Vilkårlige trekanter: sinus- og cosinusrelationen

Dit niveau

Hvad skal du kunne på dit niveau?

Siden følger læreplanerne fra 2024 og vejledningerne fra november 2025. Skal du finde arealet, har vi en side om arealet af en trekant, og regner du i retvinklede trekanter, finder du sinus, cosinus og tangens i noterne til matematik.

Før du regner

Navnene i trekanten

Hjørnerne hedder A, B og C med store bogstaver, og vinklerne hedder det samme som hjørnet. Siderne hedder a, b og c med små bogstaver, og hver side har navn efter det hjørne, den ligger over for. Siden a ligger altså over for vinklen A og forbinder de to andre hjørner, B og C.

Tegn altid en skitse, og sæt navnene på, før du regner. Den behøver ikke at være målfast, men den lange side skal se lang ud, og en stump vinkel skal se stump ud. Så kan du se på tegningen, om dit svar er rimeligt.

To ting gælder i alle trekanter og er dine første kontroller. Vinkelsummen er 180°: A + B + C = 180°. Og den længste side ligger over for den største vinkel, mens den korteste side ligger over for den mindste.

Valget

Hvilken formel? De fem tilfælde

Kender du tre af trekantens seks stykker, og er mindst ét af dem en side, kan du regne resten ud. Tre vinkler er ikke nok: to trekanter kan have de samme vinkler og forskellig størrelse, sådan som ensvinklede trekanter har. Hvilken formel du starter med, afhænger af, hvilke tre stykker du kender. Der er fem tilfælde, og kun i det sidste kan der være to trekanter.

Den ene formel

Cosinusrelationen: Pythagoras med et ekstra led

Kender du Pythagoras, kender du det meste af cosinusrelationen. I en retvinklet trekant med den rette vinkel i C er c² = a² + b². I en vilkårlig trekant kommer der et led mere på:

Formel: c² = a² + b² − 2 · a · b · cos(C)

Sig det: c i anden er lig med a i anden plus b i anden minus to gange a gange b gange cosinus til C.

Er C præcis 90°, er cos(C) = 0, og det ekstra led forsvinder. Så står Pythagoras tilbage. Er C spids, er cos(C) positiv, og c bliver kortere, end Pythagoras ville give. Er C stump, er cos(C) negativ, så minus gange minus giver plus, og c bliver længere. Det passer med, hvad du kan se: jo mere du åbner vinklen mellem to sider, jo længere bliver siden over for den.

Formlen findes i tre udgaver, én for hver side. Du bytter bare bogstaverne, så vinklen i formlen ligger over for siden på venstre side: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos(A) og b² = a² + c² − 2 · a · c · cos(B).

Skal du finde en vinkel, isolerer du cosinus: cos(C) = (a² + b² − c²) / (2 · a · b).

Sig det: cosinus til C er a i anden plus b i anden minus c i anden, divideret med to gange a gange b.

Vil du også have vinklerne, så find først vinklen over for den korteste side, her B over for b = 3 km. Den er altid spids, så sinus kan ikke snyde dig: sin(B) = 3 · sin(70°) / 4,87 ≈ 0,579 og B ≈ 35,4°. Vinkelsummen giver A = 180° − 70° − 35,4° = 74,6°. Som kontrol giver cosinusrelationen også A ≈ 74,6°.

Den anden formel

Sinusrelationen: samme forhold hele vejen rundt

Sinusrelationen siger, at hvis du dividerer en side med sinus til vinklen over for den, får du det samme tal for alle tre par i trekanten.

Formel: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)

Sig det: a divideret med sinus til A er lig med b divideret med sinus til B, som er lig med c divideret med sinus til C.

Du bruger kun to af brøkerne ad gangen, og den ene skal være et helt par, hvor du kender både siden og vinklen. Leder du efter en side, så skriv brøkerne med siderne øverst. Leder du efter en vinkel, så vend dem om: sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c. Så står det ukendte i tælleren, og du skal kun gange over.

Sinusrelationen kan også give en vinkel, når du kender to sider og vinklen over for den ene af dem. Her skal du passe på, for sinus giver to mulige vinkler, og det er emnet i næste afsnit.

Faldgruben

To mulige trekanter: det dobbelttydige tilfælde

Ligningen sin(B) = 0,88 har to løsninger mellem 0° og 180°: en spids vinkel og en stump. Grunden er, at sin(180° − v) = sin(v). Den omvendte sinus, sin⁻¹, giver dig på lommeregneren kun den spidse, og CAS gør det ofte også. Den stumpe finder du selv som 180° minus den spidse, og så må du afgøre, om den kan være med. Hvorfor sinus er ens for v og 180° − v, kan du se på enhedscirklen på siden om trigonometriske funktioner.

Eksempel: a = 7, b = 10 og A = 38°. Vinklen A ligger ikke mellem de to sider. Sinusrelationen giver sin(B) = 10 · sin(38°) / 7 ≈ 0,880, så B ≈ 61,6° eller B ≈ 180° − 61,6° = 118,4°. Begge kan lade sig gøre, for 38° + 118,4° er mindre end 180°. Der er altså to trekanter, der passer på oplysningerne.

Du kan se det, hvis du tegner. Læg vinklen A, og afsæt siden b = 10 ad det ene ben, så du får hjørnet C. Siden a skal gå fra C over til det andet ben. Sæt en passer i C med radius 7: cirklen skærer benet to steder, og hvert skæringspunkt er et muligt hjørne B. Afstanden fra C ind til benet er højden b · sin(A) ≈ 6,16. Er a kortere end højden, når passeren slet ikke over. Er a lige så lang som b eller længere, rammer den kun ét sted på den rigtige side af A.

Tre måder at afgøre det på:

1. Vinkelsummen. Læg den stumpe mulighed til den kendte vinkel. Bliver summen 180° eller mere, falder den stumpe væk, og der er kun én trekant. Med a = 12 i stedet for 7 bliver sin(B) ≈ 0,513 og B ≈ 30,9°, og 149,1° + 38° er over 180°. Kun én trekant.

2. Siden over for vinklen. To trekanter kan kun opstå, når den kendte vinkel er spids og ligger over for den korteste af de to kendte sider, og den side er længere end højden. Er a = 5, altså kortere end højden 6,16, bliver sin(B) ≈ 1,23. Sinus er højst 1, så der findes ingen trekant: siden er for kort til at nå over.

3. Cosinusrelationen som andengradsligning. Sæt de kendte tal ind i a² = b² + c² − 2 · b · c · cos(A): 49 = 100 + c² − 20 · c · cos(38°), altså c² − 15,76 · c + 51 = 0. Løsningerne er c ≈ 11,21 og c ≈ 4,55. To positive rødder giver to trekanter, én positiv rod giver én trekant, og ingen positiv rod giver ingen trekant.

Højde, median, vinkelhalveringslinje og midtnormal

Fire linjer i trekanten

Mange trekantsopgaver spørger ikke efter en side, men efter en linje inde i trekanten. Fire af dem skal du kende. Medianen og vinkelhalveringslinjen deler trekanten i to mindre trekanter, og det gør højden også, når den falder inde i trekanten. Så kan du bruge relationerne eller sin, cos og tan på den lille trekant. Midtnormalen bruger du til den omskrevne cirkel.

Medianen regnet ud: i trekant ABC er b = 8, c = 6 og A = 70°. Medianen fra B går til midtpunktet M på siden AC, så AM = 4. I den lille trekant ABM kender du to sider, 6 og 4, og vinklen A = 70° imellem dem. Cosinusrelationen giver medianen: 6² + 4² − 2 · 6 · 4 · cos(70°) ≈ 35,58, så medianen er ca. 5,97.

Højden har du allerede brugt: åens bredde var højden fra træet ned på stien. Og den omskrevne cirkel hænger sammen med sinusrelationen, for brøken a / sin(A) er lig med cirklens diameter, 2R. I bedet er 9 / sin(87,27°) ≈ 9,01, så R ≈ 4,5 m. Et træ, der skal stå lige langt fra alle tre hjørner, skal altså stå ca. 4,5 m fra hvert hjørne, der hvor midtnormalerne mødes.

Areal

Arealet, når trekanten er regnet ud

Når du kender to sider og vinklen imellem dem, er arealet T = ½ · a · b · sin(C). Sig det: T er en halv gange a gange b gange sinus til C. Bedet med siderne 6 m og 7 m og vinklen 87,27° imellem dem har arealet ½ · 6 · 7 · sin(87,27°) ≈ 21,0 m². Kontrol med Herons formel, der kun bruger siderne: √(11 · 5 · 4 · 2) = √440 ≈ 21,0 m².

Hvilken arealformel du skal vælge ud fra dine oplysninger, og hvordan formlen med sinus udledes, står på siden om arealet af en trekant.

Med hjælpemidler

Sådan tjekker du et CAS-svar

Ved den skriftlige prøve på B og A løser du i delprøven med hjælpemidler typisk relationerne med CAS. Skriv stadig formlen med bogstaver først, så den, der læser, kan se, hvad du har valgt. Tjek så fire ting i svaret.

Et eksempel fra en rigtig prøve: i en vejledende besvarelse af stx matematik B fra juni 2010 bliver en side fundet med CAS, og den negative løsning forkastes med en kort begrundelse. Sådan skal det se ud. Hvordan du skriver kommandoerne, står i guiderne til Maple og TI-Nspire og på siden om CAS i matematik.

Går du på hf, konstruerer du trekanten i et dynamisk geometriprogram som GeoGebra og måler den ukendte side eller vinkel. Kontrollen er den samme: ser tallet rimeligt ud på tegningen?

Mundtlig prøve

Beviserne til den mundtlige prøve

På matematik B og A trækker du til den mundtlige prøve et fortrinsvis teoretisk spørgsmål med fokus på ræsonnement og bevis, og du forbereder dig i ca. 24 minutter på B og ca. 30 på A. På C er spørgsmålet bredere formuleret, og forberedelsen er ca. 24 minutter. Her er et bevis for hver relation. Begge bygger på noget, du kan i forvejen: arealformlen og Pythagoras.

To elevbesvarelser i opgavebiblioteket viser to veje til sinusrelationen: i noterne til de mundtlige eksamensspørgsmål i matematik B bevises sinusrelationen med arealet, og i emneopgaven om trigonometriske funktioner med en højde. Læs dem for at se, hvordan en disposition kan se ud, ikke for at lære dem udenad.

Brug et eksempel

Fra opgavebiblioteket

Øv dig

Opgaver med facit: fra hjælp til selv

Opgaverne går fra meget hjælp til ingen. Er du sikker i det, så spring direkte til opgave 3. Regn med blyant først, og fold facit ud bagefter. Facit viser mellemregningerne, så du kan se, hvor du eventuelt gik galt.

Se forskellen

Fejl, der koster