og ½? Del vinklen op i små stykker Δθ. Hvert stykke af området er næsten et cirkeludsnit med radius r(θ). Et helt cirkelareal er π · r² for vinklen 2π, så et udsnit med vinklen Δθ har arealet π · r² · Δθ/(2π) = ½ · r² · Δθ. Lægger du alle udsnittene sammen og lader Δθ gå mod 0, får du integralet. Det er cirkeludsnit, ikke rektangler som under en almindelig graf.

Kontrollér formlen på en kendt figur. r(θ) = 4 · sin(θ) for θ i [0; π] er en cirkel med radius 2 (se galleriet), og dens areal er π · 2² = 4π. F(2) giver ½ · ∫ 16 · sin²(θ) dθ fra 0 til π = 8 · π/2 = 4π, fordi ∫ sin²(θ) dθ fra 0 til π er π/2. Formlen og den kendte formel er enige.

F(3)

Arealet mellem to polære grafer

F(3): A = ½ · ∫ (r(θ)² − s(θ)²) dθ fra α til β, hvor r(θ) ≥ s(θ). Sig det: en halv gange integralet af r i anden minus s i anden.

Det er arealet, den ydre graf udspænder, minus arealet, den indre udspænder, begge regnet som i F(2). Undersøg derfor først, hvilken graf der ligger yderst på hele intervallet, og læg intervallet mellem to skæringspunkter, hvis graferne krydser hinanden. Skriv aldrig (r − s)²; det er en anden størrelse.

F(4)

Kurvelængden af en polær graf

F(4): L = ∫ √(r′(θ)² + r(θ)²) dθ fra α til β. Sig det: længden er integralet af kvadratroden af r mærke i anden plus r i anden.

Formlen kræver, at r er differentiabel. Til lukkede kurver er kurvelængden omkredsen, fx hvor lang en kant vandet laver i græsset.

Cirklen r(θ) = 4 · sin(θ) for θ i [0; π] er en kontrol mere: r′ = 4 · cos(θ), så r′² + r² = 16, og L = ∫ 4 dθ fra 0 til π = 4π, præcis omkredsen 2π · 2 af en cirkel med radius 2.

Vandsprederens kant kan ikke regnes eksakt i hånden. Med CAS giver F(4) L ≈ 36,10 meter for θ i [0; 2π]. Til sammenligning er omkredsen af en cirkel med radius 5 ca. 31,4 meter.

CAS

Polære grafer i GeoGebra, Maple og TI-Nspire

Til delprøve 2 regner du med dit CAS-program. Det nye ved polære funktioner er især at tegne grafen og holde styr på intervallet. Ligninger, integraler og maksimum løser du med de almindelige kommandoer; de står i Studiekompassets TI-Nspire-guide og Maple-guide, og her er det, der er særligt for polære funktioner. Hvordan du skriver CAS-arbejdet ind i besvarelsen, står på siden om CAS i matematik.

To ting går ofte galt. Skæringsværktøjet i GeoGebra giver punktet i (x, y), ikke (r, θ); løs i stedet r(θ) = s(θ) med solve, eller regn om med r = √(x² + y²). Og et program, der står i grader, regner sin(2) som sinus til 2°. Maple og GeoGebra regner sin(2) i radianer; i TI-Nspire afhænger det af indstillingen.

Areal og kurvelængde skriver du som integraler med formlen ved siden af, fx ½ · Integral(r(x)^2, 0, 2pi) i GeoGebra og int(sqrt(diff(r(theta), theta)^2 + r(theta)^2), theta = 0..2*Pi) i Maple. Skriv formlen fra indstiksarket i besvarelsen, så læseren kan se, hvad du har regnet.

Øv dig

Opgaver uden hjælpemidler, med facit

Regn opgaverne i hånden som til delprøve 1 med indstiksarket ved siden af, og fold facit ud bagefter. Facit viser mellemregningerne, så du kan se, hvor du eventuelt gik galt.

Øv dig

Opgaver med hjælpemidler, med facit

Her må du bruge CAS som til delprøve 2. Skriv formlen og intervallet op, før du taster, og skriv svaret med enhed.

Se forskellen

Fejl, der koster